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Theorem fnessref 28733
Description: A cover is finer iff it has a subcover which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fnessref.1  |-  X  = 
U. A
fnessref.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
fnessref  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem fnessref
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 28707 . . . . . . 7  |-  Rel  Fne
21brrelex2i 4991 . . . . . 6  |-  ( A Fne B  ->  B  e.  _V )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  B  e.  _V )
4 rabexg 4553 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
6 fnessref.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. A
76eleq2i 2532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  X  <->  t  e.  U. A )
8 eluni 4205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  U. A  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
97, 8bitri 249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  X  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
10 fnessex 28715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) )
11103expia 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A )  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
1211adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
13 sseq2 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  z
) )
1413rspcev 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  A  /\  x  C_  z )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
1514ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  A  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1615adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1716anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
1817reximdv 2933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  ( E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
1912, 18syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2019ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  A  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) ) )
2120com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) ) )
2221impd 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
2322exlimdv 1691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( E. z ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
249, 23syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
25 elunirab 4214 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
2624, 25syl6ibr 227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  t  e.  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
2726ssrdv 3473 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  C_  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
28 ssrab2 3548 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B
2928unissi 4225 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  U. B
30 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  Y )
31 fnessref.2 . . . . . . . . . 10  |-  Y  = 
U. B
3230, 31syl6req 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. B  =  X
)
3329, 32syl5sseq 3515 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  X )
3427, 33eqssd 3484 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
35 fnessex 28715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
36353expb 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A Fne B  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z
) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
3736adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
38 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
)
40 sseq2 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
w  C_  y  <->  w  C_  z
) )
4140rspcev 3179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  C_  z )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y )
4241expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w 
C_  z  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4342ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4443com12 31 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  A  ->  (
( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4639, 45jcad 533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) ) )
47 sseq1 3488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  w  ->  (
x  C_  y  <->  w  C_  y
) )
4847rexbidv 2868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4948elrab 3224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
5046, 49syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
51 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5251a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5350, 52jcad 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
5453reximdv2 2931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5537, 54mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5655ralrimivva 2914 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
57 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }
586, 57isfne2 28711 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
593, 4, 583syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( A Fne {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6034, 56, 59mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
61 sseq1 3488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  z  C_  y ) )
6261rexbidv 2868 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
6362elrab 3224 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
64 sseq2 3489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  w ) )
6564cbvrexv 3054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  <->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6665biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6766adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z 
C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6867a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w ) )
6963, 68syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  E. w  e.  A  z 
C_  w ) )
7069ralrimiv 2828 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w )
716, 57isref 28719 . . . . . . . 8  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( A Ref { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
723, 4, 713syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( A Ref {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
7334, 70, 72mpbir2and 913 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A Ref { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
74 brin 4452 . . . . . 6  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A Ref { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
7560, 73, 74sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A ( Fne  i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
7675, 28jctil 537 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  A
( Fne  i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
77 sseq1 3488 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( c  C_  B 
<->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B ) )
78 breq2 4407 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( A ( Fne  i^i  Ref )
c  <->  A ( Fne  i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
7977, 78anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( ( c 
C_  B  /\  A
( Fne  i^i  Ref )
c )  <->  ( {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) ) )
8079spcegv 3164 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c ) ) )
815, 76, 80sylc 60 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c ) )
8281ex 434 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  ->  E. c
( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
83 inss1 3681 . . . . . . 7  |-  ( Fne 
i^i  Ref )  C_  Fne
8483ssbri 4445 . . . . . 6  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  ->  A Fne c )
8584ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  A Fne c
)
86 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. c  =  U. c
876, 86fnebas 28713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A Fne c  ->  X  =  U. c )
8884, 87syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A ( Fne  i^i  Ref ) c  ->  X  =  U. c )
8988ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  X  =  U. c )
90 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  X  =  Y )
9189, 90eqtr3d 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  U. c  =  Y )
9291, 31syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  U. c  =  U. B )
93 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  c  e. 
_V
9493uniex 6489 . . . . . . . 8  |-  U. c  e.  _V
9592, 94syl6eqelr 2551 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  U. B  e.  _V )
96 uniexb 6499 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
9795, 96sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  B  e.  _V )
98 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  c  C_  B
)
9986, 31fness 28722 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  c  C_  B  /\  U. c  =  Y )  ->  c Fne B )
10097, 98, 91, 99syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  c Fne B
)
101 fnetr 28726 . . . . 5  |-  ( ( A Fne c  /\  c Fne B )  ->  A Fne B )
10285, 100, 101syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) )  ->  A Fne B
)
103102ex 434 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c )  ->  A Fne B ) )
104103exlimdv 1691 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( c  C_  B  /\  A ( Fne 
i^i  Ref ) c )  ->  A Fne B
) )
10582, 104impbid 191 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  A ( Fne  i^i  Ref ) c ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   _Vcvv 3078    i^i cin 3438    C_ wss 3439   U.cuni 4202   class class class wbr 4403   Fnecfne 28699   Refcref 28700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fv 5537  df-topgen 14504  df-fne 28703  df-ref 28704
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