Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fobigcup Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fobigcup 30667
Description:  Bigcup maps the universe onto itself. (Contributed by Scott Fenton, 16-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
fobigcup  |-  Bigcup : _V -onto-> _V

Proof of Theorem fobigcup
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniexg 6588 . . . 4  |-  ( x  e.  _V  ->  U. x  e.  _V )
21rgen 2747 . . 3  |-  A. x  e.  _V  U. x  e. 
_V
3 dfbigcup2 30666 . . . 4  |-  Bigcup  =  ( x  e.  _V  |->  U. x )
43mptfng 5703 . . 3  |-  ( A. x  e.  _V  U. x  e.  _V  <->  Bigcup  Fn  _V )
52, 4mpbi 212 . 2  |-  Bigcup  Fn  _V
63rnmpt 5080 . . 3  |-  ran  Bigcup  =  {
y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
7 vex 3048 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
8 snex 4641 . . . . . 6  |-  { y }  e.  _V
97unisn 4213 . . . . . . 7  |-  U. {
y }  =  y
109eqcomi 2460 . . . . . 6  |-  y  = 
U. { y }
11 unieq 4206 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { y }  ->  U. x  =  U. { y } )
1211eqeq2d 2461 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { y }  ->  ( y  = 
U. x  <->  y  =  U. { y } ) )
1312rspcev 3150 . . . . . 6  |-  ( ( { y }  e.  _V  /\  y  =  U. { y } )  ->  E. x  e.  _V  y  =  U. x
)
148, 10, 13mp2an 678 . . . . 5  |-  E. x  e.  _V  y  =  U. x
157, 142th 243 . . . 4  |-  ( y  e.  _V  <->  E. x  e.  _V  y  =  U. x )
1615abbi2i 2566 . . 3  |-  _V  =  { y  |  E. x  e.  _V  y  =  U. x }
176, 16eqtr4i 2476 . 2  |-  ran  Bigcup  =  _V
18 df-fo 5588 . 2  |-  ( Bigcup : _V -onto-> _V  <->  ( Bigcup  Fn  _V  /\ 
ran  Bigcup  =  _V )
)
195, 17, 18mpbir2an 931 1  |-  Bigcup : _V -onto-> _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1444    e. wcel 1887   {cab 2437   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   {csn 3968   U.cuni 4198   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -onto->wfo 5580   Bigcupcbigcup 30600
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-symdif 3663  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-eprel 4745  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fo 5588  df-fv 5590  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-txp 30620  df-bigcup 30624
This theorem is referenced by:  fnbigcup  30668
  Copyright terms: Public domain W3C validator