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Theorem fnemeet1 30014
Description: The meet of a collection of equivalence classes of covers with respect to fineness. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne A )
Distinct variable groups:    y, t, A    t, S, y    t, V    t, X, y
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem fnemeet1
StepHypRef Expression
1 unitg 19275 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  S  ->  U. ( topGen `
 t )  = 
U. t )
21adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 t )  = 
U. t )
3 unieq 4253 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  t  ->  U. y  =  U. t )
43eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. t ) )
54rspccva 3213 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  t  e.  S
)  ->  X  =  U. t )
653ad2antl2 1159 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  X  =  U. t )
72, 6eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 t )  =  X )
8 eqimss 3556 . . . . . 6  |-  ( U. ( topGen `  t )  =  X  ->  U. ( topGen `
 t )  C_  X )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 t )  C_  X )
10 sspwuni 4411 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  t )  C_  ~P X  <->  U. ( topGen `  t
)  C_  X )
119, 10sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  ( topGen `
 t )  C_  ~P X )
1211ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ~P X )
13 ne0i 3791 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
14133ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  S  =/=  (/) )
15 riinn0 4400 . . 3  |-  ( ( A. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_ 
~P X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
1612, 14, 15syl2anc 661 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
17 simp3 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  e.  S )
18 ssid 3523 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  A )  C_  ( topGen `
 A )
19 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  A  ->  ( topGen `
 t )  =  ( topGen `  A )
)
2019sseq1d 3531 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  A  ->  (
( topGen `  t )  C_  ( topGen `  A )  <->  (
topGen `  A )  C_  ( topGen `  A )
) )
2120rspcev 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  ( topGen `  A )  C_  ( topGen `  A )
)  ->  E. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `
 A ) )
2217, 18, 21sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  E. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `
 A ) )
23 iinss 4376 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  S  (
topGen `  t )  C_  ( topGen `  A )  -> 
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `  A )
)
2422, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `
 A ) )
2524unissd 4269 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  U. ( topGen `  A )
)
26 unitg 19275 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  U. ( topGen `
 A )  = 
U. A )
27263ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 A )  = 
U. A )
2825, 27sseqtrd 3540 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  U. A )
29 unieq 4253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
3029eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. A ) )
3130rspccva 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  ->  X  =  U. A )
32313adant1 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  X  =  U. A )
3332adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  X  =  U. A )
3433, 6eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. A  =  U. t )
35 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  t  e.  S )
36 ssid 3523 . . . . . . . . 9  |-  t  C_  t
37 eltg3i 19269 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  S  /\  t  C_  t )  ->  U. t  e.  ( topGen `
 t ) )
3835, 36, 37sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. t  e.  ( topGen `  t )
)
3934, 38eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. A  e.  ( topGen `  t )
)
4039ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. t  e.  S  U. A  e.  ( topGen `  t )
)
41 uniexg 6582 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  ->  U. A  e.  _V )
42413ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  e.  _V )
43 eliin 4331 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  <->  A. t  e.  S  U. A  e.  ( topGen `  t )
) )
4442, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  <->  A. t  e.  S  U. A  e.  ( topGen `  t )
) )
4540, 44mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
46 elssuni 4275 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t
)  ->  U. A  C_  U.
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4745, 46syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  C_ 
U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4828, 47eqssd 3521 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  = 
U. A )
49 eqid 2467 . . . 4  |-  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  = 
U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
50 eqid 2467 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
5149, 50isfne4 19819 . . 3  |-  ( |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) Fne A  <->  ( U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  = 
U. A  /\  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  ( topGen `  A )
) )
5248, 24, 51sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) Fne A
)
5316, 52eqbrtrd 4467 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   |^|_ciin 4326   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   topGenctg 14696   Fnecfne 19809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fv 5596  df-topgen 14702  df-fne 19813
This theorem is referenced by:  fnemeet2  30015
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