Theorem fnetr 15495

Description: Transitivity of the fineness relation.

Assertion

Ref	Expression
fnetr	|- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> AFneC)

Proof of Theorem fnetr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . 4 |- U.A = U.A
2		eqid 1884	. . . 4 |- U.C = U.C
3	1, 2	isfne2 15481	. . 3 |- (C e. D -> (AFneC <-> (U.A = U.C /\ A.u e. A A.x e. u E.v e. C (x e. v /\ v C_ u))))
4	3	3ad2ant1 897	. 2 |- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> (AFneC <-> (U.A = U.C /\ A.u e. A A.x e. u E.v e. C (x e. v /\ v C_ u))))
5		fnerel 15479	. . . . . 6 |- Rel Fne
6	5	brrelexi 4029	. . . . 5 |- (BFneC -> B e. _V)
7	6	3ad2ant3 899	. . . 4 |- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> B e. _V)
8		simp2 877	. . . 4 |- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> AFneB)
9		eqid 1884	. . . . 5 |- U.B = U.B
10	1, 9	fnebas 15483	. . . 4 |- ((B e. _V /\ AFneB) -> U.A = U.B)
11	7, 8, 10	syl11anc 524	. . 3 |- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> U.A = U.B)
12	9, 2	fnebas 15483	. . . 4 |- ((C e. D /\ BFneC) -> U.B = U.C)
13	12	3adant2 895	. . 3 |- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> U.B = U.C)
14	11, 13	eqtrd 1925	. 2 |- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> U.A = U.C)
15	7	adantr 425	. . . . . 6 |- (((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) -> B e. _V)
16	8	adantr 425	. . . . . 6 |- (((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) -> AFneB)
17		simprl 450	. . . . . 6 |- (((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) -> u e. A)
18		simprr 451	. . . . . 6 |- (((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) -> x e. u)
19		fnessex 15484	. . . . . 6 |- (((B e. _V /\ AFneB /\ u e. A) /\ x e. u) -> E.w e. B (x e. w /\ w C_ u))
20	15, 16, 17, 18, 19	syl31anc 1103	. . . . 5 |- (((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) -> E.w e. B (x e. w /\ w C_ u))
21		simpll1 915	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) /\ (w e. B /\ (x e. w /\ w C_ u))) -> C e. D)
22		simpll3 917	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) /\ (w e. B /\ (x e. w /\ w C_ u))) -> BFneC)
23		simprl 450	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) /\ (w e. B /\ (x e. w /\ w C_ u))) -> w e. B)
24		simprrl 458	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) /\ (w e. B /\ (x e. w /\ w C_ u))) -> x e. w)
25		fnessex 15484	. . . . . . . . 9 |- (((C e. D /\ BFneC /\ w e. B) /\ x e. w) -> E.v e. C (x e. v /\ v C_ w))
26	21, 22, 23, 24, 25	syl31anc 1103	. . . . . . . 8 |- ((((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) /\ (w e. B /\ (x e. w /\ w C_ u))) -> E.v e. C (x e. v /\ v C_ w))
27		sstr2 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v C_ w -> (w C_ u -> v C_ u))
28	27	com12 14	. . . . . . . . . . . 12 |- (w C_ u -> (v C_ w -> v C_ u))
29	28	adantl 424	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. w /\ w C_ u) -> (v C_ w -> v C_ u))
30	29	ad2antll 443	. . . . . . . . . 10 |- ((((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) /\ (w e. B /\ (x e. w /\ w C_ u))) -> (v C_ w -> v C_ u))
31	30	anim2d 620	. . . . . . . . 9 |- ((((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) /\ (w e. B /\ (x e. w /\ w C_ u))) -> ((x e. v /\ v C_ w) -> (x e. v /\ v C_ u)))
32	31	reximdv 2202	. . . . . . . 8 |- ((((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) /\ (w e. B /\ (x e. w /\ w C_ u))) -> (E.v e. C (x e. v /\ v C_ w) -> E.v e. C (x e. v /\ v C_ u)))
33	26, 32	mpd 29	. . . . . . 7 |- ((((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) /\ (w e. B /\ (x e. w /\ w C_ u))) -> E.v e. C (x e. v /\ v C_ u))
34	33	exp32 408	. . . . . 6 |- (((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) -> (w e. B -> ((x e. w /\ w C_ u) -> E.v e. C (x e. v /\ v C_ u))))
35	34	r19.23adv 2215	. . . . 5 |- (((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) -> (E.w e. B (x e. w /\ w C_ u) -> E.v e. C (x e. v /\ v C_ u)))
36	20, 35	mpd 29	. . . 4 |- (((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) /\ (u e. A /\ x e. u)) -> E.v e. C (x e. v /\ v C_ u))
37	36	ex 402	. . 3 |- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> ((u e. A /\ x e. u) -> E.v e. C (x e. v /\ v C_ u)))
38	37	r19.21aivv 2183	. 2 |- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> A.u e. A A.x e. u E.v e. C (x e. v /\ v C_ u))
39	4, 14, 38	mpbir2and 802	1 |- ((C e. D /\ AFneB /\ BFneC) -> AFneC)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338  Fnecfne 15457

This theorem is referenced by:  fneer 15496  fnessref 15503

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-fne 15463

Copyright terms: Public domain