Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt2ovd Structured version   Unicode version

Theorem fnmpt2ovd 6877
 Description: A function with a Cartesian product as domain is a mapping with two arguments defined by its operation values. (Contributed by AV, 20-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fnmpt2ovd.m
fnmpt2ovd.s
fnmpt2ovd.d
fnmpt2ovd.c
fnmpt2ovd.v
Assertion
Ref Expression
fnmpt2ovd
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem fnmpt2ovd
StepHypRef Expression
1 fnmpt2ovd.m . . 3
2 fnmpt2ovd.c . . . . . 6
323expb 1197 . . . . 5
43ralrimivva 2878 . . . 4
5 eqid 2457 . . . . 5
65fnmpt2 6867 . . . 4
74, 6syl 16 . . 3
8 eqfnov2 6408 . . 3
91, 7, 8syl2anc 661 . 2
10 nfcv 2619 . . . . . . . 8
11 nfcv 2619 . . . . . . . 8
12 nfcv 2619 . . . . . . . 8
13 nfcv 2619 . . . . . . . 8
14 fnmpt2ovd.s . . . . . . . 8
1510, 11, 12, 13, 14cbvmpt2 6375 . . . . . . 7
1615eqcomi 2470 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
1817oveqd 6313 . . . 4
1918eqeq2d 2471 . . 3
20192ralbidv 2901 . 2
21 simprl 756 . . . . 5
22 simprr 757 . . . . 5
23 fnmpt2ovd.d . . . . . 6
24233expb 1197 . . . . 5
25 eqid 2457 . . . . . 6
2625ovmpt4g 6424 . . . . 5
2721, 22, 24, 26syl3anc 1228 . . . 4
2827eqeq2d 2471 . . 3
29282ralbidva 2899 . 2
309, 20, 293bitrd 279 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  wral 2807   cxp 5006   wfn 5589  (class class class)co 6296   cmpt2 6298 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800 This theorem is referenced by:  mpt2frlmd  18934
 Copyright terms: Public domain W3C validator