MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomg Structured version   Unicode version

Theorem fodomg 8713
Description: An onto function implies dominance of domain over range. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
fodomg  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foeq2 5638 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( F : x -onto-> B  <->  F : A -onto-> B ) )
2 breq2 4317 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( B  ~<_  x  <->  B  ~<_  A ) )
31, 2imbi12d 320 . 2  |-  ( x  =  A  ->  (
( F : x
-onto-> B  ->  B  ~<_  x )  <-> 
( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) ) )
4 vex 2996 . . 3  |-  x  e. 
_V
54fodom 8712 . 2  |-  ( F : x -onto-> B  ->  B  ~<_  x )
63, 5vtoclg 3051 1  |-  ( A  e.  C  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313   -onto->wfo 5437    ~<_ cdom 7329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-ac2 8653
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-card 8130  df-acn 8133  df-ac 8307
This theorem is referenced by:  fodomb  8714  imadomg  8722  fnrndomg  8723  dmct  26036
  Copyright terms: Public domain W3C validator