Theorem fnemeet2 31094

Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnemeet2	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) <-> ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) )

Distinct variable groups:   y, t, x, S   t, V, x   t, X, x, y   t, T, x

Allowed substitution hints:   T( y)   V( y)

Proof of Theorem fnemeet2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		riin0 4343	. . . . . . . . . 10 |- ( S = (/) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = ~P X )
2	1	unieqd 4200	. . . . . . . . 9 |- ( S = (/) -> U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. ~P X )
3		unipw 4650	. . . . . . . . 9 |- U. ~P X = X
4	2, 3	syl6req 2522	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S = (/) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
6		n0 3732	. . . . . . . 8 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
7		unieq 4198	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> U. y = U. x )
8	7	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> ( X = U. y <-> X = U. x ) )
9	8	rspccva 3135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
10	9	3adant1 1048	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
11		fnemeet1 31093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x )
12		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
13		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. x = U. x
14	12, 13	fnebas 31071	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x -> U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. x )
15	11, 14	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) = U. x )
16	10, 15	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
17	16	3expia 1233	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( x e. S -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
18	17	exlimdv 1787	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( E. x x e. S -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
19	6, 18	syl5bi 225	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S =/= (/) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
20	5, 19	pm2.61dne 2729	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
21	20	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
22		eqid 2471	. . . . . . 7 |- U. T = U. T
23	22, 12	fnebas 31071	. . . . . 6 |- ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
24	23	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) -> U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
25	21, 24	eqtr4d 2508	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) -> X = U. T )
26	25	ex 441	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> X = U. T ) )
27		fnetr 31078	. . . . . . 7 |- ( ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) /\ ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x ) -> T Fne x )
28	27	expcom 442	. . . . . 6 |- ( ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) Fne x -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> T Fne x ) )
29	11, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> T Fne x ) )
30	29	3expa 1231	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ x e. S ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> T Fne x ) )
31	30	ralrimdva 2812	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> A. x e. S T Fne x ) )
32	26, 31	jcad 542	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) -> ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) )
33		simprl 772	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> X = U. T )
34	20	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> X = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
35	33, 34	eqtr3d 2507	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
36		eqimss2 3471	. . . . . . . 8 |- ( X = U. T -> U. T C_ X )
37	36	ad2antrl 742	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> U. T C_ X )
38		sspwuni 4360	. . . . . . 7 |- ( T C_ ~P X <-> U. T C_ X )
39	37, 38	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ ~P X )
40		breq2 4399	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( T Fne x <-> T Fne t ) )
41	40	cbvralv 3005	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. S T Fne x <-> A. t e. S T Fne t )
42		fnetg 31072	. . . . . . . . . 10 |- ( T Fne t -> T C_ ( topGen ` t ) )
43	42	ralimi 2796	. . . . . . . . 9 |- ( A. t e. S T Fne t -> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
44	41, 43	sylbi 200	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S T Fne x -> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
45	44	ad2antll 743	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
46		ssiin 4319	. . . . . . 7 |- ( T C_ |^|_ t e. S ( topGen ` t ) <-> A. t e. S T C_ ( topGen ` t ) )
47	45, 46	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ |^|_ t e. S ( topGen ` t ) )
48	39, 47	ssind 3647	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
49		pwexg 4585	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> ~P X e. _V )
50		inex1g 4539	. . . . . . . 8 |- ( ~P X e. _V -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . 7 |- ( X e. V -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V )
52	51	ad2antrr 740	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V )
53		bastg 20058	. . . . . 6 |- ( ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) e. _V -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
55	48, 54	sstrd 3428	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
56	22, 12	isfne4 31067	. . . 4 |- ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) <-> ( U. T = U. ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) /\ T C_ ( topGen ` ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) ) )
57	35, 55, 56	sylanbrc 677	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) -> T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) )
58	57	ex 441	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) -> T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) ) )
59	32, 58	impbid 195	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( T Fne ( ~P X i^i |^|_ t e. S ( topGen ` t ) ) <-> ( X = U. T /\ A. x e. S T Fne x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   i^i cin 3389   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   |^|_ciin 4270   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   topGenctg 15414   Fnecfne 31063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-topgen 15420  df-fne 31064

This theorem is referenced by: (None)