Theorem fnopab2 4549

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
fnopab2.1	|- B e. _V
fnopab2.2	|- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}

Assertion

Ref	Expression
fnopab2	|- F Fn A

Distinct variable groups:   x,y,A   y,B

Proof of Theorem fnopab2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnopab2.1	. . . 4 |- B e. _V
2	1	eueq1 2428	. . 3 |- E!y y = B
3	2	a1i 8	. 2 |- (x e. A -> E!y y = B)
4		fnopab2.2	. 2 |- F = {<.x, y>. | (x e. A /\ y = B)}
5	3, 4	fnopab 4548	1 |- F Fn A

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E!weu 1771  _Vcvv 2292  {copab 3395   Fn wfn 3993

This theorem is referenced by:  dmopab2 4550  fconst 4602  dffn5 4717  eufnfv 4771  rnssopab 4798  fopabco 4805  fopabcos 4806  fopabsnOLD 4816  funiunfv 4842  fo1st 5032  fo2nd 5033  curry1 5075  curry2 5078  pw2en 5505  mapxpen 5589  unfilem2 5642  pwfilem 5660  aceq3lem 5894  aceq4 5896  ac6lem 5916  iundom 5974  cffnon 6055  seq1fnlem 7726  shftfn 7756  ref 8009  imf 8010  hashgval 8230  caucvg3i 8427  cvgcmp2i 8441  cvgcmp2ci 8444  cvgcmp3cei 8448  geolimi 8498  eff 8575  reeff1o 8691  sinf 8705  cosf 8706  vsfval 9586  ipasslem8 9838  ubthlem6 9877  htthlem11 9977  sincolem 10014  efghgrpilem 10073  efif 10075  shftefif1olem 10095  pjfni 11281  pjmfn 11295  bra11 11679  prmapcp3 14498  fnopabco2b 14734  compsublem 15430  fnopabco 15711  upixp 15729  sdclem1 15809  totbndbnd 15944  heiborlem4 15958  heiborlem5 15959  ismrer1 16024  phtpycolem4 16054  pcocn 16076  pcoass 16085  addrfn 16472  subrfn 16473  mulvfn 16474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-fun 4008  df-fn 4009

Copyright terms: Public domain