Theorem fnresdm 5696

Description: A function does not change when restricted to its domain. (Contributed by NM, 5-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
fnresdm	|- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )

Proof of Theorem fnresdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrel 5685	. 2 |- ( F Fn A -> Rel F )
2		fndm 5686	. . 3 |- ( F Fn A -> dom F = A )
3		eqimss 3551	. . 3 |- ( dom F = A -> dom F C_ A )
4	2, 3	syl 16	. 2 |- ( F Fn A -> dom F C_ A )
5		relssres 5321	. 2 |- ( ( Rel F /\ dom F C_ A ) -> ( F |` A ) = F )
6	1, 4, 5	syl2anc 661	1 |- ( F Fn A -> ( F |` A ) = F )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   C_ wss 3471   dom cdm 5008   |` cres 5010   Rel wrel 5013   Fn wfn 5589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-br 4457  df-opab 4516  df-xp 5014  df-rel 5015  df-dm 5018  df-res 5020  df-fun 5596  df-fn 5597

This theorem is referenced by:  fnima  5705  fresin  5760  resasplit  5761  fresaunres2  5763  fvreseq1  5989  fnsnb  6091  fninfp  6099  fnsnsplit  6109  fsnunfv  6112  fsnunres  6113  fnsuppeq0OLD  6133  fnsuppeq0  6946  mapunen  7705  fnfi  7816  canthp1lem2  9048  fseq1p1m1  11778  facnn  12358  fac0  12359  hashgval  12411  hashinf  12413  rlimres  13393  lo1res  13394  rlimresb  13400  isercolllem2  13500  isercoll  13502  ruclem4  13979  fsets  14672  sscres  15239  sscid  15240  gsumzres  17041  gsumzresOLD  17045  pwssplit1  17832  zzngim  18718  ptuncnv  20434  ptcmpfi  20440  tsmsresOLD  20771  tsmsres  20772  imasdsf1olem  21002  tmslem  21111  tmsxms  21115  imasf1oxms  21118  prdsxms  21159  tmsxps  21165  tmsxpsmopn  21166  isngp2  21243  tngngp2  21292  cnfldms  21409  cncms  21921  cnfldcusp  21923  mbfres2  22178  dvres  22441  dvres3a  22444  cpnres  22466  dvmptres3  22485  dvlip2  22522  dvgt0lem2  22530  dvne0  22538  rlimcnp2  23422  jensen  23444  eupath2  25107  subgores  25433  sspg  25768  ssps  25770  sspn  25776  hhsssh  26312  fnresin  27617  ffsrn  27709  resf1o  27710  gsumle  27930  cnrrext  28152  indf1ofs  28200  eulerpartlemt  28507  subfacp1lem3  28823  subfacp1lem5  28825  cvmliftlem11  28937  mapfzcons1  30854  eq0rabdioph  30915  eldioph4b  30949  diophren  30951  pwssplit4  31239  dvresntr  31916  bnj142OLD  33924