Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fodomacn Structured version   Unicode version

Theorem fodomacn 8447
 Description: A version of fodom 8912 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8849. If has choice sequences of length , then any surjection from to can be inverted to an injection the other way. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomacn AC

Proof of Theorem fodomacn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foelrn 6050 . . . . 5
21ralrimiva 2881 . . . 4
3 fveq2 5871 . . . . . 6
43eqeq2d 2481 . . . . 5
54acni3 8438 . . . 4 AC
62, 5sylan2 474 . . 3 AC
7 simpll 753 . . . . 5 AC AC
8 acnrcl 8433 . . . . 5 AC
97, 8syl 16 . . . 4 AC
10 simprl 755 . . . . 5 AC
11 fveq2 5871 . . . . . . 7
12 simprr 756 . . . . . . . 8 AC
13 id 22 . . . . . . . . . . . 12
14 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
1514fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
1613, 15eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11
1716rspccva 3218 . . . . . . . . . 10
18 id 22 . . . . . . . . . . . 12
19 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13
2019fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12
2118, 20eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11
2221rspccva 3218 . . . . . . . . . 10
2317, 22eqeqan12d 2490 . . . . . . . . 9
2423anandis 828 . . . . . . . 8
2512, 24sylan 471 . . . . . . 7 AC
2611, 25syl5ibr 221 . . . . . 6 AC
2726ralrimivva 2888 . . . . 5 AC
28 dff13 6164 . . . . 5
2910, 27, 28sylanbrc 664 . . . 4 AC
30 f1dom2g 7543 . . . 4 AC
319, 7, 29, 30syl3anc 1228 . . 3 AC
326, 31exlimddv 1702 . 2 AC
3332ex 434 1 AC
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767  wral 2817  wrex 2818  cvv 3118   class class class wbr 4452  wf 5589  wf1 5590  wfo 5591  cfv 5593   cdom 7524  AC wacn 8329 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-map 7432  df-dom 7528  df-acn 8333 This theorem is referenced by:  fodomnum  8448  iundomg  8926
 Copyright terms: Public domain W3C validator