Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnpr Unicode version

Theorem fnpr 5909
 Description: Representation as a set of pairs of a function whose domain has two distinct elements. (Contributed by FL, 26-Jun-2011.) (Proof shortened by Scott Fenton, 12-Oct-2017.) (Revised by NM, 10-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fnpr.1
fnpr.2
Assertion
Ref Expression
fnpr

Proof of Theorem fnpr
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fndm 5503 . . . . 5
2 fvex 5701 . . . . . 6
3 fvex 5701 . . . . . 6
42, 3dmprop 5304 . . . . 5
51, 4syl6eqr 2454 . . . 4
71adantl 453 . . . . . 6
87eleq2d 2471 . . . . 5
9 vex 2919 . . . . . . 7
109elpr 3792 . . . . . 6
11 fnpr.1 . . . . . . . . . . 11
1211, 2fvpr1 5894 . . . . . . . . . 10
1312adantr 452 . . . . . . . . 9
1413eqcomd 2409 . . . . . . . 8
15 fveq2 5687 . . . . . . . . 9
16 fveq2 5687 . . . . . . . . 9
1715, 16eqeq12d 2418 . . . . . . . 8
1814, 17syl5ibrcom 214 . . . . . . 7
19 fnpr.2 . . . . . . . . . . 11
2019, 3fvpr2 5895 . . . . . . . . . 10
2120adantr 452 . . . . . . . . 9
2221eqcomd 2409 . . . . . . . 8
23 fveq2 5687 . . . . . . . . 9
24 fveq2 5687 . . . . . . . . 9
2523, 24eqeq12d 2418 . . . . . . . 8
2622, 25syl5ibrcom 214 . . . . . . 7
2718, 26jaod 370 . . . . . 6
2810, 27syl5bi 209 . . . . 5
298, 28sylbid 207 . . . 4
3029ralrimiv 2748 . . 3
31 fnfun 5501 . . . 4
3211, 19, 2, 3funpr 5461 . . . 4
33 eqfunfv 5791 . . . 4
3431, 32, 33syl2anr 465 . . 3
356, 30, 34mpbir2and 889 . 2
364a1i 11 . . . 4
37 df-fn 5416 . . . 4
3832, 36, 37sylanbrc 646 . . 3
39 fneq1 5493 . . . 4
4039biimprd 215 . . 3
4138, 40mpan9 456 . 2
4235, 41impbida 806 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  cvv 2916  cpr 3775  cop 3777   cdm 4837   wfun 5407   wfn 5408  cfv 5413 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421
 Copyright terms: Public domain W3C validator