Theorem fnejoin2 30392

Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part two. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnejoin2	|- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, S   x, V   x, X, y   x, T

Allowed substitution hints:   T( y)   V( y)

Proof of Theorem fnejoin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unisng 4267	. . . . . . . . 9 |- ( X e. V -> U. { X } = X )
2	1	eqcomd 2465	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X = U. { X } )
3	2	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. { X } )
4		iftrue 3950	. . . . . . . . 9 |- ( S = (/) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) = { X } )
5	4	unieqd 4261	. . . . . . . 8 |- ( S = (/) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. { X } )
6	5	eqeq2d 2471	. . . . . . 7 |- ( S = (/) -> ( X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) <-> X = U. { X } ) )
7	3, 6	syl5ibrcom 222	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S = (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
8		n0 3803	. . . . . . 7 |- ( S =/= (/) <-> E. x x e. S )
9		unieq 4259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> U. y = U. x )
10	9	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( X = U. y <-> X = U. x ) )
11	10	rspccva 3209	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
12	11	3adant1 1014	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. x )
13		fnejoin1 30391	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
14		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- U. x = U. x
15		eqid 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. if ( S = (/) , { X } , U. S )
16	14, 15	fnebas 30367	. . . . . . . . . . 11 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
17	13, 16	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> U. x = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
18	12, 17	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
19	18	3expia 1198	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
20	19	exlimdv 1725	. . . . . . 7 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( E. x x e. S -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
21	8, 20	syl5bi 217	. . . . . 6 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( S =/= (/) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) ) )
22	7, 21	pm2.61dne 2774	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
23		eqid 2457	. . . . . 6 |- U. T = U. T
24	15, 23	fnebas 30367	. . . . 5 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
25	22, 24	sylan9eq 2518	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> X = U. T )
26	25	ex 434	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> X = U. T ) )
27		fnetr 30374	. . . . . . 7 |- ( ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) -> x Fne T )
28	27	ex 434	. . . . . 6 |- ( x Fne if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
29	13, 28	syl 16	. . . . 5 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
30	29	3expa 1196	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ x e. S ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> x Fne T ) )
31	30	ralrimdva 2875	. . 3 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> A. x e. S x Fne T ) )
32	26, 31	jcad 533	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T -> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )
33	22	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) )
34		simprl 756	. . . . 5 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X = U. T )
35	33, 34	eqtr3d 2500	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T )
36		sseq1 3520	. . . . 5 |- ( { X } = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( { X } C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
37		sseq1 3520	. . . . 5 |- ( U. S = if ( S = (/) , { X } , U. S ) -> ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
38		elex 3118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. V -> X e. _V )
39	38	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. _V )
40	34, 39	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. _V )
41		uniexb 6609	. . . . . . . . . 10 |- ( T e. _V <-> U. T e. _V )
42	40, 41	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> T e. _V )
43		ssid 3518	. . . . . . . . 9 |- T C_ T
44		eltg3i 19589	. . . . . . . . 9 |- ( ( T e. _V /\ T C_ T ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
45	42, 43, 44	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> U. T e. ( topGen ` T ) )
46	34, 45	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> X e. ( topGen ` T ) )
47	46	snssd 4177	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
48	47	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ S = (/) ) -> { X } C_ ( topGen ` T ) )
49		simplrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x Fne T )
50		fnetg 30368	. . . . . . . 8 |- ( x Fne T -> x C_ ( topGen ` T ) )
51	50	ralimi 2850	. . . . . . 7 |- ( A. x e. S x Fne T -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
52	49, 51	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
53		unissb 4283	. . . . . 6 |- ( U. S C_ ( topGen ` T ) <-> A. x e. S x C_ ( topGen ` T ) )
54	52, 53	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) /\ -. S = (/) ) -> U. S C_ ( topGen ` T ) )
55	36, 37, 48, 54	ifbothda 3979	. . . 4 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) )
56	15, 23	isfne4 30363	. . . 4 |- ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( U. if ( S = (/) , { X } , U. S ) = U. T /\ if ( S = (/) , { X } , U. S ) C_ ( topGen ` T ) ) )
57	35, 55, 56	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) /\ ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T )
58	57	ex 434	. 2 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) -> if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T ) )
59	32, 58	impbid 191	1 |- ( ( X e. V /\ A. y e. S X = U. y ) -> ( if ( S = (/) , { X } , U. S ) Fne T <-> ( X = U. T /\ A. x e. S x Fne T ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   {csn 4032   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   ` cfv 5594   topGenctg 14855   Fnecfne 30359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-topgen 14861  df-fne 30360

This theorem is referenced by: (None)