Theorem fnmpti 5707

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnmpti.1	|- B e. _V
fnmpti.2	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fnmpti	|- F Fn A

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpti.1	. . 3 |- B e. _V
2	1	rgenw 2825	. 2 |- A. x e. A B e. _V
3		fnmpti.2	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
4	3	mptfng 5704	. 2 |- ( A. x e. A B e. _V <-> F Fn A )
5	2, 4	mpbi 208	1 |- F Fn A

Syntax hints:   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   |-> cmpt 4505   Fn wfn 5581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-fun 5588  df-fn 5589

This theorem is referenced by:  dmmpti  5708  fconst  5769  dffn5  5911  eufnfv  6132  idref  6139  offn  6533  caofinvl  6549  fo1st  6801  fo2nd  6802  reldm  6832  mapsnf1o2  7463  unfilem2  7781  fidomdm  7798  pwfilem  7810  noinfep  8072  aceq3lem  8497  dfac4  8499  ackbij2lem2  8616  cfslb2n  8644  axcc2lem  8812  konigthlem  8939  rankcf  9151  tskuni  9157  seqf1o  12111  ccatlen  12553  ccatvalfn  12558  swrdlen  12607  swrdvalfn  12620  swrdswrd  12642  sqrtf  13152  mptfzshft  13549  fsumrev  13550  efcvgfsum  13676  prmreclem2  14287  1arith  14297  vdwlem6  14356  vdwlem8  14358  slotfn  14497  topnfn  14674  fnmre  14839  cidffn  14926  cidfn  14927  funcres  15116  yonedainv  15401  fn0g  15743  grpinvfn  15888  conjnmz  16092  psgnfn  16319  odf  16354  sylow1lem4  16414  pgpssslw  16427  sylow2blem3  16435  sylow3lem2  16441  cygctb  16682  dprd2da  16878  fnmgp  16930  rlmfn  17616  rrgsupp  17707  asclfn  17753  evlslem1  17952  frlmup4  18599  mdetrlin  18868  fncld  19286  hauseqlcld  19879  kqf  19980  filunirn  20115  fmf  20178  txflf  20239  clsnsg  20340  tgpconcomp  20343  divstgpopn  20350  divstgplem  20351  ustfn  20436  xmetunirn  20572  met1stc  20756  rrxmvallem  21563  ovolf  21625  vitali  21754  i1fmulc  21842  mbfi1fseqlem4  21857  itg2seq  21881  itg2monolem1  21889  i1fibl  21946  fncpn  22068  lhop1lem  22146  mdegxrf  22200  aannenlem3  22457  logccv  22769  padicabvf  23541  mptelee  23871  wlkiswwlk2lem1  24364  clwlkisclwwlklem2a2  24453  fngid  24889  grpoinvf  24915  occllem  25894  pjfni  26292  pjmfn  26306  rnbra  26699  bra11  26700  kbass2  26709  hmopidmchi  26743  xppreima2  27157  abfmpunirn  27159  dmct  27206  fimaproj  27496  ofcfn  27736  sxbrsigalem3  27880  eulerpartgbij  27948  sseqfv1  27965  sseqfn  27966  sseqf  27968  sseqfv2  27970  fprodshft  28680  fprodrev  28681  faclimlem1  28742  mblfinlem2  29627  volsupnfl  29634  cnambfre  29638  itg2addnclem2  29642  itg2addnclem3  29643  ftc1anclem5  29669  ftc1anclem7  29671  sdclem2  29836  prdsbnd2  29892  rrncmslem  29929  rmxypairf1o  30449  hbtlem6  30682  dgraaf  30701  cytpfn  30773  addrfn  30959  subrfn  30960  mulvfn  30961  fourierdlem62  31469  fourierdlem70  31477  fourierdlem71  31478  diafn  35831  cdlemm10N  35915  dibfna  35951  lcfrlem9  36347  mapd1o  36445  hdmapfnN  36629  hgmapfnN  36688