Theorem fnejoin2 31096

Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnejoin2	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, S   x, V   x, X, y   x, T

Allowed substitution hints:   T( y)   V( y)

Proof of Theorem fnejoin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unisng 4206	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> U. { X } = X )
2	1	eqcomd 2477	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X = U. { X } )
3	2	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. { X } )
4		iftrue 3878	. . . . . . . . 9 |- ( S = (/) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) = { X } )
5	4	unieqd 4200	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. { X } )
6	5	eqeq2d 2481	. . . . . . 7 |- ( S = (/) -> ( X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) <-> X = U. { X } ) )
7	3, 6	syl5ibrcom 230	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S = (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
8		n0 3732	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
9		unieq 4198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> U. y = U. x )
10	9	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( X = U. y <-> X = U. x ) )
11	10	rspccva 3135	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
12	11	3adant1 1048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
13		fnejoin1 31095	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
14		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- U. x = U. x
15		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. if ( S = (/) , { X } , U. S )
16	14, 15	fnebas 31071	. . . . . . . . . . 11 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
17	13, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
18	12, 17	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
19	18	3expia 1233	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
20	19	exlimdv 1787	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( E. x x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
21	8, 20	syl5bi 225	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S =/= (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
22	7, 21	pm2.61dne 2729	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
23		eqid 2471	. . . . . 6 |- U. T = U. T
24	15, 23	fnebas 31071	. . . . 5 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
25	22, 24	sylan9eq 2525	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> X = U. T )
26	25	ex 441	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> X = U. T ) )
27		fnetr 31078	. . . . . . 7 |- ( ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> x Fne T )
28	27	ex 441	. . . . . 6 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
29	13, 28	syl 17	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
30	29	3expa 1231	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
31	30	ralrimdva 2812	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> A. x e. S x Fne T ) )
32	26, 31	jcad 542	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )
33	22	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
34		simprl 772	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. T )
35	33, 34	eqtr3d 2507	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
36		sseq1 3439	. . . . 5 |- ( { X } = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( { X } C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
37		sseq1 3439	. . . . 5 |- ( U. S = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
38		elex 3040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. V -> X e. _V )
39	38	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. _V )
40	34, 39	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. _V )
41		uniexb 6620	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. _V <-> U. T e. _V )
42	40, 41	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> T e. _V )
43		ssid 3437	. . . . . . . . 9 |- T C_ T
44		eltg3i 20053	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. _V /\ T C_ T ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
45	42, 43, 44	sylancl 675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
46	34, 45	eqeltrd 2549	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. ( topGen ` T ) )
47	46	snssd 4108	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
48	47	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ S = (/) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
49		simplrr 779	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x Fne T )
50		fnetg 31072	. . . . . . . 8 |- ( x Fne T -> x C_ ( topGen ` T ) )
51	50	ralimi 2796	. . . . . . 7 |- ( A. x e. S x Fne T -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
52	49, 51	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
53		unissb 4221	. . . . . 6 |- ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
54	52, 53	sylibr 217	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> U. S C_ ( topGen ` T ) )
55	36, 37, 48, 54	ifbothda 3907	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) )
56	15, 23	isfne4 31067	. . . 4 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
57	35, 55, 56	sylanbrc 677	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T )
58	57	ex 441	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) )
59	32, 58	impbid 195	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   E.wex 1671   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   ` cfv 5589   topGenctg 15414   Fnecfne 31063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fv 5597  df-topgen 15420  df-fne 31064

This theorem is referenced by: (None)