Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnejoin1 Structured version   Unicode version

Theorem fnejoin1 28594
Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part one. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, S    y, X
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem fnejoin1
StepHypRef Expression
1 elssuni 4126 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  C_ 
U. S )
213ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  C_ 
U. S )
32unissd 4120 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  C_ 
U. U. S )
4 eqimss2 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  U. y  ->  U. y  C_  X )
5 sspwuni 4261 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
64, 5sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  C_  ~P X
)
76ralimi 2796 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  X  =  U. y  ->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
873ad2ant2 1010 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
9 unissb 4128 . . . . . . 7  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
108, 9sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  C_ 
~P X )
11 sspwuni 4261 . . . . . 6  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  U. U. S  C_  X )
1210, 11sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. U. S  C_  X )
13 unieq 4104 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
1413eqeq2d 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. A ) )
1514rspccva 3077 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  ->  X  =  U. A )
16153adant1 1006 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  X  =  U. A )
1712, 16sseqtrd 3397 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. U. S  C_  U. A )
183, 17eqssd 3378 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  =  U. U. S )
19 pwexg 4481 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
20193ad2ant1 1009 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ~P X  e.  _V )
2120, 10ssexd 4444 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  e.  _V )
22 bastg 18576 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  C_  ( topGen ` 
U. S ) )
2321, 22syl 16 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  C_  ( topGen `  U. S ) )
242, 23sstrd 3371 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  C_  ( topGen `  U. S ) )
25 eqid 2443 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
26 eqid 2443 . . . 4  |-  U. U. S  =  U. U. S
2725, 26isfne4 28546 . . 3  |-  ( A Fne U. S  <->  ( U. A  =  U. U. S  /\  A  C_  ( topGen ` 
U. S ) ) )
2818, 24, 27sylanbrc 664 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne U. S )
29 ne0i 3648 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
30293ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  S  =/=  (/) )
31 ifnefalse 3806 . . 3  |-  ( S  =/=  (/)  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. S
)
3230, 31syl 16 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. S
)
3328, 32breqtrrd 4323 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   _Vcvv 2977    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ifcif 3796   ~Pcpw 3865   {csn 3882   U.cuni 4096   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   topGenctg 14381   Fnecfne 28536
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fv 5431  df-topgen 14387  df-fne 28540
This theorem is referenced by:  fnejoin2  28595
  Copyright terms: Public domain W3C validator