Theorem fnse 6816

Description: Condition for the well-order in fnwe 6815 to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnse.1	|- T = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) R ( F ` y ) \/ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x S y ) ) ) }
fnse.2	|- ( ph -> F : A --> B )
fnse.3	|- ( ph -> R Se B )
fnse.4	|- ( ph -> ( `' F " w ) e. _V )

Assertion

Ref	Expression
fnse	|- ( ph -> T Se A )

Distinct variable groups:   x, y, A   w, B   x, w, y, F   ph, w   w, R, x, y   x, S, y   w, T

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( w)   B( x, y)   S( w)   T( x, y)

Proof of Theorem fnse

Dummy variables z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnse.2	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : A --> B )
2	1	ffvelrnda 5933	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. B )
3		fnse.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R Se B )
4		seex 4756	. . . . . . . 8 |- ( ( R Se B /\ ( F ` z ) e. B ) -> { u e. B | u R ( F ` z ) } e. _V )
5	3, 4	sylan 469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( F ` z ) e. B ) -> { u e. B | u R ( F ` z ) } e. _V )
6	2, 5	syldan 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> { u e. B | u R ( F ` z ) } e. _V )
7		snex 4603	. . . . . 6 |- { ( F ` z ) } e. _V
8		unexg 6500	. . . . . 6 |- ( ( { u e. B | u R ( F ` z ) } e. _V /\ { ( F ` z ) } e. _V ) -> ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) e. _V )
9	6, 7, 8	sylancl 660	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) e. _V )
10		imaeq2 5245	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) -> ( `' F " w ) = ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
11	10	eleq1d 2451	. . . . . . . 8 |- ( w = ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) -> ( ( `' F " w ) e. _V <-> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V ) )
12	11	imbi2d 314	. . . . . . 7 |- ( w = ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) -> ( ( ph -> ( `' F " w ) e. _V ) <-> ( ph -> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V ) ) )
13		fnse.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( `' F " w ) e. _V )
14	12, 13	vtoclg 3092	. . . . . 6 |- ( ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) e. _V -> ( ph -> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V ) )
15	14	impcom 428	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) e. _V ) -> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V )
16	9, 15	syldan 468	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) e. _V )
17		inss2 3633	. . . . . 6 |- ( A i^i ( `' T " { z } ) ) C_ ( `' T " { z } )
18		vex 3037	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
19		vex 3037	. . . . . . . . . 10 |- w e. _V
20	19	eliniseg 5278	. . . . . . . . 9 |- ( z e. _V -> ( w e. ( `' T " { z } ) <-> w T z ) )
21	18, 20	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( w e. ( `' T " { z } ) <-> w T z )
22		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( F ` x ) = ( F ` w ) )
23		fveq2 5774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = z -> ( F ` y ) = ( F ` z ) )
24	22, 23	breqan12d 4382	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( ( F ` x ) R ( F ` y ) <-> ( F ` w ) R ( F ` z ) ) )
25	22, 23	eqeqan12d 2405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( ( F ` x ) = ( F ` y ) <-> ( F ` w ) = ( F ` z ) ) )
26		breq12 4372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( x S y <-> w S z ) )
27	25, 26	anbi12d 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x S y ) <-> ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) )
28	24, 27	orbi12d 707	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = w /\ y = z ) -> ( ( ( F ` x ) R ( F ` y ) \/ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x S y ) ) <-> ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) ) )
29		fnse.1	. . . . . . . . . 10 |- T = { <. x , y >. | ( ( x e. A /\ y e. A ) /\ ( ( F ` x ) R ( F ` y ) \/ ( ( F ` x ) = ( F ` y ) /\ x S y ) ) ) }
30	28, 29	brab2ga 4989	. . . . . . . . 9 |- ( w T z <-> ( ( w e. A /\ z e. A ) /\ ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) ) )
31	1	ffvelrnda 5933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. A ) -> ( F ` w ) e. B )
32	31	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( F ` w ) e. B )
33		breq1 4370	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u = ( F ` w ) -> ( u R ( F ` z ) <-> ( F ` w ) R ( F ` z ) ) )
34	33	elrab3 3183	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` w ) e. B -> ( ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } <-> ( F ` w ) R ( F ` z ) ) )
35	32, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } <-> ( F ` w ) R ( F ` z ) ) )
36	35	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( F ` w ) R ( F ` z ) -> ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } ) )
37		simpl 455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) -> ( F ` w ) = ( F ` z ) )
38		fvex 5784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F ` w ) e. _V
39	38	elsnc 3968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } <-> ( F ` w ) = ( F ` z ) )
40	37, 39	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) -> ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) -> ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } ) )
42	36, 41	orim12d 836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) -> ( ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } \/ ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } ) ) )
43		elun 3559	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) <-> ( ( F ` w ) e. { u e. B | u R ( F ` z ) } \/ ( F ` w ) e. { ( F ` z ) } ) )
44	42, 43	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) -> ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
45		simprl 754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> w e. A )
46	44, 45	jctild 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) -> ( w e. A /\ ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
47		ffn 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : A --> B -> F Fn A )
48	1, 47	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn A )
49	48	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> F Fn A )
50		elpreima 5909	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F Fn A -> ( w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) <-> ( w e. A /\ ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) <-> ( w e. A /\ ( F ` w ) e. ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
52	46, 51	sylibrd 234	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( w e. A /\ z e. A ) ) -> ( ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) -> w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
53	52	expimpd 601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( w e. A /\ z e. A ) /\ ( ( F ` w ) R ( F ` z ) \/ ( ( F ` w ) = ( F ` z ) /\ w S z ) ) ) -> w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
54	30, 53	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w T z -> w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
55	21, 54	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ( `' T " { z } ) -> w e. ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) ) )
56	55	ssrdv 3423	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' T " { z } ) C_ ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
57	17, 56	syl5ss 3428	. . . . 5 |- ( ph -> ( A i^i ( `' T " { z } ) ) C_ ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
58	57	adantr 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( A i^i ( `' T " { z } ) ) C_ ( `' F " ( { u e. B | u R ( F ` z ) } u. { ( F ` z ) } ) ) )
59	16, 58	ssexd 4512	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( A i^i ( `' T " { z } ) ) e. _V )
60	59	ralrimiva 2796	. 2 |- ( ph -> A. z e. A ( A i^i ( `' T " { z } ) ) e. _V )
61		dfse2 5282	. 2 |- ( T Se A <-> A. z e. A ( A i^i ( `' T " { z } ) ) e. _V )
62	60, 61	sylibr 212	1 |- ( ph -> T Se A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034   u. cun 3387   i^i cin 3388   C_ wss 3389   {csn 3944   class class class wbr 4367   {copab 4424   Se wse 4750   `'ccnv 4912   "cima 4916   Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601  ax-un 6491

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-id 4709  df-se 4753  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-fv 5504

This theorem is referenced by:  r0weon  8303