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Theorem fnessref 31084
Description: A cover is finer iff it has a subcover which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fnessref.1  |-  X  = 
U. A
fnessref.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
fnessref  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem fnessref
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 31065 . . . . . . 7  |-  Rel  Fne
21brrelex2i 4881 . . . . . 6  |-  ( A Fne B  ->  B  e.  _V )
32adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  B  e.  _V )
4 rabexg 4549 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
6 ssrab2 3500 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B )
8 fnessref.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. A
98eleq2i 2541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  X  <->  t  e.  U. A )
10 eluni 4193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  U. A  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
119, 10bitri 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  X  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
12 fnessex 31073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) )
13123expia 1233 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A )  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
1413adantll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
15 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  z
) )
1615rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  /\  x  C_  z )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
1716ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  A  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1817adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1918anim2d 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
2019reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  ( E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2114, 20syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2221ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  A  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) ) )
2322com23 80 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) ) )
2423impd 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
2524exlimdv 1787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( E. z ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2611, 25syl5bi 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
27 elunirab 4202 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
2826, 27syl6ibr 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  t  e.  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
2928ssrdv 3424 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  C_  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
306unissi 4213 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  U. B
31 simpl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  Y )
32 fnessref.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. B
3331, 32syl6req 2522 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. B  =  X
)
3430, 33syl5sseq 3466 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  X )
3529, 34eqssd 3435 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
36 fnessex 31073 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
37363expb 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Fne B  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z
) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
3837adantll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
39 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
)
41 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
w  C_  y  <->  w  C_  z
) )
4241rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  C_  z )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y )
4342expcom 442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C_  z  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4443ad2antll 743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4544com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  (
( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4645ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4740, 46jcad 542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) ) )
48 sseq1 3439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x  C_  y  <->  w  C_  y
) )
4948rexbidv 2892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
5049elrab 3184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
5147, 50syl6ibr 235 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
52 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5451, 53jcad 542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
5554reximdv2 2855 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5638, 55mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5756ralrimivva 2814 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
58 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }
598, 58isfne2 31069 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
603, 4, 593syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( A Fne {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6135, 57, 60mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
62 sseq1 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  z  C_  y ) )
6362rexbidv 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
6463elrab 3184 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
65 sseq2 3440 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  w ) )
6665cbvrexv 3006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  <->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6766biimpi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6867adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z 
C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6968a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w ) )
7064, 69syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  E. w  e.  A  z 
C_  w ) )
7170ralrimiv 2808 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w )
7258, 8isref 20601 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A  <->  ( X  =  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
733, 4, 723syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
7435, 71, 73mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A )
757, 61, 74jca32 544 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) ) )
76 sseq1 3439 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( c  C_  B 
<->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B ) )
77 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( A Fne c 
<->  A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
78 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( c Ref A  <->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) )
7977, 78anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( ( A Fne c  /\  c Ref A )  <->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) ) )
8076, 79anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( ( c 
C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  <->  ( {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) ) ) )
8180spcegv 3121 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) ) ) )
825, 75, 81sylc 61 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) ) )
8382ex 441 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  ->  E. c
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
84 simprrl 782 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  A Fne c )
85 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. c  =  U. c
868, 85fnebas 31071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A Fne c  ->  X  =  U. c )
8784, 86syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  U. c )
88 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  Y )
8987, 88eqtr3d 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  U. c  =  Y )
9089, 32syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  U. c  =  U. B )
91 vex 3034 . . . . . . . . 9  |-  c  e. 
_V
9291uniex 6606 . . . . . . . 8  |-  U. c  e.  _V
9390, 92syl6eqelr 2558 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  U. B  e.  _V )
94 uniexb 6620 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
9593, 94sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B  e.  _V )
96 simprl 772 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  c  C_  B )
9785, 32fness 31076 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  c  C_  B  /\  U. c  =  Y )  ->  c Fne B )
9895, 96, 89, 97syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  c Fne B )
99 fnetr 31078 . . . . 5  |-  ( ( A Fne c  /\  c Fne B )  ->  A Fne B )
10084, 98, 99syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  A Fne B )
101100ex 441 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  ->  A Fne B ) )
102101exlimdv 1787 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) )  ->  A Fne B ) )
10383, 102impbid 195 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   Refcref 20594   Fnecfne 31063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-topgen 15420  df-ref 20597  df-fne 31064
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