Theorem fnmap 5388

Description: Set exponentiation has a universal domain.

Assertion

Ref	Expression
fnmap	|- ^m Fn (_V X. _V)

Proof of Theorem fnmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 2295	. . 3 |- y e. _V
2		visset 2295	. . 3 |- x e. _V
3		mapex 5387	. . 3 |- ((y e. _V /\ x e. _V) -> {f | f:y-->x} e. _V)
4	1, 2, 3	mp2an 761	. 2 |- {f | f:y-->x} e. _V
5		df-map 5383	. . 3 |- ^m = {<.<.x, y>., z>. | z = {f | f:y-->x}}
6	2, 1	pm3.2i 307	. . . . 5 |- (x e. _V /\ y e. _V)
7	6	biantrur 794	. . . 4 |- (z = {f | f:y-->x} <-> ((x e. _V /\ y e. _V) /\ z = {f | f:y-->x}))
8	7	oprabbii 4923	. . 3 |- {<.<.x, y>., z>. | z = {f | f:y-->x}} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. _V /\ y e. _V) /\ z = {f | f:y-->x})}
9	5, 8	eqtri 1908	. 2 |- ^m = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. _V /\ y e. _V) /\ z = {f | f:y-->x})}
10	4, 9	fnoprab2 5064	1 |- ^m Fn (_V X. _V)

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  _Vcvv 2292   X. cxp 3984   Fn wfn 3993  -->wf 3994  {copab2 4885   ^m cmap 5381

This theorem is referenced by:  mapsspw 5400

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-map 5383

Copyright terms: Public domain