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Theorem fnres 5703
Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5621. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnres  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y

Proof of Theorem fnres
StepHypRef Expression
1 ancom 450 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  x F
y  /\  A. x  e.  A  E. y  x F y )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  x F y  /\  A. x  e.  A  E* y  x F y ) )
2 vex 3121 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
32brres 5286 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( F  |`  A ) y  <->  ( x F y  /\  x  e.  A ) )
4 ancom 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x F y  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x F y ) )
53, 4bitri 249 . . . . . . . 8  |-  ( x ( F  |`  A ) y  <->  ( x  e.  A  /\  x F y ) )
65mobii 2301 . . . . . . 7  |-  ( E* y  x ( F  |`  A ) y  <->  E* y
( x  e.  A  /\  x F y ) )
7 moanimv 2356 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  x F y )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
86, 7bitri 249 . . . . . 6  |-  ( E* y  x ( F  |`  A ) y  <->  ( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
98albii 1620 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x ( F  |`  A )
y  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
10 relres 5307 . . . . . 6  |-  Rel  ( F  |`  A )
11 dffun6 5609 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <-> 
( Rel  ( F  |`  A )  /\  A. x E* y  x ( F  |`  A )
y ) )
1210, 11mpbiran 916 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <->  A. x E* y  x ( F  |`  A ) y )
13 df-ral 2822 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E* y  x F y  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
149, 12, 133bitr4i 277 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  E* y  x F
y )
15 dmres 5300 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
16 inss1 3723 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
1715, 16eqsstri 3539 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  A )  C_  A
18 eqss 3524 . . . . . 6  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  A  <->  ( dom  ( F  |`  A ) 
C_  A  /\  A  C_ 
dom  ( F  |`  A ) ) )
1917, 18mpbiran 916 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  A  <->  A  C_  dom  ( F  |`  A ) )
20 dfss3 3499 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  dom  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )
2115elin2 3694 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  dom  F ) )
2221baib 901 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  x  e.  dom  F ) )
23 vex 3121 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2423eldm 5206 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. y  x F y )
2522, 24syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  E. y  x F y ) )
2625ralbiia 2897 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  x F y )
2720, 26bitri 249 . . . . 5  |-  ( A 
C_  dom  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  x F y )
2819, 27bitri 249 . . . 4  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  x F y )
2914, 28anbi12i 697 . . 3  |-  ( ( Fun  ( F  |`  A )  /\  dom  ( F  |`  A )  =  A )  <->  ( A. x  e.  A  E* y  x F y  /\  A. x  e.  A  E. y  x F y ) )
30 r19.26 2994 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  x F
y  /\  E* y  x F y )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  x F y  /\  A. x  e.  A  E* y  x F y ) )
311, 29, 303bitr4i 277 . 2  |-  ( ( Fun  ( F  |`  A )  /\  dom  ( F  |`  A )  =  A )  <->  A. x  e.  A  ( E. y  x F y  /\  E* y  x F
y ) )
32 df-fn 5597 . 2  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  ( Fun  ( F  |`  A )  /\  dom  ( F  |`  A )  =  A ) )
33 eu5 2305 . . 3  |-  ( E! y  x F y  <-> 
( E. y  x F y  /\  E* y  x F y ) )
3433ralbii 2898 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  <->  A. x  e.  A  ( E. y  x F y  /\  E* y  x F
y ) )
3531, 32, 343bitr4i 277 1  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E!weu 2275   E*wmo 2276   A.wral 2817    i^i cin 3480    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   dom cdm 5005    |` cres 5007   Rel wrel 5010   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-res 5017  df-fun 5596  df-fn 5597
This theorem is referenced by:  f1ompt  6054  omxpenlem  7630  tz6.12-afv  32054
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