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Theorem fnwelem 6692
Description: Lemma for fnwe 6693. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fnwe.1  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
fnwe.2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
fnwe.3  |-  ( ph  ->  R  We  B )
fnwe.4  |-  ( ph  ->  S  We  A )
fnwe.5  |-  ( ph  ->  ( F " w
)  e.  _V )
fnwelem.6  |-  Q  =  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) ) }
fnwelem.7  |-  G  =  ( z  e.  A  |-> 
<. ( F `  z
) ,  z >.
)
Assertion
Ref Expression
fnwelem  |-  ( ph  ->  T  We  A )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, A   
u, B, v, w, x, y, z    w, G, x, y    ph, w, x, z    u, F, v, w, x, y, z   
w, Q, x, y   
u, R, v, w, x, y    u, S, v, w, x, y   
w, T
Allowed substitution hints:    ph( y, v, u)    Q( z, v, u)    R( z)    S( z)    T( x, y, z, v, u)    G( z, v, u)

Proof of Theorem fnwelem
StepHypRef Expression
1 fnwe.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
2 ffvelrn 5846 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  B )
3 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
4 opelxp 4874 . . . . . 6  |-  ( <.
( F `  z
) ,  z >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  B  /\  z  e.  A ) )
52, 3, 4sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  -> 
<. ( F `  z
) ,  z >.  e.  ( B  X.  A
) )
6 fnwelem.7 . . . . 5  |-  G  =  ( z  e.  A  |-> 
<. ( F `  z
) ,  z >.
)
75, 6fmptd 5872 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  G : A --> ( B  X.  A ) )
8 frn 5570 . . . 4  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  ran  G  C_  ( B  X.  A ) )
91, 7, 83syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  ( B  X.  A ) )
10 fnwe.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  We  B )
11 fnwe.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  We  A )
12 fnwelem.6 . . . . 5  |-  Q  =  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) ) }
1312wexp 6691 . . . 4  |-  ( ( R  We  B  /\  S  We  A )  ->  Q  We  ( B  X.  A ) )
1410, 11, 13syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  We  ( B  X.  A ) )
15 wess 4712 . . 3  |-  ( ran 
G  C_  ( B  X.  A )  ->  ( Q  We  ( B  X.  A )  ->  Q  We  ran  G ) )
169, 14, 15sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  Q  We  ran  G
)
17 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
1917, 18opeq12d 4072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  <. ( F `  z ) ,  z >.  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
20 opex 4561 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  _V
2119, 6, 20fvmpt 5779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( G `  x )  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
22 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
23 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  z  =  y )
2422, 23opeq12d 4072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. ( F `  z ) ,  z >.  =  <. ( F `  y ) ,  y >. )
25 opex 4561 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. ( F `  y ) ,  y >.  e.  _V
2624, 6, 25fvmpt 5779 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( G `  y )  =  <. ( F `  y ) ,  y
>. )
2721, 26eqeqan12d 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  <->  <. ( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.
) )
28 fvex 5706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
29 vex 2980 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3028, 29opth 4571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =  y )
)
3130simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.  ->  x  =  y )
3227, 31syl6bi 228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y ) )
3332rgen2a 2787 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y ) )
35 dff13 5976 . . . . . . 7  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  <->  ( G : A --> ( B  X.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( G `  x
)  =  ( G `
 y )  ->  x  =  y )
) )
367, 34, 35sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  G : A -1-1-> ( B  X.  A ) )
37 f1f1orn 5657 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  G : A -1-1-onto-> ran  G )
38 f1ocnv 5658 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-onto-> ran  G  ->  `' G : ran  G -1-1-onto-> A )
391, 36, 37, 384syl 21 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G : ran  G -1-1-onto-> A
)
40 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }
4140f1oiso2 6048 . . . . . 6  |-  ( `' G : ran  G -1-1-onto-> A  ->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) }  ( ran 
G ,  A ) )
42 fnwe.1 . . . . . . . 8  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
43 frel 5567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  Rel  G )
44 dfrel2 5293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel 
G  <->  `' `' G  =  G
)
4543, 44sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  `' `' G  =  G
)
4645fveq1d 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( `' `' G `  x )  =  ( G `  x ) )
4745fveq1d 5698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( `' `' G `  y )  =  ( G `  y ) )
4846, 47breq12d 4310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <->  ( G `  x ) Q ( G `  y ) ) )
497, 48syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <->  ( G `  x ) Q ( G `  y ) ) )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <-> 
( G `  x
) Q ( G `
 y ) ) )
5121, 26breqan12d 4312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) Q ( G `  y )  <->  <. ( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.
) )
5251adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( G `  x
) Q ( G `
 y )  <->  <. ( F `
 x ) ,  x >. Q <. ( F `  y ) ,  y >. )
)
53 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
54 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5553, 54jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
) )
56 ffvelrn 5846 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y
)  e.  B )
57 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
5856, 57jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A
) )
5955, 58anim12dan 833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A ) ) )
6059biantrurd 508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) )  <->  ( (
( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A ) )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) ) )
61 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( u  e.  ( B  X.  A
)  <->  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  ( B  X.  A ) ) )
62 opelxp 4874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A ) )
6361, 62syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( u  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A ) ) )
6463anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  <->  ( (
( F `  x
)  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) ) ) )
6528, 29op1std 6592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( 1st `  u
)  =  ( F `
 x ) )
6665breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 1st `  u ) R ( 1st `  v )  <-> 
( F `  x
) R ( 1st `  v ) ) )
6765eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( F `  x
)  =  ( 1st `  v ) ) )
6828, 29op2ndd 6593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( 2nd `  u
)  =  x )
6968breq1d 4307 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v )  <-> 
x S ( 2nd `  v ) ) )
7067, 69anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v
)  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v ) )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) ) )
7166, 70orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( 1st `  u ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v
)  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v ) ) )  <->  ( ( F `  x ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) ) ) )
7264, 71anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  /\  (
( F `  x
) R ( 1st `  v )  \/  (
( F `  x
)  =  ( 1st `  v )  /\  x S ( 2nd `  v
) ) ) ) ) )
73 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( v  e.  ( B  X.  A
)  <->  <. ( F `  y ) ,  y
>.  e.  ( B  X.  A ) ) )
74 opelxp 4874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  y
) ,  y >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 y )  e.  B  /\  y  e.  A ) )
7573, 74syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( v  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 y )  e.  B  /\  y  e.  A ) ) )
7675anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( ( F `  x
)  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  <-> 
( ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
) ) )
77 fvex 5706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
78 vex 2980 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
7977, 78op1std 6592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( 1st `  v
)  =  ( F `
 y ) )
8079breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( F `
 x ) R ( 1st `  v
)  <->  ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
8179eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( F `
 x )  =  ( 1st `  v
)  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
8277, 78op2ndd 6593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( 2nd `  v
)  =  y )
8382breq2d 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( x S ( 2nd `  v
)  <->  x S y ) )
8481, 83anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) )  <->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) )
8580, 84orbi12d 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  x ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) )  <->  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) )
8676, 85anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  /\  (
( F `  x
) R ( 1st `  v )  \/  (
( F `  x
)  =  ( 1st `  v )  /\  x S ( 2nd `  v
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
)  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) ) )
8720, 25, 72, 86, 12brab 4616 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
)  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) )
8860, 87syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( F `  x
) R ( F `
 y )  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) ) )
8950, 52, 883bitrrd 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) )  <->  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) )
9089pm5.32da 641 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
) R ( F `
 y )  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) ) )
9190opabbidv 4360 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) } )
9242, 91syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  T  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) } )
93 isoeq3 6017 . . . . . . 7  |-  ( T  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  ->  ( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A )  <->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  ( ran 
G ,  A ) ) )
9492, 93syl 16 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran 
G ,  A )  <->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) }  ( ran 
G ,  A ) ) )
9541, 94syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' G : ran  G -1-1-onto-> A  ->  `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A
) ) )
961, 39, 95sylc 60 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A ) )
97 isocnv 6026 . . . 4  |-  ( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A )  ->  `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G ) )
9896, 97syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G ) )
99 imacnvcnv 5308 . . . . 5  |-  ( `' `' G " w )  =  ( G "
w )
100 fnwe.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " w
)  e.  _V )
101 vex 2980 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
102 xpexg 6512 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F " w
)  e.  _V  /\  w  e.  _V )  ->  ( ( F "
w )  X.  w
)  e.  _V )
103100, 101, 102sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F "
w )  X.  w
)  e.  _V )
104 imadmres 5335 . . . . . . 7  |-  ( G
" dom  ( G  |`  w ) )  =  ( G " w
)
105 dmres 5136 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( G  |`  w )  =  ( w  i^i  dom  G )
106105elin2 3546 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom  ( G  |`  w )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )
107 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  G )
108 f1dm 5615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  dom  G  =  A )
1091, 36, 1083syl 20 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  G  =  A )
110109adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  G  =  A )
111107, 110eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  A
)
112111, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
113 ffn 5564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
1141, 113syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
115114adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  F  Fn  A
)
116 dmres 5136 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( F  |`  w )  =  ( w  i^i  dom  F )
117 inss2 3576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
118 fndm 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
119115, 118syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  F  =  A )
120117, 119syl5sseq 3409 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( w  i^i 
dom  F )  C_  A )
121116, 120syl5eqss 3405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  ( F  |`  w )  C_  A
)
122 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  w
)
123111, 119eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  F )
124116elin2 3546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  w )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  F ) )
125122, 123, 124sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  ( F  |`  w ) )
126 fnfvima 5960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  dom  ( F  |`  w
)  C_  A  /\  x  e.  dom  ( F  |`  w ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( F
" dom  ( F  |`  w ) ) )
127115, 121, 125, 126syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " dom  ( F  |`  w ) ) )
128 imadmres 5335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" dom  ( F  |`  w ) )  =  ( F " w
)
129127, 128syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " w ) )
130 opelxpi 4876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( F
" w )  /\  x  e.  w )  -> 
<. ( F `  x
) ,  x >.  e.  ( ( F "
w )  X.  w
) )
131129, 122, 130syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  ( ( F
" w )  X.  w ) )
132112, 131eqeltrd 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( ( F " w
)  X.  w ) )
133106, 132sylan2b 475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( G  |`  w
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( ( F "
w )  X.  w
) )
134133ralrimiva 2804 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) )
135 f1fun 5613 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  Fun  G )
1361, 36, 1353syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  G )
137 resss 5139 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  w )  C_  G
138 dmss 5044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  w )  C_  G  ->  dom  ( G  |`  w )  C_  dom  G )
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( G  |`  w )  C_  dom  G
140 funimass4 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  ( G  |`  w ) 
C_  dom  G )  ->  ( ( G " dom  ( G  |`  w
) )  C_  (
( F " w
)  X.  w )  <->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) ) )
141136, 139, 140sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G " dom  ( G  |`  w
) )  C_  (
( F " w
)  X.  w )  <->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) ) )
142134, 141mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G " dom  ( G  |`  w ) )  C_  ( ( F " w )  X.  w ) )
143104, 142syl5eqssr 3406 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G " w
)  C_  ( ( F " w )  X.  w ) )
144103, 143ssexd 4444 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G " w
)  e.  _V )
14599, 144syl5eqel 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' `' G " w )  e.  _V )
146145alrimiv 1685 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w ( `' `' G " w )  e.  _V )
147 isowe2 6046 . . 3  |-  ( ( `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G )  /\  A. w ( `' `' G " w )  e. 
_V )  ->  ( Q  We  ran  G  ->  T  We  A )
)
14898, 146, 147syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  We  ran  G  ->  T  We  A
) )
14916, 148mpd 15 1  |-  ( ph  ->  T  We  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   _Vcvv 2977    i^i cin 3332    C_ wss 3333   <.cop 3888   class class class wbr 4297   {copab 4354    e. cmpt 4355    We wwe 4683    X. cxp 4843   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   "cima 4848   Rel wrel 4850   Fun wfun 5417    Fn wfn 5418   -->wf 5419   -1-1->wf1 5420   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423    Isom wiso 5424   1stc1st 6580   2ndc2nd 6581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-1st 6582  df-2nd 6583
This theorem is referenced by:  fnwe  6693
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