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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fnprb | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: A function whose domain
has at most two elements can be represented as a
set of at most two ordered pairs. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.)
(Proof shortened by Scott Fenton, 12-Oct-2017.) Revised to eliminate
unnecessary antecedent ![]() ![]() ![]() |
Ref | Expression |
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fnprb.1 |
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fnprb.2 |
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Ref | Expression |
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fnprb |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fnprb.1 |
. . . . . 6
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2 | 1 | fnsnb 6088 |
. . . . 5
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3 | dfsn2 3983 |
. . . . . 6
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4 | 3 | fneq2i 5676 |
. . . . 5
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5 | dfsn2 3983 |
. . . . . 6
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6 | 5 | eqeq2i 2465 |
. . . . 5
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7 | 2, 4, 6 | 3bitr3i 279 |
. . . 4
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8 | 7 | a1i 11 |
. . 3
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9 | preq2 4055 |
. . . 4
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10 | 9 | fneq2d 5672 |
. . 3
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11 | id 22 |
. . . . . 6
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12 | fveq2 5870 |
. . . . . 6
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13 | 11, 12 | opeq12d 4177 |
. . . . 5
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14 | 13 | preq2d 4061 |
. . . 4
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15 | 14 | eqeq2d 2463 |
. . 3
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16 | 8, 10, 15 | 3bitr3d 287 |
. 2
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17 | fndm 5680 |
. . . . . 6
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18 | fvex 5880 |
. . . . . . 7
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19 | fvex 5880 |
. . . . . . 7
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20 | 18, 19 | dmprop 5314 |
. . . . . 6
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21 | 17, 20 | syl6eqr 2505 |
. . . . 5
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22 | 21 | adantl 468 |
. . . 4
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23 | 17 | adantl 468 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | eleq2d 2516 |
. . . . . 6
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25 | vex 3050 |
. . . . . . . 8
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26 | 25 | elpr 3988 |
. . . . . . 7
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27 | 1, 18 | fvpr1 6112 |
. . . . . . . . . . 11
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28 | 27 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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29 | 28 | eqcomd 2459 |
. . . . . . . . 9
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30 | fveq2 5870 |
. . . . . . . . . 10
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31 | fveq2 5870 |
. . . . . . . . . 10
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32 | 30, 31 | eqeq12d 2468 |
. . . . . . . . 9
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33 | 29, 32 | syl5ibrcom 226 |
. . . . . . . 8
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34 | fnprb.2 |
. . . . . . . . . . . 12
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35 | 34, 19 | fvpr2 6113 |
. . . . . . . . . . 11
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36 | 35 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
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37 | 36 | eqcomd 2459 |
. . . . . . . . 9
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38 | fveq2 5870 |
. . . . . . . . . 10
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39 | fveq2 5870 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 38, 39 | eqeq12d 2468 |
. . . . . . . . 9
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41 | 37, 40 | syl5ibrcom 226 |
. . . . . . . 8
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42 | 33, 41 | jaod 382 |
. . . . . . 7
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43 | 26, 42 | syl5bi 221 |
. . . . . 6
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44 | 24, 43 | sylbid 219 |
. . . . 5
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45 | 44 | ralrimiv 2802 |
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46 | fnfun 5678 |
. . . . 5
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47 | 1, 34, 18, 19 | funpr 5636 |
. . . . 5
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48 | eqfunfv 5986 |
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49 | 46, 47, 48 | syl2anr 481 |
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50 | 22, 45, 49 | mpbir2and 934 |
. . 3
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51 | 20 | a1i 11 |
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52 | df-fn 5588 |
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53 | 47, 51, 52 | sylanbrc 671 |
. . . 4
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54 | fneq1 5669 |
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55 | 54 | biimprd 227 |
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56 | 53, 55 | mpan9 472 |
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57 | 50, 56 | impbida 844 |
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58 | 16, 57 | pm2.61ine 2709 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1671 ax-4 1684 ax-5 1760 ax-6 1807 ax-7 1853 ax-8 1891 ax-9 1898 ax-10 1917 ax-11 1922 ax-12 1935 ax-13 2093 ax-ext 2433 ax-sep 4528 ax-nul 4537 ax-pow 4584 ax-pr 4642 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3an 988 df-tru 1449 df-ex 1666 df-nf 1670 df-sb 1800 df-eu 2305 df-mo 2306 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2583 df-ne 2626 df-ral 2744 df-rex 2745 df-reu 2746 df-rab 2748 df-v 3049 df-sbc 3270 df-csb 3366 df-dif 3409 df-un 3411 df-in 3413 df-ss 3420 df-nul 3734 df-if 3884 df-sn 3971 df-pr 3973 df-op 3977 df-uni 4202 df-br 4406 df-opab 4465 df-mpt 4466 df-id 4752 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-iota 5549 df-fun 5587 df-fn 5588 df-f 5589 df-f1 5590 df-fo 5591 df-f1o 5592 df-fv 5593 |
This theorem is referenced by: fnpr2g 6129 wrd2pr2op 13034 |
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