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Theorem fnemeet2 31015
Description: The meet of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Distinct variable groups:    y, t, x, S    t, V, x   
t, X, x, y   
t, T, x
Allowed substitution hints:    T( y)    V( y)

Proof of Theorem fnemeet2
StepHypRef Expression
1 riin0 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  =  (/)  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  =  ~P X )
21unieqd 4226 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  (/)  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ~P X )
3 unipw 4667 . . . . . . . . 9  |-  U. ~P X  =  X
42, 3syl6req 2480 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  X  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
54a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
6 n0 3771 . . . . . . . 8  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
7 unieq 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  U. y  =  U. x )
87eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. x ) )
98rspccva 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S
)  ->  X  =  U. x )
1093adant1 1023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. x )
11 fnemeet1 31014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne x )
12 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
13 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. x  =  U. x
1412, 13fnebas 30992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1511, 14syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
U. x )
1610, 15eqtr4d 2466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
17163expia 1207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
1817exlimdv 1768 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
196, 18syl5bi 220 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =/=  (/)  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
205, 19pm2.61dne 2741 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
2120adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) )
22 eqid 2422 . . . . . . 7  |-  U. T  =  U. T
2322, 12fnebas 30992 . . . . . 6  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2423adantl 467 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  U. T  = 
U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
2521, 24eqtr4d 2466 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )  ->  X  =  U. T )
2625ex 435 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  X  =  U. T ) )
27 fnetr 30999 . . . . . . 7  |-  ( ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  /\  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x )  ->  T Fne x )
2827expcom 436 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) Fne x  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
2911, 28syl 17 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
30293expa 1205 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  x  e.  S )  ->  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  ->  T Fne x ) )
3130ralrimdva 2843 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  ->  A. x  e.  S  T Fne x ) )
3226, 31jcad 535 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  -> 
( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x
) ) )
33 simprl 762 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. T )
3420adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  X  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) )
3533, 34eqtr3d 2465 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) ) )
36 eqimss2 3517 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  U. T  ->  U. T  C_  X )
3736ad2antrl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  U. T  C_  X )
38 sspwuni 4385 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  ~P X  <->  U. T  C_  X )
3937, 38sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ~P X )
40 breq2 4424 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( T Fne x  <->  T Fne t ) )
4140cbvralv 3055 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  <->  A. t  e.  S  T Fne t )
42 fnetg 30993 . . . . . . . . . 10  |-  ( T Fne t  ->  T  C_  ( topGen `  t )
)
4342ralimi 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( A. t  e.  S  T Fne t  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4441, 43sylbi 198 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  S  T Fne x  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `
 t ) )
4544ad2antll 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t
) )
46 ssiin 4346 . . . . . . 7  |-  ( T 
C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  <->  A. t  e.  S  T  C_  ( topGen `  t )
)
4745, 46sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4839, 47ssind 3686 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
49 pwexg 4604 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
50 inex1g 4563 . . . . . . . 8  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V )
5149, 50syl 17 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  e. 
_V )
5251ad2antrr 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) )  e.  _V )
53 bastg 19967 . . . . . 6  |-  ( ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) )  e.  _V  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) )
5452, 53syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  -> 
( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) 
C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5548, 54sstrd 3474 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T  C_  ( topGen `  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) ) )
5622, 12isfne4 30988 . . . 4  |-  ( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  <->  ( U. T  =  U. ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)  /\  T  C_  ( topGen `
 ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) ) ) )
5735, 55, 56sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
) )
5857ex 435 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( ( X  = 
U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x )  ->  T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  (
topGen `  t ) ) ) )
5932, 58impbid 193 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( T Fne ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  T Fne x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1868    =/= wne 2618   A.wral 2775   _Vcvv 3081    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   U.cuni 4216   |^|_ciin 4297   class class class wbr 4420   ` cfv 5597   topGenctg 15323   Fnecfne 30984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fv 5605  df-topgen 15329  df-fne 30985
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