Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fobigcup Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fobigcup 30738
Description:  Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fobigcup  |-  Bigcup : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fobigcup
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 6607 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  U. x  e.  _V )
21rgen 2766 . . 3  |-  A. x  e.  _V  U. x  e. 
_V
3 dfbigcup2 30737 . . . 4  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
43mptfng 5713 . . 3  |-  ( A. x  e.  _V  U. x  e.  _V  <->  Bigcup  Fn  _V )
52, 4mpbi 213 . 2  |-  Bigcup  Fn  _V
63rnmpt 5086 . . 3  |-  ran  Bigcup  =  {
y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
7 vex 3034 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
8 snex 4641 . . . . . 6  |-  { y }  e.  _V
97unisn 4205 . . . . . . 7  |-  U. {
y }  =  y
109eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  y  = 
U. { y }
11 unieq 4198 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  U. x  =  U. { y } )
1211eqeq2d 2481 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  ( y  = 
U. x  <->  y  =  U. { y } ) )
1312rspcev 3136 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  _V  /\  y  =  U. { y } )  ->  E. x  e.  _V  y  =  U. x
)
148, 10, 13mp2an 686 . . . . 5  |-  E. x  e.  _V  y  =  U. x
157, 142th 247 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  <->  E. x  e.  _V  y  =  U. x )
1615abbi2i 2586 . . 3  |-  _V  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
176, 16eqtr4i 2496 . 2  |-  ran  Bigcup  =  _V
18 df-fo 5595 . 2  |-  ( Bigcup : _V -onto-> _V  <->  ( Bigcup  Fn  _V  /\ 
ran  Bigcup  =  _V )
)
195, 17, 18mpbir2an 934 1  |-  Bigcup : _V -onto-> _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   {csn 3959   U.cuni 4190   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -onto->wfo 5587   Bigcupcbigcup 30671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-symdif 3654  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-eprel 4750  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fo 5595  df-fv 5597  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-txp 30691  df-bigcup 30695
This theorem is referenced by:  fnbigcup  30739
  Copyright terms: Public domain W3C validator