Theorem fnemeet2 30369

Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnemeet2	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) <-> ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) )

Distinct variable groups:   y, t, x, S   t, V, x   t, X, x, y   t, T, x

Allowed substitution hints:   T( y)   V( y)

Proof of Theorem fnemeet2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riin0 4406	. . . . . . . . . 10 |- ( S = (/) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = ~P X )
2	1	unieqd 4261	. . . . . . . . 9 |- ( S = (/) -> U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. ~P X )
3		unipw 4706	. . . . . . . . 9 |- U. ~P X = X
4	2, 3	syl6req 2515	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S = (/) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
6		n0 3803	. . . . . . . 8 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
7		unieq 4259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> U. y = U. x )
8	7	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( X = U. y <-> X = U. x ) )
9	8	rspccva 3209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
10	9	3adant1 1014	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
11		fnemeet1 30368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x )
12		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
13		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. x = U. x
14	12, 13	fnebas 30346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x -> U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. x )
15	11, 14	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. x )
16	10, 15	eqtr4d 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
17	16	3expia 1198	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( x e. S -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
18	17	exlimdv 1725	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( E. x x e. S -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
19	6, 18	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S =/= (/) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
20	5, 19	pm2.61dne 2774	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
21	20	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
22		eqid 2457	. . . . . . 7 |- U. T = U. T
23	22, 12	fnebas 30346	. . . . . 6 |- ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
24	23	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) -> U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
25	21, 24	eqtr4d 2501	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) -> X = U. T )
26	25	ex 434	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> X = U. T ) )
27		fnetr 30353	. . . . . . 7 |- ( ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) /\ ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x ) -> T Fne x )
28	27	expcom 435	. . . . . 6 |- ( ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> T Fne x ) )
29	11, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> T Fne x ) )
30	29	3expa 1196	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ x e. S ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> T Fne x ) )
31	30	ralrimdva 2875	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> A. x e. S T Fne x ) )
32	26, 31	jcad 533	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) )
33		simprl 756	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> X = U. T )
34	20	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
35	33, 34	eqtr3d 2500	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
36		eqimss2 3552	. . . . . . . 8 |- ( X = U. T -> U. T C_ X )
37	36	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> U. T C_ X )
38		sspwuni 4421	. . . . . . 7 |- ( T C_ ~P X <-> U. T C_ X )
39	37, 38	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ ~P X )
40		breq2 4460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( T Fne x <-> T Fne t ) )
41	40	cbvralv 3084	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. S T Fne x <-> A. t e. S T Fne t )
42		fnetg 30347	. . . . . . . . . 10 |- ( T Fne t -> T C_ ( topGen ` t ) )
43	42	ralimi 2850	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. S T Fne t -> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
44	41, 43	sylbi 195	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S T Fne x -> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
45	44	ad2antll 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
46		ssiin 4382	. . . . . . 7 |- ( T C_ |^|_ t e. S ( topGen ` t ) <-> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
47	45, 46	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
48	39, 47	ssind 3718	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
49		pwexg 4640	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
50		inex1g 4599	. . . . . . . 8 |- ( ~P X e. _V -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V )
52	51	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V )
53		bastg 19594	. . . . . 6 |- ( ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
55	48, 54	sstrd 3509	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
56	22, 12	isfne4 30342	. . . 4 |- ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) <-> ( U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) /\ T C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) ) )
57	35, 55, 56	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
58	57	ex 434	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) -> T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
59	32, 58	impbid 191	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) <-> ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   |^|_ciin 4333   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   topGenctg 14855   Fnecfne 30338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-topgen 14861  df-fne 30339

This theorem is referenced by: (None)