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Theorem fnse 6816
Description: Condition for the well-order in fnwe 6815 to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fnse.1  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
fnse.2  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
fnse.3  |-  ( ph  ->  R Se  B )
fnse.4  |-  ( ph  ->  ( `' F "
w )  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
fnse  |-  ( ph  ->  T Se  A )
Distinct variable groups:    x, y, A    w, B    x, w, y, F    ph, w    w, R, x, y    x, S, y    w, T
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( w)    B( x, y)    S( w)    T( x, y)

Proof of Theorem fnse
Dummy variables  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnse.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
21ffvelrnda 5933 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  B )
3 fnse.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R Se  B )
4 seex 4756 . . . . . . . 8  |-  ( ( R Se  B  /\  ( F `  z )  e.  B )  ->  { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  e.  _V )
53, 4sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( F `  z )  e.  B
)  ->  { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  e.  _V )
62, 5syldan 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  e.  _V )
7 snex 4603 . . . . . 6  |-  { ( F `  z ) }  e.  _V
8 unexg 6500 . . . . . 6  |-  ( ( { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  e.  _V  /\  {
( F `  z
) }  e.  _V )  ->  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  e. 
_V )
96, 7, 8sylancl 660 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  u.  { ( F `
 z ) } )  e.  _V )
10 imaeq2 5245 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  -> 
( `' F "
w )  =  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) )
1110eleq1d 2451 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  -> 
( ( `' F " w )  e.  _V  <->  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  e.  _V ) )
1211imbi2d 314 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  -> 
( ( ph  ->  ( `' F " w )  e.  _V )  <->  ( ph  ->  ( `' F "
( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) )  e.  _V ) ) )
13 fnse.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( `' F "
w )  e.  _V )
1412, 13vtoclg 3092 . . . . . 6  |-  ( ( { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  u.  { ( F `
 z ) } )  e.  _V  ->  (
ph  ->  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) )  e.  _V ) )
1514impcom 428 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( {
u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  e. 
_V )  ->  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  e.  _V )
169, 15syldan 468 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  e.  _V )
17 inss2 3633 . . . . . 6  |-  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  C_  ( `' T " { z } )
18 vex 3037 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
19 vex 3037 . . . . . . . . . 10  |-  w  e. 
_V
2019eliniseg 5278 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  _V  ->  (
w  e.  ( `' T " { z } )  <->  w T
z ) )
2118, 20ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( `' T " { z } )  <-> 
w T z )
22 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
23 fveq2 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
2422, 23breqan12d 4382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  <-> 
( F `  w
) R ( F `
 z ) ) )
2522, 23eqeqan12d 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  <-> 
( F `  w
)  =  ( F `
 z ) ) )
26 breq12 4372 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( x S y  <-> 
w S z ) )
2725, 26anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y )  <->  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) ) )
2824, 27orbi12d 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  w  /\  y  =  z )  ->  ( ( ( F `
 x ) R ( F `  y
)  \/  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  /\  x S y ) )  <-> 
( ( F `  w ) R ( F `  z )  \/  ( ( F `
 w )  =  ( F `  z
)  /\  w S
z ) ) ) )
29 fnse.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  A )  /\  ( ( F `  x ) R ( F `  y )  \/  ( ( F `
 x )  =  ( F `  y
)  /\  x S
y ) ) ) }
3028, 29brab2ga 4989 . . . . . . . . 9  |-  ( w T z  <->  ( (
w  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( ( F `  w ) R ( F `  z )  \/  ( ( F `
 w )  =  ( F `  z
)  /\  w S
z ) ) ) )
311ffvelrnda 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  A )  ->  ( F `  w )  e.  B )
3231adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( F `  w
)  e.  B )
33 breq1 4370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( F `  w )  ->  (
u R ( F `
 z )  <->  ( F `  w ) R ( F `  z ) ) )
3433elrab3 3183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  w )  e.  B  ->  (
( F `  w
)  e.  { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  <->  ( F `  w ) R ( F `  z ) ) )
3532, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( F `  w )  e.  {
u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  <->  ( F `  w ) R ( F `  z ) ) )
3635biimprd 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( F `  w ) R ( F `  z )  ->  ( F `  w )  e.  {
u  e.  B  |  u R ( F `  z ) } ) )
37 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F `  w
)  =  ( F `
 z )  /\  w S z )  -> 
( F `  w
)  =  ( F `
 z ) )
38 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F `
 w )  e. 
_V
3938elsnc 3968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  w )  e.  { ( F `
 z ) }  <-> 
( F `  w
)  =  ( F `
 z ) )
4037, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  w
)  =  ( F `
 z )  /\  w S z )  -> 
( F `  w
)  e.  { ( F `  z ) } )
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w )  =  ( F `  z
)  /\  w S
z )  ->  ( F `  w )  e.  { ( F `  z ) } ) )
4236, 41orim12d 836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( F `  z
)  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) )  ->  ( ( F `
 w )  e. 
{ u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  \/  ( F `  w )  e.  {
( F `  z
) } ) ) )
43 elun 3559 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  w )  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } )  <->  ( ( F `  w )  e.  { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  \/  ( F `  w )  e.  {
( F `  z
) } ) )
4442, 43syl6ibr 227 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( F `  z
)  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) )  ->  ( F `  w )  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `
 z ) }  u.  { ( F `
 z ) } ) ) )
45 simprl 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  ->  w  e.  A )
4644, 45jctild 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( F `  z
)  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) )  ->  ( w  e.  A  /\  ( F `
 w )  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) ) ) )
47 ffn 5639 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
481, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  A )
4948adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  ->  F  Fn  A )
50 elpreima 5909 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  A  ->  (
w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  <-> 
( w  e.  A  /\  ( F `  w
)  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) )  <-> 
( w  e.  A  /\  ( F `  w
)  e.  ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5246, 51sylibrd 234 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  A  /\  z  e.  A ) )  -> 
( ( ( F `
 w ) R ( F `  z
)  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) )  ->  w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5352expimpd 601 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( w  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  (
( F `  w
) R ( F `
 z )  \/  ( ( F `  w )  =  ( F `  z )  /\  w S z ) ) )  ->  w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5430, 53syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w T z  ->  w  e.  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) ) )
5521, 54syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( `' T " { z } )  ->  w  e.  ( `' F "
( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) ) ) )
5655ssrdv 3423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( `' T " { z } ) 
C_  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z
) }  u.  {
( F `  z
) } ) ) )
5717, 56syl5ss 3428 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  C_  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) )
5857adantr 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  C_  ( `' F " ( { u  e.  B  |  u R ( F `  z ) }  u.  { ( F `  z
) } ) ) )
5916, 58ssexd 4512 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  e.  _V )
6059ralrimiva 2796 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  A  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  e. 
_V )
61 dfse2 5282 . 2  |-  ( T Se  A  <->  A. z  e.  A  ( A  i^i  ( `' T " { z } ) )  e. 
_V )
6260, 61sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  T Se  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   {crab 2736   _Vcvv 3034    u. cun 3387    i^i cin 3388    C_ wss 3389   {csn 3944   class class class wbr 4367   {copab 4424   Se wse 4750   `'ccnv 4912   "cima 4916    Fn wfn 5491   -->wf 5492   ` cfv 5496
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-id 4709  df-se 4753  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-fv 5504
This theorem is referenced by:  r0weon  8303
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