MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomnum Structured version   Unicode version

Theorem fodomnum 8450
Description: A version of fodom 8914 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8851. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomnum  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomnum
StepHypRef Expression
1 fornex 6764 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
21com12 31 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  B  e.  _V ) )
3 numacn 8442 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  e.  dom  card  ->  A  e. AC  B ) )
42, 3syli 37 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  A  e. AC  B ) )
54com12 31 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  A  e. AC  B )
)
6 fodomacn 8449 . 2  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
75, 6syli 37 1  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   -onto->wfo 5592    ~<_ cdom 7526   cardccrd 8328  AC wacn 8331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-card 8332  df-acn 8335
This theorem is referenced by:  fonum  8451  fodomfi2  8453  infpwfien  8455  inffien  8456  wdomnumr  8457  iunfictbso  8507  infmap2  8610  fictb  8637  cfflb  8651  cfslb2n  8660  fodom  8914  rankcf  9167  tskuni  9173  tskurn  9179  znnen  13824  qnnen  13825  cygctb  16767  1stcrestlem  19821  2ndcctbss  19824  2ndcomap  19827  2ndcsep  19828  tx1stc  20019  tx2ndc  20020  met1stc  20892  met2ndci  20893  re2ndc  21174  uniiccdif  21855  dyadmbl  21877  opnmblALT  21880  mbfimaopnlem  21930  aannenlem3  22593
  Copyright terms: Public domain W3C validator