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Theorem fnemeet2 31035
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Distinct variable groups:    y, t, x, S    t, V, x   
t, X, x, y   
t, T, x
Allowed substitution hints:    T( y)    V( y)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 4355 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  (/)  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  =  ~P X )
21unieqd 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  (/)  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ~P X )
3 unipw 4653 . . . . . . . . 9  |-  U. ~P X  =  X
42, 3syl6req 2504 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  X  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
6 n0 3743 . . . . . . . 8  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
7 unieq 4209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  U. y  =  U. x )
87eqeq2d 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. x ) )
98rspccva 3151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S
)  ->  X  =  U. x )
1093adant1 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. x )
11 fnemeet1 31034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne x )
12 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
13 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. x  =  U. x
1412, 13fnebas 31012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1610, 15eqtr4d 2490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
17163expia 1211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
1817exlimdv 1781 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
196, 18syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =/=  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
205, 19pm2.61dne 2712 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
2120adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) )
22 eqid 2453 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. T
2322, 12fnebas 31012 . . . . . 6  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2423adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2521, 24eqtr4d 2490 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. T )
2625ex 436 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  X  =  U. T ) )
27 fnetr 31019 . . . . . . 7  |-  ( ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  /\  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x )  ->  T Fne x )
2827expcom 437 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
2911, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
30293expa 1209 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
3130ralrimdva 2808 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  A. x  e.  S  T Fne x ) )
3226, 31jcad 536 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  -> 
( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x
) ) )
33 simprl 765 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. T )
3420adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
3533, 34eqtr3d 2489 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )
36 eqimss2 3487 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. T  ->  U. T  C_  X )
3736ad2antrl 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  C_  X )
38 sspwuni 4370 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  ~P X  <->  U. T  C_  X )
3937, 38sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ~P X )
40 breq2 4409 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( T Fne x  <->  T Fne t ) )
4140cbvralv 3021 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  <->  A. t  e.  S  T Fne t )
42 fnetg 31013 . . . . . . . . . 10  |-  ( T Fne t  ->  T  C_  ( topGen `  t )
)
4342ralimi 2783 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  S  T Fne t  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4441, 43sylbi 199 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4544ad2antll 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t
) )
46 ssiin 4331 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  <->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t )
)
4745, 46sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4839, 47ssind 3658 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
49 pwexg 4590 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
50 inex1g 4549 . . . . . . . 8  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  e. 
_V )
5251ad2antrr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) )  e.  _V )
53 bastg 19993 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
5452, 53syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) 
C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5548, 54sstrd 3444 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5622, 12isfne4 31008 . . . 4  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  <->  ( U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  /\  T  C_  ( topGen `
 ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) ) )
5735, 55, 56sylanbrc 671 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
5857ex 436 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( ( X  = 
U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) ) )
5932, 58impbid 194 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047    i^i cin 3405    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ~Pcpw 3953   U.cuni 4201   |^|_ciin 4282   class class class wbr 4405   ` cfv 5585   topGenctg 15348   Fnecfne 31004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fv 5593  df-topgen 15354  df-fne 31005
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