Theorem fnres 5703

Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 5621. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnres	|- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y

Proof of Theorem fnres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ancom 450	. . 3 |- ( ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
2		vex 3121	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
3	2	brres 5286	. . . . . . . . 9 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x F y /\ x e. A ) )
4		ancom 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( x F y /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ x F y ) )
5	3, 4	bitri 249	. . . . . . . 8 |- ( x ( F |` A ) y <-> ( x e. A /\ x F y ) )
6	5	mobii 2301	. . . . . . 7 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> E* y ( x e. A /\ x F y ) )
7		moanimv 2356	. . . . . . 7 |- ( E* y ( x e. A /\ x F y ) <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
8	6, 7	bitri 249	. . . . . 6 |- ( E* y x ( F |` A ) y <-> ( x e. A -> E* y x F y ) )
9	8	albii 1620	. . . . 5 |- ( A. x E* y x ( F |` A ) y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
10		relres 5307	. . . . . 6 |- Rel ( F |` A )
11		dffun6 5609	. . . . . 6 |- ( Fun ( F |` A ) <-> ( Rel ( F |` A ) /\ A. x E* y x ( F |` A ) y ) )
12	10, 11	mpbiran 916	. . . . 5 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x E* y x ( F |` A ) y )
13		df-ral 2822	. . . . 5 |- ( A. x e. A E* y x F y <-> A. x ( x e. A -> E* y x F y ) )
14	9, 12, 13	3bitr4i 277	. . . 4 |- ( Fun ( F |` A ) <-> A. x e. A E* y x F y )
15		dmres 5300	. . . . . . 7 |- dom ( F |` A ) = ( A i^i dom F )
16		inss1 3723	. . . . . . 7 |- ( A i^i dom F ) C_ A
17	15, 16	eqsstri 3539	. . . . . 6 |- dom ( F |` A ) C_ A
18		eqss 3524	. . . . . 6 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> ( dom ( F |` A ) C_ A /\ A C_ dom ( F |` A ) ) )
19	17, 18	mpbiran 916	. . . . 5 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A C_ dom ( F |` A ) )
20		dfss3 3499	. . . . . 6 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A x e. dom ( F |` A ) )
21	15	elin2 3694	. . . . . . . . 9 |- ( x e. dom ( F |` A ) <-> ( x e. A /\ x e. dom F ) )
22	21	baib 901	. . . . . . . 8 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> x e. dom F ) )
23		vex 3121	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
24	23	eldm 5206	. . . . . . . 8 |- ( x e. dom F <-> E. y x F y )
25	22, 24	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> ( x e. dom ( F |` A ) <-> E. y x F y ) )
26	25	ralbiia 2897	. . . . . 6 |- ( A. x e. A x e. dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
27	20, 26	bitri 249	. . . . 5 |- ( A C_ dom ( F |` A ) <-> A. x e. A E. y x F y )
28	19, 27	bitri 249	. . . 4 |- ( dom ( F |` A ) = A <-> A. x e. A E. y x F y )
29	14, 28	anbi12i 697	. . 3 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> ( A. x e. A E* y x F y /\ A. x e. A E. y x F y ) )
30		r19.26 2994	. . 3 |- ( A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) <-> ( A. x e. A E. y x F y /\ A. x e. A E* y x F y ) )
31	1, 29, 30	3bitr4i 277	. 2 |- ( ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
32		df-fn 5597	. 2 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> ( Fun ( F |` A ) /\ dom ( F |` A ) = A ) )
33		eu5 2305	. . 3 |- ( E! y x F y <-> ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
34	33	ralbii 2898	. 2 |- ( A. x e. A E! y x F y <-> A. x e. A ( E. y x F y /\ E* y x F y ) )
35	31, 32, 34	3bitr4i 277	1 |- ( ( F |` A ) Fn A <-> A. x e. A E! y x F y )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   E!weu 2275   E*wmo 2276   A.wral 2817   i^i cin 3480   C_ wss 3481   class class class wbr 4453   dom cdm 5005   |` cres 5007   Rel wrel 5010   Fun wfun 5588   Fn wfn 5589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-br 4454  df-opab 4512  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-res 5017  df-fun 5596  df-fn 5597

This theorem is referenced by:  f1ompt  6054  omxpenlem  7630  tz6.12-afv  32054