MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnssres Structured version   Unicode version

Theorem fnssres 5522
Description: Restriction of a function with a subclass of its domain. (Contributed by NM, 2-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
fnssres  |-  ( ( F  Fn  A  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B )  Fn  B )

Proof of Theorem fnssres
StepHypRef Expression
1 fnssresb 5521 . 2  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( F  |`  B )  Fn  B  <->  B  C_  A
) )
21biimpar 485 1  |-  ( ( F  Fn  A  /\  B  C_  A )  -> 
( F  |`  B )  Fn  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    C_ wss 3326    |` cres 4840    Fn wfn 5411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-br 4291  df-opab 4349  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-res 4850  df-fun 5418  df-fn 5419
This theorem is referenced by:  fnresin1  5523  fnresin2  5524  fssres  5576  fvreseq0  5801  fnreseql  5811  ffvresb  5872  fnressn  5892  fnsuppresOLD  5936  soisores  6016  ofres  6333  fnsuppres  6714  tfrlem1  6833  tz7.48lem  6894  tz7.49c  6899  resixp  7296  ixpfi2  7607  dfac12lem1  8310  ackbij2lem3  8408  cfsmolem  8437  alephsing  8443  ttukeylem3  8678  iunfo  8701  fpwwe2lem8  8802  mulnzcnopr  9980  seqfeq2  11827  seqf1olem2  11844  hashgval2  12139  swrd0len  12316  swrdccat1  12349  reeff1  13402  eucalg  13760  sscres  14734  fullsubc  14758  fullresc  14759  funcres2c  14809  dmaf  14915  cdaf  14916  frmdplusg  15530  frmdss2  15539  gass  15817  dprdfadd  16508  dprdfaddOLD  16515  mgpf  16654  prdscrngd  16703  subrgascl  17578  mdetrsca  18408  upxp  19194  uptx  19196  cnmpt1st  19239  cnmpt2nd  19240  cnextfres  19638  prdstmdd  19692  ressprdsds  19944  prdsxmslem2  20102  xrsdsre  20385  itg1addlem4  21175  recosf1o  21989  resinf1o  21990  dvdsmulf1o  22532  eupath2lem3  23598  ghgrp  23853  sspg  24124  ssps  24126  sspmlem  24128  sspn  24132  hhssnv  24663  cnre2csqlem  26338  rmulccn  26356  raddcn  26357  subiwrdlen  26767  signsvtn0  26969  signstres  26974  subfacp1lem3  27068  subfacp1lem5  27070  cvmlift2lem9a  27190  nodenselem6  27825  bpolylem  28189  finixpnum  28411  ftc1anclem3  28466  filnetlem4  28599  isdrngo2  28761  imaiinfv  29026  fnwe2lem2  29401  aomclem6  29409  deg1mhm  29572  bnj1253  32005  bnj1280  32008  diaintclN  34700  dibintclN  34809  dihintcl  34986
  Copyright terms: Public domain W3C validator