Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fobigcup Structured version   Unicode version

Theorem fobigcup 27936
Description:  Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fobigcup  |-  Bigcup : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fobigcup
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 6382 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  U. x  e.  _V )
21rgen 2786 . . 3  |-  A. x  e.  _V  U. x  e. 
_V
3 dfbigcup2 27935 . . . 4  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
43mptfng 5541 . . 3  |-  ( A. x  e.  _V  U. x  e.  _V  <->  Bigcup  Fn  _V )
52, 4mpbi 208 . 2  |-  Bigcup  Fn  _V
63rnmpt 5090 . . 3  |-  ran  Bigcup  =  {
y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
7 vex 2980 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
8 snex 4538 . . . . . 6  |-  { y }  e.  _V
97unisn 4111 . . . . . . 7  |-  U. {
y }  =  y
109eqcomi 2447 . . . . . 6  |-  y  = 
U. { y }
11 unieq 4104 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  U. x  =  U. { y } )
1211eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  ( y  = 
U. x  <->  y  =  U. { y } ) )
1312rspcev 3078 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  _V  /\  y  =  U. { y } )  ->  E. x  e.  _V  y  =  U. x
)
148, 10, 13mp2an 672 . . . . 5  |-  E. x  e.  _V  y  =  U. x
157, 142th 239 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  <->  E. x  e.  _V  y  =  U. x )
1615abbi2i 2559 . . 3  |-  _V  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
176, 16eqtr4i 2466 . 2  |-  ran  Bigcup  =  _V
18 df-fo 5429 . 2  |-  ( Bigcup : _V -onto-> _V  <->  ( Bigcup  Fn  _V  /\ 
ran  Bigcup  =  _V )
)
195, 17, 18mpbir2an 911 1  |-  Bigcup : _V -onto-> _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   {csn 3882   U.cuni 4096   ran crn 4846    Fn wfn 5418   -onto->wfo 5421   Bigcupcbigcup 27869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-eprel 4637  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fo 5429  df-fv 5431  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-symdif 27854  df-txp 27889  df-bigcup 27893
This theorem is referenced by:  fnbigcup  27937
  Copyright terms: Public domain W3C validator