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Theorem fnn0ind 10847
Description: Induction on the integers from  0 to  N inclusive . The first four hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 31-Mar-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
fnn0ind.1  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fnn0ind.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
fnn0ind.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
fnn0ind.4  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
fnn0ind.5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ps )
fnn0ind.6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  NN0  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
fnn0ind  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, K    x, y, N    ch, x    ph, y    ps, x    ta, x    th, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    K( y)

Proof of Theorem fnn0ind
StepHypRef Expression
1 elnn0z 10765 . . . 4  |-  ( K  e.  NN0  <->  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K ) )
2 nn0z 10775 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
3 0z 10763 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ZZ
4 fnn0ind.1 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  ps ) )
5 fnn0ind.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
6 fnn0ind.3 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  th ) )
7 fnn0ind.4 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  K  ->  ( ph 
<->  ta ) )
8 elnn0z 10765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
9 fnn0ind.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ps )
108, 9sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ps )
11103adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ps )
12 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
13 zre 10756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
14 0re 9492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
15 lelttr 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  0  <  N
) )
16 ltle 9569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 0  <  N  ->  0  <_  N )
)
17163adant2 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
0  <  N  ->  0  <_  N ) )
1815, 17syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N
) )
1914, 18mp3an1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_ 
y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N ) )
2012, 13, 19syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_ 
y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N ) )
2120ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( ( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  0  <_  N
) ) )
2221com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( 0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  0  <_  N ) ) )
23223impib 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  0  <_  N ) )
2423impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  0  <_  N
)
25 elnn0z 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  NN0  <->  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y ) )
2625anbi1i 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  NN0  /\  y  <  N )  <->  ( (
y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  /\  y  <  N ) )
27 fnn0ind.6 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  y  e.  NN0  /\  y  <  N )  ->  ( ch  ->  th ) )
28273expb 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( y  e.  NN0  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
298, 26, 28syl2anbr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  /\  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y )  /\  y  <  N ) )  -> 
( ch  ->  th )
)
3029expcom 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y )  /\  y  <  N )  ->  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ( ch  ->  th ) ) )
31303impa 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  (
( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  ->  ( ch  ->  th )
) )
3231expd 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ch  ->  th )
) ) )
3332impcom 430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ch  ->  th ) ) )
3424, 33mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
3534adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( y  e.  ZZ  /\  0  <_ 
y  /\  y  <  N ) )  ->  ( ch  ->  th ) )
364, 5, 6, 7, 11, 35fzind 10846 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N
) )  ->  ta )
373, 36mpanl1 680 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N ) )  ->  ta )
3837expcom 435 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( N  e.  ZZ  ->  ta ) )
392, 38syl5 32 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K  /\  K  <_  N )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ta ) )
40393expa 1188 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  ZZ  /\  0  <_  K )  /\  K  <_  N )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ta ) )
411, 40sylanb 472 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  K  <_  N )  -> 
( N  e.  NN0  ->  ta ) )
4241impcom 430 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( K  e.  NN0  /\  K  <_  N )
)  ->  ta )
43423impb 1184 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  K  e.  NN0  /\  K  <_  N )  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4395  (class class class)co 6195   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    < clt 9524    <_ cle 9525   NN0cn0 10685   ZZcz 10752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753
This theorem is referenced by:  nn0seqcvgd  13858
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