Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fnejoin1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fnejoin1 31036
Description: Join of equivalence classes under the fineness relation-part one. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Oct-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnejoin1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, S    y, X
Allowed substitution hint:    V( y)

Proof of Theorem fnejoin1
StepHypRef Expression
1 elssuni 4230 . . . . . 6  |-  ( A  e.  S  ->  A  C_ 
U. S )
213ad2ant3 1032 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  C_ 
U. S )
32unissd 4225 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  C_ 
U. U. S )
4 eqimss2 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  =  U. y  ->  U. y  C_  X )
5 sspwuni 4370 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  ~P X  <->  U. y  C_  X )
64, 5sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  U. y  -> 
y  C_  ~P X
)
76ralimi 2783 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  X  =  U. y  ->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
873ad2ant2 1031 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
9 unissb 4232 . . . . . . 7  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  A. y  e.  S  y  C_  ~P X )
108, 9sylibr 216 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  C_ 
~P X )
11 sspwuni 4370 . . . . . 6  |-  ( U. S  C_  ~P X  <->  U. U. S  C_  X )
1210, 11sylib 200 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. U. S  C_  X )
13 unieq 4209 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  U. y  =  U. A )
1413eqeq2d 2463 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( X  =  U. y  <->  X  =  U. A ) )
1514rspccva 3151 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S
)  ->  X  =  U. A )
16153adant1 1027 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  X  =  U. A )
1712, 16sseqtrd 3470 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. U. S  C_  U. A )
183, 17eqssd 3451 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. A  =  U. U. S )
19 pwexg 4590 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  V  ->  ~P X  e.  _V )
20193ad2ant1 1030 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  ~P X  e.  _V )
2120, 10ssexd 4553 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  e.  _V )
22 bastg 19993 . . . . 5  |-  ( U. S  e.  _V  ->  U. S  C_  ( topGen ` 
U. S ) )
2321, 22syl 17 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  U. S  C_  ( topGen `  U. S ) )
242, 23sstrd 3444 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A  C_  ( topGen `  U. S ) )
25 eqid 2453 . . . 4  |-  U. A  =  U. A
26 eqid 2453 . . . 4  |-  U. U. S  =  U. U. S
2725, 26isfne4 31008 . . 3  |-  ( A Fne U. S  <->  ( U. A  =  U. U. S  /\  A  C_  ( topGen ` 
U. S ) ) )
2818, 24, 27sylanbrc 671 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne U. S )
29 ne0i 3739 . . . 4  |-  ( A  e.  S  ->  S  =/=  (/) )
30293ad2ant3 1032 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  S  =/=  (/) )
31 ifnefalse 3895 . . 3  |-  ( S  =/=  (/)  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. S
)
3230, 31syl 17 . 2  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S
)  =  U. S
)
3328, 32breqtrrd 4432 1  |-  ( ( X  e.  V  /\  A. y  e.  S  X  =  U. y  /\  A  e.  S )  ->  A Fne if ( S  =  (/) ,  { X } ,  U. S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047    C_ wss 3406   (/)c0 3733   ifcif 3883   ~Pcpw 3953   {csn 3970   U.cuni 4201   class class class wbr 4405   ` cfv 5585   topGenctg 15348   Fnecfne 31004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fv 5593  df-topgen 15354  df-fne 31005
This theorem is referenced by:  fnejoin2  31037
  Copyright terms: Public domain W3C validator