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Theorem fnn0ind 10878
Description: Induction on the integers from  0 to  N inclusive. The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fnn0ind.1  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fnn0ind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fnn0ind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fnn0ind.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fnn0ind.5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ps )
fnn0ind.6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  NN0  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fnn0ind  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, y, N    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fnn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 10794 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
2 nn0z 10804 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 0z 10792 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
4 fnn0ind.1 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
5 fnn0ind.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
6 fnn0ind.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
7 fnn0ind.4 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
8 elnn0z 10794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
9 fnn0ind.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ps )
108, 9sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ps )
11103adant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ps )
12 zre 10785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
13 zre 10785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 0re 9507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
15 lelttr 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  0  <  N
) )
16 ltle 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  ->  0  <_  N )
)
17163adant2 1013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
0  <  N  ->  0  <_  N ) )
1815, 17syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N
) )
1914, 18mp3an1 1309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_ 
y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N ) )
2012, 13, 19syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N ) )
2120ex 432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N
) ) )
2221com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  0  <_  N ) ) )
23223impib 1192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  0  <_  N ) )
2423impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  0  <_  N
)
25 elnn0z 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) )
2625anbi1i 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  y  <  N )  <->  ( (
y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  /\  y  <  N ) )
27 fnn0ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  NN0  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) )
28273expb 1195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( y  e.  NN0  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
298, 26, 28syl2anbr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  /\  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y )  /\  y  <  N ) )  -> 
( ch  ->  th )
)
3029expcom 433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  /\  y  <  N )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
31303impa 1189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ( ch  ->  th )
) )
3231expd 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
3332impcom 428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3424, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
3534adantll 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
364, 5, 6, 7, 11, 35fzind 10877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
373, 36mpanl1 678 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ta )
3837expcom 433 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) )
392, 38syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ta ) )
40393expa 1194 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  K  <_  N )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ta ) )
411, 40sylanb 470 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <_  N )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ta ) )
4241impcom 428 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <_  N )
)  ->  ta )
43423impb 1190 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   class class class wbr 4367  (class class class)co 6196   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    < clt 9539    <_ cle 9540   NN0cn0 10712   ZZcz 10781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-n0 10713  df-z 10782
This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  14201
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