Theorem fnse 6940

Description: Condition for the well-order in fnwe 6939 to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnse.1	|- T = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) R ( F ` y ) \/ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x S y ) ) ) }
fnse.2	|- ( ph -> F : A --> B )
fnse.3	|- ( ph -> R Se B )
fnse.4	|- ( ph -> ( `' F " w ) e. _V )

Assertion

Ref	Expression
fnse	|- ( ph -> T Se A )

Distinct variable groups:   x, y, A   w, B   x, w, y, F   ph, w   w, R, x, y   x, S, y   w, T

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( w)   B( x, y)   S( w)   T( x, y)

Proof of Theorem fnse

Dummy variables z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnse.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A --> B )
2	1	ffvelrnda 6045	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
3		fnse.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Se B )
4		seex 4816	. . . . . . . 8 |- ( ( R Se B /\ ( F ` z ) e. B ) -> { u e. B | u R ( F ` z ) } e. _V )
5	3, 4	sylan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F ` z ) e. B ) -> { u e. B | u R ( F ` z ) } e. _V )
6	2, 5	syldan 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> { u e. B | u R ( F ` z ) } e. _V )
7		snex 4655	. . . . . 6 |- { ( F ` z ) } e. _V
8		unexg 6619	. . . . . 6 |- ( ( { u e. B | u R ( F ` z ) } e. _V /\ { ( F ` z ) } e. _V ) -> ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) e. _V )
9	6, 7, 8	sylancl 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) e. _V )
10		imaeq2 5183	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) -> ( `' F " w ) = ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
11	10	eleq1d 2524	. . . . . . . 8 |- ( w = ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) -> ( ( `' F " w ) e. _V <-> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V ) )
12	11	imbi2d 322	. . . . . . 7 |- ( w = ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) -> ( ( ph -> ( `' F " w ) e. _V ) <-> ( ph -> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V ) ) )
13		fnse.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " w ) e. _V )
14	12, 13	vtoclg 3119	. . . . . 6 |- ( ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) e. _V -> ( ph -> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V ) )
15	14	impcom 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) e. _V ) -> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V )
16	9, 15	syldan 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V )
17		inss2 3665	. . . . . 6 |- ( A i^i ( `' T " { z } ) ) C_ ( `' T " { z } )
18		vex 3060	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
19		vex 3060	. . . . . . . . . 10 |- w e. _V
20	19	eliniseg 5216	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( w e. ( `' T " { z } ) <-> w T z ) )
21	18, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( `' T " { z } ) <-> w T z )
22		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
23		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
24	22, 23	breqan12d 4432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) <-> ( F ` w ) R ( F ` z ) ) )
25	22, 23	eqeqan12d 2478	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` w ) = ( F ` z ) ) )
26		breq12 4421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( x S y <-> w S z ) )
27	25, 26	anbi12d 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x S y ) <-> ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) )
28	24, 27	orbi12d 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( ( ( F ` x ) R ( F ` y ) \/ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x S y ) ) <-> ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) ) )
29		fnse.1	. . . . . . . . . 10 |- T = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) R ( F ` y ) \/ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x S y ) ) ) }
30	28, 29	brab2ga 4929	. . . . . . . . 9 |- ( w T z <-> ( ( w e. A /\ z e. A ) /\ ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) ) )
31	1	ffvelrnda 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( F ` w ) e. B )
32	31	adantrr 728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( F ` w ) e. B )
33		breq1 4419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( F ` w ) -> ( u R ( F ` z ) <-> ( F ` w ) R ( F ` z ) ) )
34	33	elrab3 3209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` w ) e. B -> ( ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } <-> ( F ` w ) R ( F ` z ) ) )
35	32, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } <-> ( F ` w ) R ( F ` z ) ) )
36	35	biimprd 231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` w ) R ( F ` z ) -> ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } ) )
37		simpl 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) -> ( F ` w ) = ( F ` z ) )
38		fvex 5898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` w ) e. _V
39	38	elsnc 4004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } <-> ( F ` w ) = ( F ` z ) )
40	37, 39	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) -> ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) -> ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } ) )
42	36, 41	orim12d 854	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) -> ( ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } \/ ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } ) ) )
43		elun 3586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) <-> ( ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } \/ ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } ) )
44	42, 43	syl6ibr 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) -> ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
45		simprl 769	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> w e. A )
46	44, 45	jctild 550	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) -> ( w e. A /\ ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
47		ffn 5751	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
48	1, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn A )
49	48	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> F Fn A )
50		elpreima 6025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn A -> ( w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) <-> ( w e. A /\ ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) <-> ( w e. A /\ ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
52	46, 51	sylibrd 242	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) -> w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
53	52	expimpd 612	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( w e. A /\ z e. A ) /\ ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) ) -> w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
54	30, 53	syl5bi 225	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w T z -> w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
55	21, 54	syl5bi 225	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ( `' T " { z } ) -> w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
56	55	ssrdv 3450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' T " { z } ) C_ ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
57	17, 56	syl5ss 3455	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( `' T " { z } ) ) C_ ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
58	57	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( A i^i ( `' T " { z } ) ) C_ ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
59	16, 58	ssexd 4564	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( A i^i ( `' T " { z } ) ) e. _V )
60	59	ralrimiva 2814	. 2 |- ( ph -> A. z e. A ( A i^i ( `' T " { z } ) ) e. _V )
61		dfse2 5221	. 2 |- ( T Se A <-> A. z e. A ( A i^i ( `' T " { z } ) ) e. _V )
62	60, 61	sylibr 217	1 |- ( ph -> T Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   {crab 2753   _Vcvv 3057   u. cun 3414   i^i cin 3415   C_ wss 3416   {csn 3980   class class class wbr 4416   {copab 4474   Se wse 4810   `'ccnv 4852   "cima 4856   Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pr 4653  ax-un 6610

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4417  df-opab 4476  df-id 4768  df-se 4813  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609

This theorem is referenced by:  r0weon  8469