Theorem fnoprvpop 14338

Description: Representation of an operation class abstraction in terms of its values. (A version of fnoprv 4946 adapted to partial operations.)

Assertion

Ref	Expression
fnoprvpop	|- (Rel R -> (F Fn R <-> F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy))}))

Distinct variable groups:   x,F,y,z   x,R,y,z

Proof of Theorem fnoprvpop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (w = <.x, y>. -> (w e. R <-> <.x, y>. e. R))
2	1	biimpcd 172	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. R -> (w = <.x, y>. -> <.x, y>. e. R))
3	2	ancld 322	. . . . . . . . . . . 12 |- (w e. R -> (w = <.x, y>. -> (w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R)))
4	3	2eximdv 1671	. . . . . . . . . . 11 |- (w e. R -> (E.xE.y w = <.x, y>. -> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R)))
5		elrel 4086	. . . . . . . . . . 11 |- ((Rel R /\ w e. R) -> E.xE.y w = <.x, y>.)
6	4, 5	syl5com 63	. . . . . . . . . 10 |- ((Rel R /\ w e. R) -> (w e. R -> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R)))
7	6	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (Rel R -> (w e. R -> (w e. R -> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R))))
8	7	pm2.43d 79	. . . . . . . 8 |- (Rel R -> (w e. R -> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R)))
9		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.x, y>. = w -> (<.x, y>. e. R <-> w e. R))
10	9	biimpd 170	. . . . . . . . . . 11 |- (<.x, y>. = w -> (<.x, y>. e. R -> w e. R))
11	10	eqcoms 1887	. . . . . . . . . 10 |- (w = <.x, y>. -> (<.x, y>. e. R -> w e. R))
12	11	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) -> w e. R)
13	12	19.23aivv 1675	. . . . . . . 8 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) -> w e. R)
14	8, 13	impbid1 575	. . . . . . 7 |- (Rel R -> (w e. R <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R)))
15	14	anbi1d 679	. . . . . 6 |- (Rel R -> ((w e. R /\ z = (F` w)) <-> (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) /\ z = (F` w))))
16		19.41vv 1686	. . . . . . 7 |- (E.xE.y((w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) /\ z = (F` w)) <-> (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) /\ z = (F` w)))
17	16	a1i 8	. . . . . 6 |- (Rel R -> (E.xE.y((w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) /\ z = (F` w)) <-> (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) /\ z = (F` w))))
18		anass 487	. . . . . . . . 9 |- (((w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) /\ z = (F` w)) <-> (w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. R /\ z = (F` w))))
19		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (F` <.x, y>.))
20		df-opr 4886	. . . . . . . . . . . . 13 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
21	19, 20	syl6eqr 1946	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (xFy))
22	21	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . 11 |- (w = <.x, y>. -> (z = (F` w) <-> z = (xFy)))
23	22	anbi2d 678	. . . . . . . . . 10 |- (w = <.x, y>. -> ((<.x, y>. e. R /\ z = (F` w)) <-> (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy))))
24	23	pm5.32i 707	. . . . . . . . 9 |- ((w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. R /\ z = (F` w))) <-> (w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy))))
25	18, 24	bitri 190	. . . . . . . 8 |- (((w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) /\ z = (F` w)) <-> (w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy))))
26	25	a1i 8	. . . . . . 7 |- (Rel R -> (((w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) /\ z = (F` w)) <-> (w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy)))))
27	26	2exbidv 1659	. . . . . 6 |- (Rel R -> (E.xE.y((w = <.x, y>. /\ <.x, y>. e. R) /\ z = (F` w)) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy)))))
28	15, 17, 27	3bitr2d 605	. . . . 5 |- (Rel R -> ((w e. R /\ z = (F` w)) <-> E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy)))))
29	28	opabbidv 3401	. . . 4 |- (Rel R -> {<.w, z>. | (w e. R /\ z = (F` w))} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy)))})
30		dfoprab2 4917	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy))} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy)))}
31	29, 30	syl6eqr 1946	. . 3 |- (Rel R -> {<.w, z>. | (w e. R /\ z = (F` w))} = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy))})
32	31	eqeq2d 1895	. 2 |- (Rel R -> (F = {<.w, z>. | (w e. R /\ z = (F` w))} <-> F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy))}))
33		dffn5 4717	. 2 |- (F Fn R <-> F = {<.w, z>. | (w e. R /\ z = (F` w))})
34	32, 33	syl5bb 591	1 |- (Rel R -> (F Fn R <-> F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. R /\ z = (xFy))}))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  <.cop 3046  {copab 3395  Rel wrel 3991   Fn wfn 3993  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887

Copyright terms: Public domain