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Theorem fodomacn 8231
Description: A version of fodom 8696 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8633. If  A has choice sequences of length  B, then any surjection from  A to  B can be inverted to an injection the other way. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomacn  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomacn
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foelrn 5867 . . . . 5  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  x  e.  B
)  ->  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
21ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
3 fveq2 5696 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( f `  x
) ) )
43eqeq2d 2454 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( F `  ( f `
 x ) ) ) )
54acni3 8222 . . . 4  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )  ->  E. f ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )
62, 5sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  E. f ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )
7 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A  e. AC  B )
8 acnrcl 8217 . . . . 5  |-  ( A  e. AC  B  ->  B  e. 
_V )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  B  e.  _V )
10 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  f : B --> A )
11 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  ( F `  ( f `  y ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
12 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) )
13 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
1514fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  y )
) )
1613, 15eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( F `
 ( f `  x ) )  <->  y  =  ( F `  ( f `
 y ) ) ) )
1716rspccva 3077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( F `  ( f `  y
) ) )
18 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
19 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
f `  x )  =  ( f `  z ) )
2019fveq2d 5700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
2118, 20eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( F `
 ( f `  x ) )  <->  z  =  ( F `  ( f `
 z ) ) ) )
2221rspccva 3077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  z  e.  B )  ->  z  =  ( F `  ( f `  z
) ) )
2317, 22eqeqan12d 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `
 x ) )  /\  y  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( F `  (
f `  y )
)  =  ( F `
 ( f `  z ) ) ) )
2423anandis 826 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  =  z  <->  ( F `  ( f `  y
) )  =  ( F `  ( f `
 z ) ) ) )
2512, 24sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  (
f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( F `  (
f `  y )
)  =  ( F `
 ( f `  z ) ) ) )
2611, 25syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  (
f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  z ) )
2726ralrimivva 2813 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  z ) )
28 dff13 5976 . . . . 5  |-  ( f : B -1-1-> A  <->  ( f : B --> A  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( f `  y
)  =  ( f `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
2910, 27, 28sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  f : B -1-1-> A )
30 f1dom2g 7332 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e. AC  B  /\  f : B -1-1-> A )  ->  B  ~<_  A )
319, 7, 29, 30syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  B  ~<_  A )
326, 31exlimddv 1692 . 2  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
3332ex 434 1  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   class class class wbr 4297   -->wf 5419   -1-1->wf1 5420   -onto->wfo 5421   ` cfv 5423    ~<_ cdom 7313  AC wacn 8113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-map 7221  df-dom 7317  df-acn 8117
This theorem is referenced by:  fodomnum  8232  iundomg  8710
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