MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fo00 Structured version   Unicode version

Theorem fo00 5786
Description: Onto mapping of the empty set. (Contributed by NM, 22-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
fo00  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )

Proof of Theorem fo00
StepHypRef Expression
1 fofn 5734 . . . . . 6  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F  Fn  (/) )
2 fn0 5635 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  (/)  <->  F  =  (/) )
3 f10 5784 . . . . . . . 8  |-  (/) : (/) -1-1-> A
4 f1eq1 5713 . . . . . . . 8  |-  ( F  =  (/)  ->  ( F : (/) -1-1-> A  <->  (/) : (/) -1-1-> A ) )
53, 4mpbiri 233 . . . . . . 7  |-  ( F  =  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
62, 5sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  (/)  ->  F : (/) -1-1->
A )
71, 6syl 17 . . . . 5  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1->
A )
87ancri 550 . . . 4  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/)
-onto-> A ) )
9 df-f1o 5530 . . . 4  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F : (/) -1-1-> A  /\  F : (/) -onto-> A ) )
108, 9sylibr 212 . . 3  |-  ( F : (/) -onto-> A  ->  F : (/) -1-1-onto-> A )
11 f1ofo 5760 . . 3  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A  ->  F : (/) -onto-> A )
1210, 11impbii 188 . 2  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  F : (/) -1-1-onto-> A )
13 f1o00 5785 . 2  |-  ( F : (/)
-1-1-onto-> A 
<->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
1412, 13bitri 249 1  |-  ( F : (/) -onto-> A  <->  ( F  =  (/)  /\  A  =  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403   (/)c0 3735    Fn wfn 5518   -1-1->wf1 5520   -onto->wfo 5521   -1-1-onto->wf1o 5522
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4627
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-ral 2756  df-rex 2757  df-rab 2760  df-v 3058  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-nul 3736  df-if 3883  df-sn 3970  df-pr 3972  df-op 3976  df-br 4393  df-opab 4451  df-id 4735  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530
This theorem is referenced by:  fsumf1o  13599  fprodf1o  13810  0ramcl  14640
  Copyright terms: Public domain W3C validator