Theorem fo1st 5032

Description: The 1st function maps the universe onto the universe.

Assertion

Ref	Expression
fo1st	|- 1st:_V-onto->_V

Proof of Theorem fo1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fo 4012	. . 3 |- ({<.x, y>. | y = U.dom { x}}:_V-onto->_V <-> ({<.x, y>. | y = U.dom { x}} Fn _V /\ ran {<.x, y>. | y = U.dom { x}} = _V))
2		snex 3492	. . . . . 6 |- {x} e. _V
3	2	dmex 4208	. . . . 5 |- dom { x} e. _V
4	3	uniex 3794	. . . 4 |- U.dom { x} e. _V
5		visset 2295	. . . . . 6 |- x e. _V
6	5	biantrur 794	. . . . 5 |- (y = U.dom { x} <-> (x e. _V /\ y = U.dom { x}))
7	6	opabbii 3402	. . . 4 |- {<.x, y>. | y = U.dom { x}} = {<.x, y>. | (x e. _V /\ y = U.dom { x})}
8	4, 7	fnopab2 4549	. . 3 |- {<.x, y>. | y = U.dom { x}} Fn _V
9		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
10	9	op1sta 4372	. . . . . . . 8 |- U.dom {<.y, y>.} = y
11	10	eqcomi 1888	. . . . . . 7 |- y = U.dom {<.y, y>.}
12		opex 3527	. . . . . . . 8 |- <.y, y>. e. _V
13		sneq 3054	. . . . . . . . . . 11 |- (x = <.y, y>. -> {x} = {<.y, y>.})
14	13	dmeqd 4159	. . . . . . . . . 10 |- (x = <.y, y>. -> dom { x} = dom {<.y, y>.})
15	14	unieqd 3188	. . . . . . . . 9 |- (x = <.y, y>. -> U.dom { x} = U.dom {<.y, y>.})
16	15	eqeq2d 1895	. . . . . . . 8 |- (x = <.y, y>. -> (y = U.dom { x} <-> y = U.dom {<.y, y>.}))
17	12, 16	cla4ev 2371	. . . . . . 7 |- (y = U.dom {<.y, y>.} -> E.x y = U.dom { x})
18	11, 17	ax-mp 7	. . . . . 6 |- E.x y = U.dom { x}
19		equid 1484	. . . . . 6 |- y = y
20	18, 19	2th 786	. . . . 5 |- (E.x y = U.dom { x} <-> y = y)
21	20	abbii 2006	. . . 4 |- {y | E.x y = U.dom { x}} = {y | y = y}
22		rnopab 4201	. . . 4 |- ran {<.x, y>. | y = U.dom { x}} = {y | E.x y = U.dom { x}}
23		df-v 2294	. . . 4 |- _V = {y | y = y}
24	21, 22, 23	3eqtr4i 1921	. . 3 |- ran {<.x, y>. | y = U.dom { x}} = _V
25	1, 8, 24	mpbir2an 800	. 2 |- {<.x, y>. | y = U.dom { x}}:_V-onto->_V
26		df-1st 5020	. . 3 |- 1st = {<.x, y>. | y = U.dom { x}}
27		foeq1 4613	. . 3 |- (1st = {<.x, y>. | y = U.dom { x}} -> (1st:_V-onto->_V <-> {<.x, y>. | y = U.dom { x}}:_V-onto->_V))
28	26, 27	ax-mp 7	. 2 |- (1st:_V-onto->_V <-> {<.x, y>. | y = U.dom { x}}:_V-onto->_V)
29	25, 28	mpbir 207	1 |- 1st:_V-onto->_V

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292  {csn 3044  <.cop 3046  U.cuni 3177  {copab 3395  dom cdm 3986  ran crn 3987   Fn wfn 3993  -onto->wfo 3996  1stc1st 5018

This theorem is referenced by:  1stcof 5040  df1st2 5068  1stconst 5070  fparlem1 5081  fsplit 5086  ruclem10 8788  bcthlem3 9279  vafval 9554  smfval 9556  0vfval 9557  vsfval 9586  tx1cn 10223  upxp 10225  uptx 10226  txcnopab 10228  2txcn 10229  prj1 14395  imfstnrelc 14396  domval 15070  codval 15071  idval 15072  issubcat 15193  filnetlem5 15644  filnet 15645  cnoprab1 15921  heiborlem33 15987  heiborlem34 15988

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fo 4012  df-1st 5020

Copyright terms: Public domain