Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnprb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fnprb 6128
 Description: A function whose domain has at most two elements can be represented as a set of at most two ordered pairs. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 12-Oct-2017.) Revised to eliminate unnecessary antecedent . (Revised by NM, 29-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
fnprb.1
fnprb.2
Assertion
Ref Expression
fnprb

Proof of Theorem fnprb
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnprb.1 . . . . . 6
21fnsnb 6088 . . . . 5
3 dfsn2 3983 . . . . . 6
43fneq2i 5676 . . . . 5
5 dfsn2 3983 . . . . . 6
65eqeq2i 2465 . . . . 5
72, 4, 63bitr3i 279 . . . 4
87a1i 11 . . 3
9 preq2 4055 . . . 4
109fneq2d 5672 . . 3
11 id 22 . . . . . 6
12 fveq2 5870 . . . . . 6
1311, 12opeq12d 4177 . . . . 5
1413preq2d 4061 . . . 4
1514eqeq2d 2463 . . 3
168, 10, 153bitr3d 287 . 2
17 fndm 5680 . . . . . 6
18 fvex 5880 . . . . . . 7
19 fvex 5880 . . . . . . 7
2018, 19dmprop 5314 . . . . . 6
2117, 20syl6eqr 2505 . . . . 5
2221adantl 468 . . . 4
2317adantl 468 . . . . . . 7
2423eleq2d 2516 . . . . . 6
25 vex 3050 . . . . . . . 8
2625elpr 3988 . . . . . . 7
271, 18fvpr1 6112 . . . . . . . . . . 11
2827adantr 467 . . . . . . . . . 10
2928eqcomd 2459 . . . . . . . . 9
30 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10
31 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10
3230, 31eqeq12d 2468 . . . . . . . . 9
3329, 32syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8
34 fnprb.2 . . . . . . . . . . . 12
3534, 19fvpr2 6113 . . . . . . . . . . 11
3635adantr 467 . . . . . . . . . 10
3736eqcomd 2459 . . . . . . . . 9
38 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10
39 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10
4038, 39eqeq12d 2468 . . . . . . . . 9
4137, 40syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8
4233, 41jaod 382 . . . . . . 7
4326, 42syl5bi 221 . . . . . 6
4424, 43sylbid 219 . . . . 5
4544ralrimiv 2802 . . . 4
46 fnfun 5678 . . . . 5
471, 34, 18, 19funpr 5636 . . . . 5
48 eqfunfv 5986 . . . . 5
4946, 47, 48syl2anr 481 . . . 4
5022, 45, 49mpbir2and 934 . . 3
5120a1i 11 . . . . 5
52 df-fn 5588 . . . . 5
5347, 51, 52sylanbrc 671 . . . 4
54 fneq1 5669 . . . . 5
5554biimprd 227 . . . 4
5653, 55mpan9 472 . . 3
5750, 56impbida 844 . 2
5816, 57pm2.61ine 2709 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1446   wcel 1889   wne 2624  wral 2739  cvv 3047  csn 3970  cpr 3972  cop 3976   cdm 4837   wfun 5579   wfn 5580  cfv 5585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593 This theorem is referenced by:  fnpr2g  6129  wrd2pr2op  13034
 Copyright terms: Public domain W3C validator