Theorem fnemeet2 31015

Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnemeet2	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) <-> ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) )

Distinct variable groups:   y, t, x, S   t, V, x   t, X, x, y   t, T, x

Allowed substitution hints:   T( y)   V( y)

Proof of Theorem fnemeet2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riin0 4370	. . . . . . . . . 10 |- ( S = (/) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = ~P X )
2	1	unieqd 4226	. . . . . . . . 9 |- ( S = (/) -> U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. ~P X )
3		unipw 4667	. . . . . . . . 9 |- U. ~P X = X
4	2, 3	syl6req 2480	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S = (/) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
6		n0 3771	. . . . . . . 8 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
7		unieq 4224	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> U. y = U. x )
8	7	eqeq2d 2436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( X = U. y <-> X = U. x ) )
9	8	rspccva 3181	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
10	9	3adant1 1023	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
11		fnemeet1 31014	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x )
12		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
13		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. x = U. x
14	12, 13	fnebas 30992	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x -> U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. x )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. x )
16	10, 15	eqtr4d 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
17	16	3expia 1207	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( x e. S -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
18	17	exlimdv 1768	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( E. x x e. S -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
19	6, 18	syl5bi 220	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S =/= (/) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
20	5, 19	pm2.61dne 2741	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
21	20	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
22		eqid 2422	. . . . . . 7 |- U. T = U. T
23	22, 12	fnebas 30992	. . . . . 6 |- ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
24	23	adantl 467	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) -> U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
25	21, 24	eqtr4d 2466	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) -> X = U. T )
26	25	ex 435	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> X = U. T ) )
27		fnetr 30999	. . . . . . 7 |- ( ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) /\ ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x ) -> T Fne x )
28	27	expcom 436	. . . . . 6 |- ( ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> T Fne x ) )
29	11, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> T Fne x ) )
30	29	3expa 1205	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ x e. S ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> T Fne x ) )
31	30	ralrimdva 2843	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> A. x e. S T Fne x ) )
32	26, 31	jcad 535	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) )
33		simprl 762	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> X = U. T )
34	20	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
35	33, 34	eqtr3d 2465	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
36		eqimss2 3517	. . . . . . . 8 |- ( X = U. T -> U. T C_ X )
37	36	ad2antrl 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> U. T C_ X )
38		sspwuni 4385	. . . . . . 7 |- ( T C_ ~P X <-> U. T C_ X )
39	37, 38	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ ~P X )
40		breq2 4424	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( T Fne x <-> T Fne t ) )
41	40	cbvralv 3055	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. S T Fne x <-> A. t e. S T Fne t )
42		fnetg 30993	. . . . . . . . . 10 |- ( T Fne t -> T C_ ( topGen ` t ) )
43	42	ralimi 2818	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. S T Fne t -> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
44	41, 43	sylbi 198	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S T Fne x -> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
45	44	ad2antll 733	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
46		ssiin 4346	. . . . . . 7 |- ( T C_ |^|_ t e. S ( topGen ` t ) <-> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
47	45, 46	sylibr 215	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
48	39, 47	ssind 3686	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
49		pwexg 4604	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
50		inex1g 4563	. . . . . . . 8 |- ( ~P X e. _V -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V )
52	51	ad2antrr 730	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V )
53		bastg 19967	. . . . . 6 |- ( ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
55	48, 54	sstrd 3474	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
56	22, 12	isfne4 30988	. . . 4 |- ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) <-> ( U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) /\ T C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) ) )
57	35, 55, 56	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
58	57	ex 435	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) -> T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
59	32, 58	impbid 193	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) <-> ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   E.wex 1659   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   _Vcvv 3081   i^i cin 3435   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   |^|_ciin 4297   class class class wbr 4420   ` cfv 5597   topGenctg 15323   Fnecfne 30984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fv 5605  df-topgen 15329  df-fne 30985

This theorem is referenced by: (None)