MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnoe Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fnoe 7212
Description: Functionality and domain of ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnoe  |-  ^o  Fn  ( On  X.  On )

Proof of Theorem fnoe
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-oexp 7188 . 2  |-  ^o  =  ( x  e.  On ,  y  e.  On  |->  if ( x  =  (/) ,  ( 1o  \  y
) ,  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  .o  x ) ) ,  1o ) `  y
) ) )
2 1on 7189 . . . 4  |-  1o  e.  On
3 difexg 4551 . . . 4  |-  ( 1o  e.  On  ->  ( 1o  \  y )  e. 
_V )
42, 3ax-mp 5 . . 3  |-  ( 1o 
\  y )  e. 
_V
5 fvex 5875 . . 3  |-  ( rec ( ( z  e. 
_V  |->  ( z  .o  x ) ) ,  1o ) `  y
)  e.  _V
64, 5ifex 3949 . 2  |-  if ( x  =  (/) ,  ( 1o  \  y ) ,  ( rec (
( z  e.  _V  |->  ( z  .o  x
) ) ,  1o ) `  y )
)  e.  _V
71, 6fnmpt2i 6862 1  |-  ^o  Fn  ( On  X.  On )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    \ cdif 3401   (/)c0 3731   ifcif 3881    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   Oncon0 5423    Fn wfn 5577   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   reccrdg 7127   1oc1o 7175    .o comu 7180    ^o coe 7181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-ord 5426  df-on 5427  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-1o 7182  df-oexp 7188
This theorem is referenced by:  oaabs2  7346  omabs  7348
  Copyright terms: Public domain W3C validator