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Theorem fodomacn 8447
Description: A version of fodom 8912 that doesn't require the Axiom of Choice ax-ac 8849. If  A has choice sequences of length  B, then any surjection from  A to  B can be inverted to an injection the other way. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fodomacn  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )

Proof of Theorem fodomacn
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 foelrn 6050 . . . . 5  |-  ( ( F : A -onto-> B  /\  x  e.  B
)  ->  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
21ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( F : A -onto-> B  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )
3 fveq2 5871 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( f `  x
) ) )
43eqeq2d 2481 . . . . 5  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  (
x  =  ( F `
 y )  <->  x  =  ( F `  ( f `
 x ) ) ) )
54acni3 8438 . . . 4  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  A  x  =  ( F `  y ) )  ->  E. f ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )
62, 5sylan2 474 . . 3  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  E. f ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )
7 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A  e. AC  B )
8 acnrcl 8433 . . . . 5  |-  ( A  e. AC  B  ->  B  e. 
_V )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  B  e.  _V )
10 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  f : B --> A )
11 fveq2 5871 . . . . . . 7  |-  ( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  ( F `  ( f `  y ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
12 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) )
13 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
14 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  (
f `  x )  =  ( f `  y ) )
1514fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  y )
) )
1613, 15eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  ( F `
 ( f `  x ) )  <->  y  =  ( F `  ( f `
 y ) ) ) )
1716rspccva 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  y  e.  B )  ->  y  =  ( F `  ( f `  y
) ) )
18 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
19 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
f `  x )  =  ( f `  z ) )
2019fveq2d 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  ( f `  x ) )  =  ( F `  (
f `  z )
) )
2118, 20eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  ( F `
 ( f `  x ) )  <->  z  =  ( F `  ( f `
 z ) ) ) )
2221rspccva 3218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  z  e.  B )  ->  z  =  ( F `  ( f `  z
) ) )
2317, 22eqeqan12d 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `
 x ) )  /\  y  e.  B
)  /\  ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( F `  (
f `  y )
)  =  ( F `
 ( f `  z ) ) ) )
2423anandis 828 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) )  /\  (
y  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( y  =  z  <->  ( F `  ( f `  y
) )  =  ( F `  ( f `
 z ) ) ) )
2512, 24sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  (
f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( y  =  z  <-> 
( F `  (
f `  y )
)  =  ( F `
 ( f `  z ) ) ) )
2611, 25syl5ibr 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  (
f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  /\  ( y  e.  B  /\  z  e.  B ) )  -> 
( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  z ) )
2726ralrimivva 2888 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  A. y  e.  B  A. z  e.  B  ( ( f `  y )  =  ( f `  z )  ->  y  =  z ) )
28 dff13 6164 . . . . 5  |-  ( f : B -1-1-> A  <->  ( f : B --> A  /\  A. y  e.  B  A. z  e.  B  (
( f `  y
)  =  ( f `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
2910, 27, 28sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  f : B -1-1-> A )
30 f1dom2g 7543 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  A  e. AC  B  /\  f : B -1-1-> A )  ->  B  ~<_  A )
319, 7, 29, 30syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  /\  ( f : B --> A  /\  A. x  e.  B  x  =  ( F `  ( f `  x
) ) ) )  ->  B  ~<_  A )
326, 31exlimddv 1702 . 2  |-  ( ( A  e. AC  B  /\  F : A -onto-> B )  ->  B  ~<_  A )
3332ex 434 1  |-  ( A  e. AC  B  ->  ( F : A -onto-> B  ->  B  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   class class class wbr 4452   -->wf 5589   -1-1->wf1 5590   -onto->wfo 5591   ` cfv 5593    ~<_ cdom 7524  AC wacn 8329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-fv 5601  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-map 7432  df-dom 7528  df-acn 8333
This theorem is referenced by:  fodomnum  8448  iundomg  8926
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