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Theorem fnemeet1 30971
Description: The meet of a collection of equivalence classes of covers with respect to fineness. (Contributed by Jeff Hankins, 5-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnemeet1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne A )
Distinct variable groups:    y, t, A    t, S, y    t, V    t, X, y
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem fnemeet1
StepHypRef Expression
1 unitg 19924 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  S  ->  U. ( topGen `
 t )  = 
U. t )
21adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 t )  = 
U. t )
3 unieq 4170 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  t  ->  U. y  =  U. t )
43eqeq2d 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  t  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. t ) )
54rspccva 3124 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  t  e.  S
)  ->  X  =  U. t )
653ad2antl2 1168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  X  =  U. t )
72, 6eqtr4d 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 t )  =  X )
8 eqimss 3459 . . . . . 6  |-  ( U. ( topGen `  t )  =  X  ->  U. ( topGen `
 t )  C_  X )
97, 8syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 t )  C_  X )
10 sspwuni 4331 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  t )  C_  ~P X  <->  U. ( topGen `  t
)  C_  X )
119, 10sylibr 215 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  ( topGen `
 t )  C_  ~P X )
1211ralrimiva 2779 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ~P X )
13 ne0i 3710 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
14133ad2ant3 1028 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  S  =/=  (/) )
15 riinn0 4317 . . 3  |-  ( ( A. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_ 
~P X  /\  S  =/=  (/) )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
1612, 14, 15syl2anc 665 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) )  = 
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
17 simp3 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  e.  S )
18 ssid 3426 . . . . . . . 8  |-  ( topGen `  A )  C_  ( topGen `
 A )
19 fveq2 5825 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  A  ->  ( topGen `
 t )  =  ( topGen `  A )
)
2019sseq1d 3434 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  A  ->  (
( topGen `  t )  C_  ( topGen `  A )  <->  (
topGen `  A )  C_  ( topGen `  A )
) )
2120rspcev 3125 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  S  /\  ( topGen `  A )  C_  ( topGen `  A )
)  ->  E. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `
 A ) )
2217, 18, 21sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  E. t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `
 A ) )
23 iinss 4293 . . . . . . 7  |-  ( E. t  e.  S  (
topGen `  t )  C_  ( topGen `  A )  -> 
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `  A )
)
2422, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  C_  ( topGen `
 A ) )
2524unissd 4186 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  U. ( topGen `  A )
)
26 unitg 19924 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  U. ( topGen `
 A )  = 
U. A )
27263ad2ant3 1028 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. ( topGen `
 A )  = 
U. A )
2825, 27sseqtrd 3443 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  U. A )
29 unieq 4170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
3029eqeq2d 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. A ) )
3130rspccva 3124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  ->  X  =  U. A )
32313adant1 1023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  X  =  U. A )
3332adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  X  =  U. A )
3433, 6eqtr3d 2464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. A  =  U. t )
35 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  t  e.  S )
36 ssid 3426 . . . . . . . . 9  |-  t  C_  t
37 eltg3i 19918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  S  /\  t  C_  t )  ->  U. t  e.  ( topGen `
 t ) )
3835, 36, 37sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. t  e.  ( topGen `  t )
)
3934, 38eqeltrd 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  /\  t  e.  S )  ->  U. A  e.  ( topGen `  t )
)
4039ralrimiva 2779 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. t  e.  S  U. A  e.  ( topGen `  t )
)
41 uniexg 6546 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  S  ->  U. A  e.  _V )
42413ad2ant3 1028 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  e.  _V )
43 eliin 4248 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  <->  A. t  e.  S  U. A  e.  ( topGen `  t )
) )
4442, 43syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )  <->  A. t  e.  S  U. A  e.  ( topGen `  t )
) )
4540, 44mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
46 elssuni 4191 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t
)  ->  U. A  C_  U.
|^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4745, 46syl 17 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  C_ 
U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
)
4828, 47eqssd 3424 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  = 
U. A )
49 eqid 2428 . . . 4  |-  U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  = 
U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t )
50 eqid 2428 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
5149, 50isfne4 30945 . . 3  |-  ( |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t ) Fne A  <->  ( U. |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  = 
U. A  /\  |^|_ t  e.  S  ( topGen `
 t )  C_  ( topGen `  A )
) )
5248, 24, 51sylanbrc 668 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) Fne A
)
5316, 52eqbrtrd 4387 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ( ~P X  i^i  |^|_ t  e.  S  ( topGen `  t ) ) Fne A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 3022    i^i cin 3378    C_ wss 3379   (/)c0 3704   ~Pcpw 3924   U.cuni 4162   |^|_ciin 4243   class class class wbr 4366   ` cfv 5544   topGenctg 15279   Fnecfne 30941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iin 4245  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fv 5552  df-topgen 15285  df-fne 30942
This theorem is referenced by:  fnemeet2  30972
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