Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnessref Structured version   Unicode version

Theorem fnessref 30151
Description: A cover is finer iff it has a subcover which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fnessref.1  |-  X  = 
U. A
fnessref.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
fnessref  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem fnessref
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 30132 . . . . . . 7  |-  Rel  Fne
21brrelex2i 5031 . . . . . 6  |-  ( A Fne B  ->  B  e.  _V )
32adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  B  e.  _V )
4 rabexg 4587 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
6 ssrab2 3570 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B )
8 fnessref.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. A
98eleq2i 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  X  <->  t  e.  U. A )
10 eluni 4237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  U. A  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
119, 10bitri 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  X  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
12 fnessex 30140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) )
13123expia 1199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A )  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
1413adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
15 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  z
) )
1615rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  /\  x  C_  z )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
1716ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  A  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1918anim2d 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
2019reximdv 2917 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  ( E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2114, 20syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2221ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  A  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) ) )
2322com23 78 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) ) )
2423impd 431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
2524exlimdv 1711 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( E. z ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2611, 25syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
27 elunirab 4246 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
2826, 27syl6ibr 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  t  e.  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
2928ssrdv 3495 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  C_  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
306unissi 4257 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  U. B
31 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  Y )
32 fnessref.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. B
3331, 32syl6req 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. B  =  X
)
3430, 33syl5sseq 3537 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  X )
3529, 34eqssd 3506 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
36 fnessex 30140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
37363expb 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Fne B  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z
) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
3837adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
39 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
)
41 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
w  C_  y  <->  w  C_  z
) )
4241rspcev 3196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  C_  z )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y )
4342expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C_  z  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4443ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4544com12 31 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  (
( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4740, 46jcad 533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) ) )
48 sseq1 3510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x  C_  y  <->  w  C_  y
) )
4948rexbidv 2954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
5049elrab 3243 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
5147, 50syl6ibr 227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
52 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5451, 53jcad 533 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
5554reximdv2 2914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5638, 55mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5756ralrimivva 2864 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
58 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }
598, 58isfne2 30136 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
603, 4, 593syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( A Fne {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6135, 57, 60mpbir2and 922 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
62 sseq1 3510 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  z  C_  y ) )
6362rexbidv 2954 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
6463elrab 3243 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
65 sseq2 3511 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  w ) )
6665cbvrexv 3071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  <->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6766biimpi 194 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6867adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z 
C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6968a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w ) )
7064, 69syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  E. w  e.  A  z 
C_  w ) )
7170ralrimiv 2855 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w )
7258, 8isref 19988 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A  <->  ( X  =  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
733, 4, 723syl 20 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
7435, 71, 73mpbir2and 922 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A )
757, 61, 74jca32 535 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) ) )
76 sseq1 3510 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( c  C_  B 
<->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B ) )
77 breq2 4441 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( A Fne c 
<->  A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
78 breq1 4440 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( c Ref A  <->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) )
7977, 78anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( ( A Fne c  /\  c Ref A )  <->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) ) )
8076, 79anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( ( c 
C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  <->  ( {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) ) ) )
8180spcegv 3181 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) ) ) )
825, 75, 81sylc 60 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) ) )
8382ex 434 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  ->  E. c
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
84 simprrl 765 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  A Fne c )
85 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. c  =  U. c
868, 85fnebas 30138 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A Fne c  ->  X  =  U. c )
8784, 86syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  U. c )
88 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  Y )
8987, 88eqtr3d 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  U. c  =  Y )
9089, 32syl6eq 2500 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  U. c  =  U. B )
91 vex 3098 . . . . . . . . 9  |-  c  e. 
_V
9291uniex 6581 . . . . . . . 8  |-  U. c  e.  _V
9390, 92syl6eqelr 2540 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  U. B  e.  _V )
94 uniexb 6595 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
9593, 94sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B  e.  _V )
96 simprl 756 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  c  C_  B )
9785, 32fness 30143 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  c  C_  B  /\  U. c  =  Y )  ->  c Fne B )
9895, 96, 89, 97syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  c Fne B )
99 fnetr 30145 . . . . 5  |-  ( ( A Fne c  /\  c Fne B )  ->  A Fne B )
10084, 98, 99syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  A Fne B )
101100ex 434 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  ->  A Fne B ) )
102101exlimdv 1711 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) )  ->  A Fne B ) )
10383, 102impbid 191 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   {crab 2797   _Vcvv 3095    C_ wss 3461   U.cuni 4234   class class class wbr 4437   Refcref 19981   Fnecfne 30130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fv 5586  df-topgen 14823  df-ref 19984  df-fne 30131
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator