Theorem fnejoin2 28587

Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnejoin2	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, S   x, V   x, X, y   x, T

Allowed substitution hints:   T( y)   V( y)

Proof of Theorem fnejoin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unisng 4105	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> U. { X } = X )
2	1	eqcomd 2446	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X = U. { X } )
3	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. { X } )
4		iftrue 3795	. . . . . . . . 9 |- ( S = (/) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) = { X } )
5	4	unieqd 4099	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. { X } )
6	5	eqeq2d 2452	. . . . . . 7 |- ( S = (/) -> ( X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) <-> X = U. { X } ) )
7	3, 6	syl5ibrcom 222	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S = (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
8		n0 3644	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
9		unieq 4097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> U. y = U. x )
10	9	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( X = U. y <-> X = U. x ) )
11	10	rspccva 3070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
12	11	3adant1 1006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
13		fnejoin1 28586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
14		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- U. x = U. x
15		eqid 2441	. . . . . . . . . . . 12 |- U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. if ( S = (/) , { X } , U. S )
16	14, 15	fnebas 28542	. . . . . . . . . . 11 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
17	13, 16	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
18	12, 17	eqtrd 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
19	18	3expia 1189	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
20	19	exlimdv 1690	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( E. x x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
21	8, 20	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S =/= (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
22	7, 21	pm2.61dne 2686	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
23		eqid 2441	. . . . . 6 |- U. T = U. T
24	15, 23	fnebas 28542	. . . . 5 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
25	22, 24	sylan9eq 2493	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> X = U. T )
26	25	ex 434	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> X = U. T ) )
27		fnetr 28555	. . . . . . 7 |- ( ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> x Fne T )
28	27	ex 434	. . . . . 6 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
29	13, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
30	29	3expa 1187	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
31	30	ralrimdva 2804	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> A. x e. S x Fne T ) )
32	26, 31	jcad 533	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )
33	22	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
34		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. T )
35	33, 34	eqtr3d 2475	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
36		sseq1 3375	. . . . 5 |- ( { X } = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( { X } C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
37		sseq1 3375	. . . . 5 |- ( U. S = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
38		elex 2979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. V -> X e. _V )
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. _V )
40	34, 39	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. _V )
41		uniexb 6384	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. _V <-> U. T e. _V )
42	40, 41	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> T e. _V )
43		ssid 3373	. . . . . . . . 9 |- T C_ T
44		eltg3i 18564	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. _V /\ T C_ T ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
45	42, 43, 44	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
46	34, 45	eqeltrd 2515	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. ( topGen ` T ) )
47	46	snssd 4016	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
48	47	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ S = (/) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
49		simplrr 760	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x Fne T )
50		fnetg 28543	. . . . . . . 8 |- ( x Fne T -> x C_ ( topGen ` T ) )
51	50	ralimi 2789	. . . . . . 7 |- ( A. x e. S x Fne T -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
52	49, 51	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
53		unissb 4121	. . . . . 6 |- ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
54	52, 53	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> U. S C_ ( topGen ` T ) )
55	36, 37, 48, 54	ifbothda 3822	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) )
56	15, 23	isfne4 28538	. . . 4 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
57	35, 55, 56	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T )
58	57	ex 434	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) )
59	32, 58	impbid 191	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970   C_ wss 3326   (/)c0 3635   ifcif 3789   {csn 3875   U.cuni 4089   class class class wbr 4290   ` cfv 5416   topGenctg 14374   Fnecfne 28528

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-id 4634  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fv 5424  df-topgen 14380  df-fne 28532

This theorem is referenced by: (None)