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Theorem fnessref 31013
Description: A cover is finer iff it has a subcover which is both finer and a refinement. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Jan-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 3-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fnessref.1  |-  X  = 
U. A
fnessref.2  |-  Y  = 
U. B
Assertion
Ref Expression
fnessref  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, c    B, c    X, c    Y, c

Proof of Theorem fnessref
Dummy variables  t  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fnerel 30994 . . . . . . 7  |-  Rel  Fne
21brrelex2i 4876 . . . . . 6  |-  ( A Fne B  ->  B  e.  _V )
32adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  B  e.  _V )
4 rabexg 4553 . . . . 5  |-  ( B  e.  _V  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V )
6 ssrab2 3514 . . . . . 6  |-  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B )
8 fnessref.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  X  = 
U. A
98eleq2i 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  X  <->  t  e.  U. A )
10 eluni 4201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  U. A  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
119, 10bitri 253 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  X  <->  E. z
( t  e.  z  /\  z  e.  A
) )
12 fnessex 31002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) )
13123expia 1210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A )  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
1413adantll 720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z ) ) )
15 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  z
) )
1615rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( z  e.  A  /\  x  C_  z )  ->  E. y  e.  A  x  C_  y )
1716ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  e.  A  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1817adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
x  C_  z  ->  E. y  e.  A  x 
C_  y ) )
1918anim2d 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
2019reximdv 2861 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  ( E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  x  C_  z )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2114, 20syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  z  e.  A )  ->  (
t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2221ex 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  A  ->  ( t  e.  z  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) ) )
2322com23 81 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  z  ->  ( z  e.  A  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) ) )
2423impd 433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) ) )
2524exlimdv 1779 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( E. z ( t  e.  z  /\  z  e.  A )  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
2611, 25syl5bi 221 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y ) ) )
27 elunirab 4210 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  E. x  e.  B  ( t  e.  x  /\  E. y  e.  A  x  C_  y
) )
2826, 27syl6ibr 231 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( t  e.  X  ->  t  e.  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
2928ssrdv 3438 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  C_  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
306unissi 4221 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  U. B
31 simpl 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  Y )
32 fnessref.2 . . . . . . . . 9  |-  Y  = 
U. B
3331, 32syl6req 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. B  =  X
)
3430, 33syl5sseq 3480 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  X )
3529, 34eqssd 3449 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
36 fnessex 31002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A Fne B  /\  z  e.  A  /\  t  e.  z )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
37363expb 1209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A Fne B  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z
) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
3837adantll 720 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
39 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  B )
)
41 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  z  ->  (
w  C_  y  <->  w  C_  z
) )
4241rspcev 3150 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( z  e.  A  /\  w  C_  z )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y )
4342expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w 
C_  z  ->  (
z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4443ad2antll 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( z  e.  A  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4544com12 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  A  ->  (
( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
4645ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
4740, 46jcad 536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) ) )
48 sseq1 3453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
x  C_  y  <->  w  C_  y
) )
4948rexbidv 2901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  w  C_  y
) )
5049elrab 3196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( w  e.  B  /\  E. y  e.  A  w  C_  y ) )
5147, 50syl6ibr 231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
52 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5451, 53jcad 536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( ( w  e.  B  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )  -> 
( w  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
5554reximdv2 2858 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  -> 
( E. w  e.  B  ( t  e.  w  /\  w  C_  z )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
5638, 55mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  =  Y  /\  A Fne B
)  /\  ( z  e.  A  /\  t  e.  z ) )  ->  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
5756ralrimivva 2809 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ( t  e.  w  /\  w  C_  z ) )
58 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }
598, 58isfne2 30998 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
603, 4, 593syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( A Fne {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  A  A. t  e.  z  E. w  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  (
t  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6135, 57, 60mpbir2and 933 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } )
62 sseq1 3453 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  z  C_  y ) )
6362rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y  e.  A  x  C_  y  <->  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
6463elrab 3196 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } 
<->  ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y ) )
65 sseq2 3454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  w  ->  (
z  C_  y  <->  z  C_  w ) )
6665cbvrexv 3020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  <->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6766biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  A  z 
C_  y  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6867adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z 
C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w )
6968a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( ( z  e.  B  /\  E. y  e.  A  z  C_  y )  ->  E. w  e.  A  z  C_  w ) )
7064, 69syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( z  e.  {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  E. w  e.  A  z 
C_  w ) )
7170ralrimiv 2800 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  A. z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w )
7258, 8isref 20524 . . . . . . 7  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A  <->  ( X  =  U. {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e.  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
733, 4, 723syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A  <->  ( X  =  U. { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  A. z  e. 
{ x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } E. w  e.  A  z  C_  w ) ) )
7435, 71, 73mpbir2and 933 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A )
757, 61, 74jca32 538 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  -> 
( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) ) )
76 sseq1 3453 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( c  C_  B 
<->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B ) )
77 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( A Fne c 
<->  A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } ) )
78 breq1 4405 . . . . . . 7  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( c Ref A  <->  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) )
7977, 78anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( ( A Fne c  /\  c Ref A )  <->  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) ) )
8076, 79anbi12d 717 . . . . 5  |-  ( c  =  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  ->  ( ( c 
C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  <->  ( {
x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) ) ) )
8180spcegv 3135 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  e.  _V  ->  ( ( { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  C_  B  /\  ( A Fne { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y }  /\  { x  e.  B  |  E. y  e.  A  x  C_  y } Ref A ) )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) ) ) )
825, 75, 81sylc 62 . . 3  |-  ( ( X  =  Y  /\  A Fne B )  ->  E. c ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) ) )
8382ex 436 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  ->  E. c
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
84 simprrl 774 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  A Fne c )
85 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. c  =  U. c
868, 85fnebas 31000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A Fne c  ->  X  =  U. c )
8784, 86syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  U. c )
88 simpl 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  X  =  Y )
8987, 88eqtr3d 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  U. c  =  Y )
9089, 32syl6eq 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  U. c  =  U. B )
91 vex 3048 . . . . . . . . 9  |-  c  e. 
_V
9291uniex 6587 . . . . . . . 8  |-  U. c  e.  _V
9390, 92syl6eqelr 2538 . . . . . . 7  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  U. B  e.  _V )
94 uniexb 6601 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  _V  <->  U. B  e. 
_V )
9593, 94sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  B  e.  _V )
96 simprl 764 . . . . . 6  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  c  C_  B )
9785, 32fness 31005 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  _V  /\  c  C_  B  /\  U. c  =  Y )  ->  c Fne B )
9895, 96, 89, 97syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  c Fne B )
99 fnetr 31007 . . . . 5  |-  ( ( A Fne c  /\  c Fne B )  ->  A Fne B )
10084, 98, 99syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( X  =  Y  /\  ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) )  ->  A Fne B )
101100ex 436 . . 3  |-  ( X  =  Y  ->  (
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) )  ->  A Fne B ) )
102101exlimdv 1779 . 2  |-  ( X  =  Y  ->  ( E. c ( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A
) )  ->  A Fne B ) )
10383, 102impbid 194 1  |-  ( X  =  Y  ->  ( A Fne B  <->  E. c
( c  C_  B  /\  ( A Fne c  /\  c Ref A ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   Refcref 20517   Fnecfne 30992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fv 5590  df-topgen 15342  df-ref 20520  df-fne 30993
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