MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnoe Structured version   Unicode version

Theorem fnoe 7172
Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnoe  |-  ^o  Fn  ( On  X.  On )

Proof of Theorem fnoe
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oexp 7148 . 2  |-  ^o  =  ( x  e.  On ,  y  e.  On  |->  if ( x  =  (/) ,  ( 1o  \  y
) ,  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  .o  x ) ) ,  1o ) `  y
) ) )
2 1on 7149 . . . 4  |-  1o  e.  On
3 difexg 4601 . . . 4  |-  ( 1o  e.  On  ->  ( 1o  \  y )  e. 
_V )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( 1o 
\  y )  e. 
_V
5 fvex 5882 . . 3  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  .o  x ) ) ,  1o ) `  y
)  e.  _V
64, 5ifex 4014 . 2  |-  if ( x  =  (/) ,  ( 1o  \  y ) ,  ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  .o  x
) ) ,  1o ) `  y )
)  e.  _V
71, 6fnmpt2i 6864 1  |-  ^o  Fn  ( On  X.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3118    \ cdif 3478   (/)c0 3790   ifcif 3945    |-> cmpt 4511   Oncon0 4884    X. cxp 5003    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   reccrdg 7087   1oc1o 7135    .o comu 7140    ^o coe 7141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-1o 7142  df-oexp 7148
This theorem is referenced by:  oaabs2  7306  omabs  7308
  Copyright terms: Public domain W3C validator