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Theorem fnwelem 6859
Description: Lemma for fnwe 6860. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fnwe.1  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
fnwe.2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
fnwe.3  |-  ( ph  ->  R  We  B )
fnwe.4  |-  ( ph  ->  S  We  A )
fnwe.5  |-  ( ph  ->  ( F " w
)  e.  _V )
fnwelem.6  |-  Q  =  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) ) }
fnwelem.7  |-  G  =  ( z  e.  A  |-> 
<. ( F `  z
) ,  z >.
)
Assertion
Ref Expression
fnwelem  |-  ( ph  ->  T  We  A )
Distinct variable groups:    v, u, w, x, y, z, A   
u, B, v, w, x, y, z    w, G, x, y    ph, w, x, z    u, F, v, w, x, y, z   
w, Q, x, y   
u, R, v, w, x, y    u, S, v, w, x, y   
w, T
Allowed substitution hints:    ph( y, v, u)    Q( z, v, u)    R( z)    S( z)    T( x, y, z, v, u)    G( z, v, u)

Proof of Theorem fnwelem
StepHypRef Expression
1 fnwe.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
2 ffvelrn 5972 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  B )
3 simpr 462 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  A )
4 opelxp 4819 . . . . . 6  |-  ( <.
( F `  z
) ,  z >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 z )  e.  B  /\  z  e.  A ) )
52, 3, 4sylanbrc 668 . . . . 5  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  -> 
<. ( F `  z
) ,  z >.  e.  ( B  X.  A
) )
6 fnwelem.7 . . . . 5  |-  G  =  ( z  e.  A  |-> 
<. ( F `  z
) ,  z >.
)
75, 6fmptd 5998 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  G : A --> ( B  X.  A ) )
8 frn 5688 . . . 4  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  ran  G  C_  ( B  X.  A ) )
91, 7, 83syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  G  C_  ( B  X.  A ) )
10 fnwe.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  We  B )
11 fnwe.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  We  A )
12 fnwelem.6 . . . . 5  |-  Q  =  { <. u ,  v
>.  |  ( (
u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) ) }
1312wexp 6858 . . . 4  |-  ( ( R  We  B  /\  S  We  A )  ->  Q  We  ( B  X.  A ) )
1410, 11, 13syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  We  ( B  X.  A ) )
15 wess 4776 . . 3  |-  ( ran 
G  C_  ( B  X.  A )  ->  ( Q  We  ( B  X.  A )  ->  Q  We  ran  G ) )
169, 14, 15sylc 62 . 2  |-  ( ph  ->  Q  We  ran  G
)
17 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  ( F `  z )  =  ( F `  x ) )
18 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  x  ->  z  =  x )
1917, 18opeq12d 4131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  x  ->  <. ( F `  z ) ,  z >.  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
20 opex 4621 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  _V
2119, 6, 20fvmpt 5901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( G `  x )  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
22 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
23 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  z  =  y )
2422, 23opeq12d 4131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  <. ( F `  z ) ,  z >.  =  <. ( F `  y ) ,  y >. )
25 opex 4621 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. ( F `  y ) ,  y >.  e.  _V
2624, 6, 25fvmpt 5901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  A  ->  ( G `  y )  =  <. ( F `  y ) ,  y
>. )
2721, 26eqeqan12d 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  <->  <. ( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.
) )
28 fvex 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
29 vex 3019 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
3028, 29opth 4631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x  =  y )
)
3130simprbi 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  = 
<. ( F `  y
) ,  y >.  ->  x  =  y )
3227, 31syl6bi 231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y ) )
3332rgen2a 2786 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( ( G `  x )  =  ( G `  y )  ->  x  =  y ) )
35 dff13 6111 . . . . . . 7  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  <->  ( G : A --> ( B  X.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
( G `  x
)  =  ( G `
 y )  ->  x  =  y )
) )
367, 34, 35sylanbrc 668 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  ->  G : A -1-1-> ( B  X.  A ) )
37 f1f1orn 5778 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  G : A -1-1-onto-> ran  G )
38 f1ocnv 5779 . . . . . 6  |-  ( G : A -1-1-onto-> ran  G  ->  `' G : ran  G -1-1-onto-> A )
391, 36, 37, 384syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  `' G : ran  G -1-1-onto-> A
)
40 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }
4140f1oiso2 6195 . . . . . 6  |-  ( `' G : ran  G -1-1-onto-> A  ->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) }  ( ran 
G ,  A ) )
42 fnwe.1 . . . . . . . 8  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
43 frel 5685 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  Rel  G )
44 dfrel2 5241 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Rel 
G  <->  `' `' G  =  G
)
4543, 44sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  ->  `' `' G  =  G
)
4645fveq1d 5820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( `' `' G `  x )  =  ( G `  x ) )
4745fveq1d 5820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( `' `' G `  y )  =  ( G `  y ) )
4846, 47breq12d 4372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G : A --> ( B  X.  A )  -> 
( ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <->  ( G `  x ) Q ( G `  y ) ) )
497, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <->  ( G `  x ) Q ( G `  y ) ) )
5049adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )  <-> 
( G `  x
) Q ( G `
 y ) ) )
5121, 26breqan12d 4375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( ( G `  x ) Q ( G `  y )  <->  <. ( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.
) )
5251adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( G `  x
) Q ( G `
 y )  <->  <. ( F `
 x ) ,  x >. Q <. ( F `  y ) ,  y >. )
)
53 ffvelrn 5972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
54 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
5553, 54jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
) )
56 ffvelrn 5972 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( F `  y
)  e.  B )
57 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
5856, 57jca 534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : A --> B  /\  y  e.  A )  ->  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A
) )
5955, 58anim12dan 845 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A ) ) )
6059biantrurd 510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) )  <->  ( (
( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  ( ( F `  y )  e.  B  /\  y  e.  A ) )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) ) )
61 eleq1 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( u  e.  ( B  X.  A
)  <->  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  ( B  X.  A ) ) )
62 opelxp 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A ) )
6361, 62syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( u  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A ) ) )
6463anbi1d 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  <->  ( (
( F `  x
)  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) ) ) )
6528, 29op1std 6754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( 1st `  u
)  =  ( F `
 x ) )
6665breq1d 4369 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 1st `  u ) R ( 1st `  v )  <-> 
( F `  x
) R ( 1st `  v ) ) )
6765eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v )  <-> 
( F `  x
)  =  ( 1st `  v ) ) )
6828, 29op2ndd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( 2nd `  u
)  =  x )
6968breq1d 4369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v )  <-> 
x S ( 2nd `  v ) ) )
7067, 69anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v
)  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v ) )  <->  ( ( F `
 x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) ) )
7166, 70orbi12d 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( 1st `  u ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( 1st `  u )  =  ( 1st `  v
)  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v ) ) )  <->  ( ( F `  x ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) ) ) )
7264, 71anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  <. ( F `  x ) ,  x >.  ->  ( ( ( u  e.  ( B  X.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  /\  ( ( 1st `  u
) R ( 1st `  v )  \/  (
( 1st `  u
)  =  ( 1st `  v )  /\  ( 2nd `  u ) S ( 2nd `  v
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  /\  (
( F `  x
) R ( 1st `  v )  \/  (
( F `  x
)  =  ( 1st `  v )  /\  x S ( 2nd `  v
) ) ) ) ) )
73 eleq1 2488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( v  e.  ( B  X.  A
)  <->  <. ( F `  y ) ,  y
>.  e.  ( B  X.  A ) ) )
74 opelxp 4819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <.
( F `  y
) ,  y >.  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 y )  e.  B  /\  y  e.  A ) )
7573, 74syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( v  e.  ( B  X.  A
)  <->  ( ( F `
 y )  e.  B  /\  y  e.  A ) ) )
7675anbi2d 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( ( F `  x
)  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  ( B  X.  A ) )  <-> 
( ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
) ) )
77 fvex 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
78 vex 3019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
7977, 78op1std 6754 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( 1st `  v
)  =  ( F `
 y ) )
8079breq2d 4371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( F `
 x ) R ( 1st `  v
)  <->  ( F `  x ) R ( F `  y ) ) )
8179eqeq2d 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( F `
 x )  =  ( 1st `  v
)  <->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) ) )
8277, 78op2ndd 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( 2nd `  v
)  =  y )
8382breq2d 4371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( x S ( 2nd `  v
)  <->  x S y ) )
8481, 83anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) )  <->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) )
8580, 84orbi12d 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( F `  x ) R ( 1st `  v
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( 1st `  v
)  /\  x S
( 2nd `  v
) ) )  <->  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) )
8676, 85anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  <. ( F `  y ) ,  y
>.  ->  ( ( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A
)  /\  v  e.  ( B  X.  A
) )  /\  (
( F `  x
) R ( 1st `  v )  \/  (
( F `  x
)  =  ( 1st `  v )  /\  x S ( 2nd `  v
) ) ) )  <-> 
( ( ( ( F `  x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
)  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) ) )
8720, 25, 72, 86, 12brab 4679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( ( ( F `
 x )  e.  B  /\  x  e.  A )  /\  (
( F `  y
)  e.  B  /\  y  e.  A )
)  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  /\  x S y ) ) ) )
8860, 87syl6rbbr 267 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  ( <. ( F `  x
) ,  x >. Q
<. ( F `  y
) ,  y >.  <->  ( ( F `  x
) R ( F `
 y )  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) ) )
8950, 52, 883bitrrd 283 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : A --> B  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) )  <->  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) )
9089pm5.32da 645 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  (
( F `  x
) R ( F `
 y )  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) ) )
9190opabbidv 4423 . . . . . . . 8  |-  ( F : A --> B  ->  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) } )
9242, 91syl5eq 2468 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> B  ->  T  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) } )
93 isoeq3 6164 . . . . . . 7  |-  ( T  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  ->  ( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A )  <->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y )
) }  ( ran 
G ,  A ) ) )
9492, 93syl 17 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran 
G ,  A )  <->  `' G  Isom  Q ,  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( `' `' G `  x ) Q ( `' `' G `  y ) ) }  ( ran 
G ,  A ) ) )
9541, 94syl5ibr 224 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' G : ran  G -1-1-onto-> A  ->  `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A
) ) )
961, 39, 95sylc 62 . . . 4  |-  ( ph  ->  `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A ) )
97 isocnv 6173 . . . 4  |-  ( `' G  Isom  Q ,  T  ( ran  G ,  A )  ->  `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G ) )
9896, 97syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G ) )
99 imacnvcnv 5255 . . . . 5  |-  ( `' `' G " w )  =  ( G "
w )
100 fnwe.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " w
)  e.  _V )
101 vex 3019 . . . . . . 7  |-  w  e. 
_V
102 xpexg 6544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F " w
)  e.  _V  /\  w  e.  _V )  ->  ( ( F "
w )  X.  w
)  e.  _V )
103100, 101, 102sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F "
w )  X.  w
)  e.  _V )
104 imadmres 5282 . . . . . . 7  |-  ( G
" dom  ( G  |`  w ) )  =  ( G " w
)
105 dmres 5080 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  ( G  |`  w )  =  ( w  i^i  dom  G )
106105elin2 3589 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  dom  ( G  |`  w )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )
107 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  G )
108 f1dm 5736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  dom  G  =  A )
1091, 36, 1083syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  dom  G  =  A )
110109adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  G  =  A )
111107, 110eleqtrd 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  A
)
112111, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  =  <. ( F `  x ) ,  x >. )
113 ffn 5682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
1141, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
115114adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  F  Fn  A
)
116 dmres 5080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  dom  ( F  |`  w )  =  ( w  i^i  dom  F )
117 inss2 3619 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  i^i  dom  F )  C_ 
dom  F
118 fndm 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F  Fn  A  ->  dom  F  =  A )
119115, 118syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  F  =  A )
120117, 119syl5sseq 3448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( w  i^i 
dom  F )  C_  A )
121116, 120syl5eqss 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  dom  ( F  |`  w )  C_  A
)
122 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  w
)
123111, 119eleqtrrd 2503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  F )
124116elin2 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  w )  <->  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  F ) )
125122, 123, 124sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  x  e.  dom  ( F  |`  w ) )
126 fnfvima 6095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  Fn  A  /\  dom  ( F  |`  w
)  C_  A  /\  x  e.  dom  ( F  |`  w ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( F
" dom  ( F  |`  w ) ) )
127115, 121, 125, 126syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " dom  ( F  |`  w ) ) )
128 imadmres 5282 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F
" dom  ( F  |`  w ) )  =  ( F " w
)
129127, 128syl6eleq 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( F " w ) )
130 opelxpi 4821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( F
" w )  /\  x  e.  w )  -> 
<. ( F `  x
) ,  x >.  e.  ( ( F "
w )  X.  w
) )
131129, 122, 130syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  <. ( F `  x ) ,  x >.  e.  ( ( F
" w )  X.  w ) )
132112, 131eqeltrd 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  w  /\  x  e.  dom  G ) )  ->  ( G `  x )  e.  ( ( F " w
)  X.  w ) )
133106, 132sylan2b 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  dom  ( G  |`  w
) )  ->  ( G `  x )  e.  ( ( F "
w )  X.  w
) )
134133ralrimiva 2773 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) )
135 f1fun 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( G : A -1-1-> ( B  X.  A )  ->  Fun  G )
1361, 36, 1353syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Fun  G )
137 resss 5083 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  |`  w )  C_  G
138 dmss 4989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  |`  w )  C_  G  ->  dom  ( G  |`  w )  C_  dom  G )
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  ( G  |`  w )  C_  dom  G
140 funimass4 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  G  /\  dom  ( G  |`  w ) 
C_  dom  G )  ->  ( ( G " dom  ( G  |`  w
) )  C_  (
( F " w
)  X.  w )  <->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) ) )
141136, 139, 140sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G " dom  ( G  |`  w
) )  C_  (
( F " w
)  X.  w )  <->  A. x  e.  dom  ( G  |`  w ) ( G `  x
)  e.  ( ( F " w )  X.  w ) ) )
142134, 141mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G " dom  ( G  |`  w ) )  C_  ( ( F " w )  X.  w ) )
143104, 142syl5eqssr 3445 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G " w
)  C_  ( ( F " w )  X.  w ) )
144103, 143ssexd 4507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G " w
)  e.  _V )
14599, 144syl5eqel 2504 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( `' `' G " w )  e.  _V )
146145alrimiv 1767 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w ( `' `' G " w )  e.  _V )
147 isowe2 6193 . . 3  |-  ( ( `' `' G  Isom  T ,  Q  ( A ,  ran  G )  /\  A. w ( `' `' G " w )  e. 
_V )  ->  ( Q  We  ran  G  ->  T  We  A )
)
14898, 146, 147syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( Q  We  ran  G  ->  T  We  A
) )
14916, 148mpd 15 1  |-  ( ph  ->  T  We  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2708   _Vcvv 3016    i^i cin 3371    C_ wss 3372   <.cop 3940   class class class wbr 4359   {copab 4417    |-> cmpt 4418    We wwe 4747    X. cxp 4787   `'ccnv 4788   dom cdm 4789   ran crn 4790    |` cres 4791   "cima 4792   Rel wrel 4794   Fun wfun 5531    Fn wfn 5532   -->wf 5533   -1-1->wf1 5534   -1-1-onto->wf1o 5536   ` cfv 5537    Isom wiso 5538   1stc1st 6742   2ndc2nd 6743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-ral 2713  df-rex 2714  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-1st 6744  df-2nd 6745
This theorem is referenced by:  fnwe  6860
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