Theorem fo2nd 5033

Description: The 2nd function maps the universe onto the universe.

Assertion

Ref	Expression
fo2nd	|- 2nd:_V-onto->_V

Proof of Theorem fo2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fo 4012	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = U.ran { x}}:_V-onto->_V <-> ({<.x, y>. | y = U.ran { x}} Fn _V /\ ran {<.x, y>. | y = U.ran { x}} = _V))
2		snex 3492	. . . . . 6 |- {x} e. _V
3	2	rnex 4209	. . . . 5 |- ran { x} e. _V
4	3	uniex 3794	. . . 4 |- U.ran { x} e. _V
5		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
6	5	biantrur 794	. . . . 5 |- (y = U.ran { x} <-> (x e. _V /\ y = U.ran { x}))
7	6	opabbii 3402	. . . 4 |- {<.x, y>. | y = U.ran { x}} = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = U.ran { x})}
8	4, 7	fnopab2 4549	. . 3 |- {<.x, y>. | y = U.ran { x}} Fn _V
9		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
10	9, 9	op2nda 4377	. . . . . . . 8 |- U.ran {<.y, y>.} = y
11	10	eqcomi 1888	. . . . . . 7 |- y = U.ran {<.y, y>.}
12		opex 3527	. . . . . . . 8 |- <.y, y>. e. _V
13		sneq 3054	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.y, y>. -> {x} = {<.y, y>.})
14	13	rneqd 4188	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.y, y>. -> ran { x} = ran {<.y, y>.})
15	14	unieqd 3188	. . . . . . . . 9 |- (x = <.y, y>. -> U.ran { x} = U.ran {<.y, y>.})
16	15	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (x = <.y, y>. -> (y = U.ran { x} <-> y = U.ran {<.y, y>.}))
17	12, 16	cla4ev 2371	. . . . . . 7 |- (y = U.ran {<.y, y>.} -> E.x y = U.ran { x})
18	11, 17	ax-mp 7	. . . . . 6 |- E.x y = U.ran { x}
19		equid 1484	. . . . . 6 |- y = y
20	18, 19	2th 786	. . . . 5 |- (E.x y = U.ran { x} <-> y = y)
21	20	abbii 2006	. . . 4 |- {y | E.x y = U.ran { x}} = {y | y = y}
22		rnopab 4201	. . . 4 |- ran {<.x, y>. | y = U.ran { x}} = {y | E.x y = U.ran { x}}
23		df-v 2294	. . . 4 |- _V = {y | y = y}
24	21, 22, 23	3eqtr4i 1921	. . 3 |- ran {<.x, y>. | y = U.ran { x}} = _V
25	1, 8, 24	mpbir2an 800	. 2 |- {<.x, y>. | y = U.ran { x}}:_V-onto->_V
26		df-2nd 5021	. . 3 |- 2nd = {<.x, y>. | y = U.ran { x}}
27		foeq1 4613	. . 3 |- (2nd = {<.x, y>. | y = U.ran { x}} -> (2nd:_V-onto->_V <-> {<.x, y>. | y = U.ran { x}}:_V-onto->_V))
28	26, 27	ax-mp 7	. 2 |- (2nd:_V-onto->_V <-> {<.x, y>. | y = U.ran { x}}:_V-onto->_V)
29	25, 28	mpbir 207	1 |- 2nd:_V-onto->_V

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177  {copab 3395  ran crn 3987   Fn wfn 3993  -onto->wfo 3996  2ndc2nd 5019

This theorem is referenced by:  df2nd2 5069  2ndconst 5071  fparlem2 5082  ruclem11 8789  gapmlem 9461  gapm 9462  smfval 9556  tx2cn 10224  upxp 10225  uptx 10226  txcnopab 10228  2txcn 10229  domrancur1clem 14549  domrancur1c 14550  codval 15071  idval 15072  cmpval 15073  issubcat 15193  cnoprab2 15922

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fo 4012  df-2nd 5021

Copyright terms: Public domain