MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomnum Structured version   Unicode version

Theorem fodomnum 8439
Description: A version of fodom 8903 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8840. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomnum  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomnum
StepHypRef Expression
1 fornex 6720 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
21com12 32 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  B  e.  _V ) )
3 numacn 8431 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  e.  dom  card  ->  A  e. AC  B ) )
42, 3syli 38 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  A  e. AC  B ) )
54com12 32 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  A  e. AC  B )
)
6 fodomacn 8438 . 2  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
75, 6syli 38 1  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1872   _Vcvv 3022   class class class wbr 4366   dom cdm 4796   -onto->wfo 5542    ~<_ cdom 7522   cardccrd 8321  AC wacn 8324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-card 8325  df-acn 8328
This theorem is referenced by:  fonum  8440  fodomfi2  8442  infpwfien  8444  inffien  8445  wdomnumr  8446  iunfictbso  8496  infmap2  8599  fictb  8626  cfflb  8640  cfslb2n  8649  fodom  8903  rankcf  9153  tskuni  9159  tskurn  9165  znnen  14208  qnnen  14209  cygctb  17469  1stcrestlem  20409  2ndcctbss  20412  2ndcomap  20415  2ndcsep  20416  tx1stc  20607  tx2ndc  20608  met1stc  21478  met2ndci  21479  re2ndc  21761  uniiccdif  22477  dyadmbl  22500  opnmblALT  22503  mbfimaopnlem  22553  aannenlem3  23228
  Copyright terms: Public domain W3C validator