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Theorem fnres 5653
Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5571. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnres  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, F, y

Proof of Theorem fnres
StepHypRef Expression
1 ancom 451 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  x F
y  /\  A. x  e.  A  E. y  x F y )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  x F y  /\  A. x  e.  A  E* y  x F y ) )
2 vex 3025 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
32brres 5073 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( F  |`  A ) y  <->  ( x F y  /\  x  e.  A ) )
4 ancom 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x F y  /\  x  e.  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x F y ) )
53, 4bitri 252 . . . . . . . 8  |-  ( x ( F  |`  A ) y  <->  ( x  e.  A  /\  x F y ) )
65mobii 2299 . . . . . . 7  |-  ( E* y  x ( F  |`  A ) y  <->  E* y
( x  e.  A  /\  x F y ) )
7 moanimv 2337 . . . . . . 7  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  x F y )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
86, 7bitri 252 . . . . . 6  |-  ( E* y  x ( F  |`  A ) y  <->  ( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
98albii 1685 . . . . 5  |-  ( A. x E* y  x ( F  |`  A )
y  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
10 relres 5094 . . . . . 6  |-  Rel  ( F  |`  A )
11 dffun6 5559 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <-> 
( Rel  ( F  |`  A )  /\  A. x E* y  x ( F  |`  A )
y ) )
1210, 11mpbiran 926 . . . . 5  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <->  A. x E* y  x ( F  |`  A ) y )
13 df-ral 2719 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E* y  x F y  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y  x F y ) )
149, 12, 133bitr4i 280 . . . 4  |-  ( Fun  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  E* y  x F
y )
15 dmres 5087 . . . . . . 7  |-  dom  ( F  |`  A )  =  ( A  i^i  dom  F )
16 inss1 3625 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  dom  F )  C_  A
1715, 16eqsstri 3437 . . . . . 6  |-  dom  ( F  |`  A )  C_  A
18 eqss 3422 . . . . . 6  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  A  <->  ( dom  ( F  |`  A ) 
C_  A  /\  A  C_ 
dom  ( F  |`  A ) ) )
1917, 18mpbiran 926 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  A  <->  A  C_  dom  ( F  |`  A ) )
20 dfss3 3397 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  dom  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  x  e.  dom  ( F  |`  A ) )
2115elin2 3596 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  dom  F ) )
2221baib 911 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  x  e.  dom  F ) )
23 vex 3025 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2423eldm 4994 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  dom  F  <->  E. y  x F y )
2522, 24syl6bb 264 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  (
x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  E. y  x F y ) )
2625ralbiia 2795 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  x  e.  dom  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  x F y )
2720, 26bitri 252 . . . . 5  |-  ( A 
C_  dom  ( F  |`  A )  <->  A. x  e.  A  E. y  x F y )
2819, 27bitri 252 . . . 4  |-  ( dom  ( F  |`  A )  =  A  <->  A. x  e.  A  E. y  x F y )
2914, 28anbi12i 701 . . 3  |-  ( ( Fun  ( F  |`  A )  /\  dom  ( F  |`  A )  =  A )  <->  ( A. x  e.  A  E* y  x F y  /\  A. x  e.  A  E. y  x F y ) )
30 r19.26 2894 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( E. y  x F
y  /\  E* y  x F y )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  x F y  /\  A. x  e.  A  E* y  x F y ) )
311, 29, 303bitr4i 280 . 2  |-  ( ( Fun  ( F  |`  A )  /\  dom  ( F  |`  A )  =  A )  <->  A. x  e.  A  ( E. y  x F y  /\  E* y  x F
y ) )
32 df-fn 5547 . 2  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  ( Fun  ( F  |`  A )  /\  dom  ( F  |`  A )  =  A ) )
33 eu5 2302 . . 3  |-  ( E! y  x F y  <-> 
( E. y  x F y  /\  E* y  x F y ) )
3433ralbii 2796 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E! y  x F y  <->  A. x  e.  A  ( E. y  x F y  /\  E* y  x F
y ) )
3531, 32, 343bitr4i 280 1  |-  ( ( F  |`  A )  Fn  A  <->  A. x  e.  A  E! y  x F
y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657    e. wcel 1872   E!weu 2276   E*wmo 2277   A.wral 2714    i^i cin 3378    C_ wss 3379   class class class wbr 4366   dom cdm 4796    |` cres 4798   Rel wrel 4801   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-br 4367  df-opab 4426  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-res 4808  df-fun 5546  df-fn 5547
This theorem is referenced by:  f1ompt  6003  omxpenlem  7626  tz6.12-afv  38488
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