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Theorem fnejoin2 30392
Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, S    x, V    x, X, y    x, T
Allowed substitution hints:    T( y)    V( y)

Proof of Theorem fnejoin2
StepHypRef Expression
1 unisng 4267 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  V  ->  U. { X }  =  X
)
21eqcomd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  X  =  U. { X }
)
32adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  ->  X  =  U. { X } )
4 iftrue 3950 . . . . . . . . 9  |-  ( S  =  (/)  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  { X } )
54unieqd 4261 . . . . . . . 8  |-  ( S  =  (/)  ->  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. { X } )
65eqeq2d 2471 . . . . . . 7  |-  ( S  =  (/)  ->  ( X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  <->  X  =  U. { X } ) )
73, 6syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =  (/)  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) ) )
8 n0 3803 . . . . . . 7  |-  ( S  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  S )
9 unieq 4259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  U. y  =  U. x )
109eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. x ) )
1110rspccva 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S
)  ->  X  =  U. x )
12113adant1 1014 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. x )
13 fnejoin1 30391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  x Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
14 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. x  =  U. x
15 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)
1614, 15fnebas 30367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  ->  U. x  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
1713, 16syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  U. x  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
1812, 17eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
19183expia 1198 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( x  e.  S  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) ) )
2019exlimdv 1725 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( E. x  x  e.  S  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) ) )
218, 20syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( S  =/=  (/)  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) ) )
227, 21pm2.61dne 2774 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) )
23 eqid 2457 . . . . . 6  |-  U. T  =  U. T
2415, 23fnebas 30367 . . . . 5  |-  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  =  U. T )
2522, 24sylan9eq 2518 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) Fne T )  ->  X  =  U. T )
2625ex 434 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  X  =  U. T ) )
27 fnetr 30374 . . . . . . 7  |-  ( ( x Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  /\  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) Fne T )  ->  x Fne T
)
2827ex 434 . . . . . 6  |-  ( x Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  ->  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) Fne T  ->  x Fne T ) )
2913, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  x  e.  S )  ->  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  x Fne T ) )
30293expa 1196 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  x  e.  S )  ->  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  x Fne T ) )
3130ralrimdva 2875 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  A. x  e.  S  x Fne T ) )
3226, 31jcad 533 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  ->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) ) )
3322adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  X  =  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) )
34 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  X  =  U. T )
3533, 34eqtr3d 2500 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  = 
U. T )
36 sseq1 3520 . . . . 5  |-  ( { X }  =  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  ->  ( { X }  C_  ( topGen `
 T )  <->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  C_  ( topGen `  T ) ) )
37 sseq1 3520 . . . . 5  |-  ( U. S  =  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  ->  ( U. S  C_  ( topGen `  T
)  <->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  C_  ( topGen `  T )
) )
38 elex 3118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  _V )
3938ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  X  e.  _V )
4034, 39eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  U. T  e.  _V )
41 uniexb 6609 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  _V  <->  U. T  e. 
_V )
4240, 41sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  T  e.  _V )
43 ssid 3518 . . . . . . . . 9  |-  T  C_  T
44 eltg3i 19589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  _V  /\  T  C_  T )  ->  U. T  e.  ( topGen `
 T ) )
4542, 43, 44sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  U. T  e.  ( topGen `
 T ) )
4634, 45eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  X  e.  ( topGen `  T ) )
4746snssd 4177 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  { X }  C_  ( topGen `
 T ) )
4847adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  /\  S  =  (/) )  ->  { X }  C_  ( topGen `  T )
)
49 simplrr 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  /\  -.  S  =  (/) )  ->  A. x  e.  S  x Fne T )
50 fnetg 30368 . . . . . . . 8  |-  ( x Fne T  ->  x  C_  ( topGen `  T )
)
5150ralimi 2850 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  S  x Fne T  ->  A. x  e.  S  x  C_  ( topGen `
 T ) )
5249, 51syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  /\  -.  S  =  (/) )  ->  A. x  e.  S  x  C_  ( topGen `
 T ) )
53 unissb 4283 . . . . . 6  |-  ( U. S  C_  ( topGen `  T
)  <->  A. x  e.  S  x  C_  ( topGen `  T
) )
5452, 53sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  /\  -.  S  =  (/) )  ->  U. S  C_  ( topGen `  T )
)
5536, 37, 48, 54ifbothda 3979 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  C_  ( topGen `
 T ) )
5615, 23isfne4 30363 . . . 4  |-  ( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  <->  ( U. if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  =  U. T  /\  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S )  C_  ( topGen `
 T ) ) )
5735, 55, 56sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y
)  /\  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T
)
5857ex 434 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( ( X  = 
U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
) Fne T ) )
5932, 58impbid 191 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y )  -> 
( if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) Fne T  <->  ( X  =  U. T  /\  A. x  e.  S  x Fne T ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   topGenctg 14855   Fnecfne 30359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-topgen 14861  df-fne 30360
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