MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomnum Structured version   Unicode version

Theorem fodomnum 8227
Description: A version of fodom 8691 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8628. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomnum  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomnum
StepHypRef Expression
1 fornex 6546 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  e.  _V )
)
21com12 31 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  B  e.  _V ) )
3 numacn 8219 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( A  e.  dom  card  ->  A  e. AC  B ) )
42, 3syli 37 . . 3  |-  ( F : A -onto-> B  -> 
( A  e.  dom  card 
->  A  e. AC  B ) )
54com12 31 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  A  e. AC  B )
)
6 fodomacn 8226 . 2  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
75, 6syli 37 1  |-  ( A  e.  dom  card  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   _Vcvv 2972   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   -onto->wfo 5416    ~<_ cdom 7308   cardccrd 8105  AC wacn 8108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-card 8109  df-acn 8112
This theorem is referenced by:  fonum  8228  fodomfi2  8230  infpwfien  8232  inffien  8233  wdomnumr  8234  iunfictbso  8284  infmap2  8387  fictb  8414  cfflb  8428  cfslb2n  8437  fodom  8691  rankcf  8944  tskuni  8950  tskurn  8956  znnen  13495  qnnen  13496  cygctb  16368  1stcrestlem  19056  2ndcctbss  19059  2ndcomap  19062  2ndcsep  19063  tx1stc  19223  tx2ndc  19224  met1stc  20096  met2ndci  20097  re2ndc  20378  uniiccdif  21058  dyadmbl  21080  opnmblALT  21083  mbfimaopnlem  21133  aannenlem3  21796
  Copyright terms: Public domain W3C validator