MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fnmpt Structured version   Unicode version

Theorem fnmpt 5705
Description: The maps-to notation defines a function with domain. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
mptfng.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
Assertion
Ref Expression
fnmpt  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    F( x)    V( x)

Proof of Theorem fnmpt
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2857 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 mptfng.1 . . 3  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  B )
43mptfng 5704 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  F  Fn  A
)
52, 4sylib 196 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  F  Fn  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    |-> cmpt 4505    Fn wfn 5581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-fun 5588  df-fn 5589
This theorem is referenced by:  mpt0  5706  fnmptfvd  5982  ralrnmpt  6028  fmpt  6040  fmpt2d  6049  f1ocnvd  6506  offval2  6538  ofrfval2  6539  mptelixpg  7503  fifo  7888  cantnflem1  8104  infmap2  8594  compssiso  8750  gruiun  9173  mptnn0fsupp  12066  mptnn0fsuppr  12068  seqof  12127  rlimi2  13293  rlimmptrcl  13386  prdsbas3  14729  prdsbascl  14731  prdsdsval2  14732  divslem  14791  fnmrc  14855  pmtrrn  16275  pmtrfrn  16276  pmtrdifwrdellem2  16300  gsummptcl  16782  dprdwd  16832  dprdwdOLD  16838  mptscmfsupp0  17356  ofco2  18717  pmatcollpw2lem  19042  neif  19364  tgrest  19423  cmpfi  19671  elptr2  19807  xkoptsub  19887  ptcmplem2  20285  ptcmplem3  20286  prdsxmetlem  20603  prdsxmslem2  20764  bcth3  21502  uniioombllem6  21729  itg2const  21879  iblcnlem  21927  ellimc2  22013  dvrec  22090  dvmptres3  22091  ulmss  22523  ulmdvlem1  22526  ulmdvlem2  22527  ulmdvlem3  22528  itgulm2  22535  psercn  22552  f1o3d  27141  f1od2  27216  rmulccn  27543  esumnul  27696  esum0  27697  gsumesum  27704  ofcfval2  27740  signsplypnf  28144  signsply0  28145  signstlen  28161  hbtlem7  30678  refsumcn  30983  stoweidlem31  31331  stoweidlem59  31359  stirlinglem13  31386  dirkercncflem2  31404  fourierdlem62  31469  dfafn5b  31713  lincresunit2  32152  cdlemk56  35767  dicfnN  35980
  Copyright terms: Public domain W3C validator