Theorem fnejoin2 29777

Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnejoin2	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, S   x, V   x, X, y   x, T

Allowed substitution hints:   T( y)   V( y)

Proof of Theorem fnejoin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unisng 4254	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> U. { X } = X )
2	1	eqcomd 2468	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X = U. { X } )
3	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. { X } )
4		iftrue 3938	. . . . . . . . 9 |- ( S = (/) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) = { X } )
5	4	unieqd 4248	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. { X } )
6	5	eqeq2d 2474	. . . . . . 7 |- ( S = (/) -> ( X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) <-> X = U. { X } ) )
7	3, 6	syl5ibrcom 222	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S = (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
8		n0 3787	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
9		unieq 4246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> U. y = U. x )
10	9	eqeq2d 2474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( X = U. y <-> X = U. x ) )
11	10	rspccva 3206	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
12	11	3adant1 1009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
13		fnejoin1 29776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
14		eqid 2460	. . . . . . . . . . . 12 |- U. x = U. x
15		eqid 2460	. . . . . . . . . . . 12 |- U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. if ( S = (/) , { X } , U. S )
16	14, 15	fnebas 29732	. . . . . . . . . . 11 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
17	13, 16	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
18	12, 17	eqtrd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
19	18	3expia 1193	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
20	19	exlimdv 1695	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( E. x x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
21	8, 20	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S =/= (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
22	7, 21	pm2.61dne 2777	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
23		eqid 2460	. . . . . 6 |- U. T = U. T
24	15, 23	fnebas 29732	. . . . 5 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
25	22, 24	sylan9eq 2521	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> X = U. T )
26	25	ex 434	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> X = U. T ) )
27		fnetr 29745	. . . . . . 7 |- ( ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> x Fne T )
28	27	ex 434	. . . . . 6 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
29	13, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
30	29	3expa 1191	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
31	30	ralrimdva 2875	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> A. x e. S x Fne T ) )
32	26, 31	jcad 533	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )
33	22	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
34		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. T )
35	33, 34	eqtr3d 2503	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
36		sseq1 3518	. . . . 5 |- ( { X } = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( { X } C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
37		sseq1 3518	. . . . 5 |- ( U. S = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
38		elex 3115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. V -> X e. _V )
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. _V )
40	34, 39	eqeltrrd 2549	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. _V )
41		uniexb 6581	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. _V <-> U. T e. _V )
42	40, 41	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> T e. _V )
43		ssid 3516	. . . . . . . . 9 |- T C_ T
44		eltg3i 19222	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. _V /\ T C_ T ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
45	42, 43, 44	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
46	34, 45	eqeltrd 2548	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. ( topGen ` T ) )
47	46	snssd 4165	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
48	47	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ S = (/) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
49		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x Fne T )
50		fnetg 29733	. . . . . . . 8 |- ( x Fne T -> x C_ ( topGen ` T ) )
51	50	ralimi 2850	. . . . . . 7 |- ( A. x e. S x Fne T -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
52	49, 51	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
53		unissb 4270	. . . . . 6 |- ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
54	52, 53	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> U. S C_ ( topGen ` T ) )
55	36, 37, 48, 54	ifbothda 3967	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) )
56	15, 23	isfne4 29728	. . . 4 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
57	35, 55, 56	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T )
58	57	ex 434	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) )
59	32, 58	impbid 191	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   E.wex 1591   e. wcel 1762   =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   (/)c0 3778   ifcif 3932   {csn 4020   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   ` cfv 5579   topGenctg 14682   Fnecfne 29718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fv 5587  df-topgen 14688  df-fne 29722

This theorem is referenced by: (None)