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Theorem fnemeet2 31094
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Distinct variable groups:    y, t, x, S    t, V, x   
t, X, x, y   
t, T, x
Allowed substitution hints:    T( y)    V( y)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 4343 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  (/)  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  =  ~P X )
21unieqd 4200 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  (/)  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ~P X )
3 unipw 4650 . . . . . . . . 9  |-  U. ~P X  =  X
42, 3syl6req 2522 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  X  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
6 n0 3732 . . . . . . . 8  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
7 unieq 4198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  U. y  =  U. x )
87eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. x ) )
98rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S
)  ->  X  =  U. x )
1093adant1 1048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. x )
11 fnemeet1 31093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne x )
12 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
13 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. x  =  U. x
1412, 13fnebas 31071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1610, 15eqtr4d 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
17163expia 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
1817exlimdv 1787 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
196, 18syl5bi 225 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =/=  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
205, 19pm2.61dne 2729 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
2120adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) )
22 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. T
2322, 12fnebas 31071 . . . . . 6  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2423adantl 473 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2521, 24eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. T )
2625ex 441 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  X  =  U. T ) )
27 fnetr 31078 . . . . . . 7  |-  ( ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  /\  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x )  ->  T Fne x )
2827expcom 442 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
2911, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
30293expa 1231 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
3130ralrimdva 2812 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  A. x  e.  S  T Fne x ) )
3226, 31jcad 542 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  -> 
( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x
) ) )
33 simprl 772 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. T )
3420adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
3533, 34eqtr3d 2507 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )
36 eqimss2 3471 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. T  ->  U. T  C_  X )
3736ad2antrl 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  C_  X )
38 sspwuni 4360 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  ~P X  <->  U. T  C_  X )
3937, 38sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ~P X )
40 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( T Fne x  <->  T Fne t ) )
4140cbvralv 3005 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  <->  A. t  e.  S  T Fne t )
42 fnetg 31072 . . . . . . . . . 10  |-  ( T Fne t  ->  T  C_  ( topGen `  t )
)
4342ralimi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  S  T Fne t  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4441, 43sylbi 200 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4544ad2antll 743 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t
) )
46 ssiin 4319 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  <->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t )
)
4745, 46sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4839, 47ssind 3647 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
49 pwexg 4585 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
50 inex1g 4539 . . . . . . . 8  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  e. 
_V )
5251ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) )  e.  _V )
53 bastg 20058 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
5452, 53syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) 
C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5548, 54sstrd 3428 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5622, 12isfne4 31067 . . . 4  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  <->  ( U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  /\  T  C_  ( topGen `
 ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) ) )
5735, 55, 56sylanbrc 677 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
5857ex 441 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( ( X  = 
U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) ) )
5932, 58impbid 195 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|_ciin 4270   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   topGenctg 15414   Fnecfne 31063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-topgen 15420  df-fne 31064
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