Theorem fneint 15486

Description: If a cover is finer than another, every point can be approached more closely by intersections.

Assertion

Ref	Expression
fneint	|- ((B e. C /\ AFneB) -> |^|{x e. B | P e. x} C_ |^|{x e. A | P e. x})

Distinct variable groups:   x,A   x,B   x,P

Proof of Theorem fneint

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 73	. . . . . . . . 9 |- ((B e. C /\ AFneB /\ y e. A) -> (B e. C /\ AFneB /\ y e. A))
2	1	3expa 1067	. . . . . . . 8 |- (((B e. C /\ AFneB) /\ y e. A) -> (B e. C /\ AFneB /\ y e. A))
3	2	adantrr 431	. . . . . . 7 |- (((B e. C /\ AFneB) /\ (y e. A /\ P e. y)) -> (B e. C /\ AFneB /\ y e. A))
4		simprr 451	. . . . . . 7 |- (((B e. C /\ AFneB) /\ (y e. A /\ P e. y)) -> P e. y)
5		fnessex 15484	. . . . . . 7 |- (((B e. C /\ AFneB /\ y e. A) /\ P e. y) -> E.z e. B (P e. z /\ z C_ y))
6	3, 4, 5	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (((B e. C /\ AFneB) /\ (y e. A /\ P e. y)) -> E.z e. B (P e. z /\ z C_ y))
7		sstr 2625	. . . . . . . . 9 |- ((|^|{x e. B | P e. x} C_ z /\ z C_ y) -> |^|{x e. B | P e. x} C_ y)
8		eleq2 1958	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> (P e. x <-> P e. z))
9	8	elrab 2414	. . . . . . . . . 10 |- (z e. {x e. B | P e. x} <-> (z e. B /\ P e. z))
10		intss1 3231	. . . . . . . . . 10 |- (z e. {x e. B | P e. x} -> |^|{x e. B | P e. x} C_ z)
11	9, 10	sylbir 218	. . . . . . . . 9 |- ((z e. B /\ P e. z) -> |^|{x e. B | P e. x} C_ z)
12	7, 11	sylan 497	. . . . . . . 8 |- (((z e. B /\ P e. z) /\ z C_ y) -> |^|{x e. B | P e. x} C_ y)
13	12	expl 420	. . . . . . 7 |- (z e. B -> ((P e. z /\ z C_ y) -> |^|{x e. B | P e. x} C_ y))
14	13	r19.23aiv 2211	. . . . . 6 |- (E.z e. B (P e. z /\ z C_ y) -> |^|{x e. B | P e. x} C_ y)
15	6, 14	syl 12	. . . . 5 |- (((B e. C /\ AFneB) /\ (y e. A /\ P e. y)) -> |^|{x e. B | P e. x} C_ y)
16	15	ex 402	. . . 4 |- ((B e. C /\ AFneB) -> ((y e. A /\ P e. y) -> |^|{x e. B | P e. x} C_ y))
17		eleq2 1958	. . . . 5 |- (x = y -> (P e. x <-> P e. y))
18	17	elrab 2414	. . . 4 |- (y e. {x e. A | P e. x} <-> (y e. A /\ P e. y))
19	16, 18	syl5ib 223	. . 3 |- ((B e. C /\ AFneB) -> (y e. {x e. A | P e. x} -> |^|{x e. B | P e. x} C_ y))
20	19	r19.21aiv 2175	. 2 |- ((B e. C /\ AFneB) -> A.y e. {x e. A | P e. x}|^|{x e. B | P e. x} C_ y)
21		ssint 3232	. 2 |- (|^|{x e. B | P e. x} C_ |^|{x e. A | P e. x} <-> A.y e. {x e. A | P e. x}|^|{x e. B | P e. x} C_ y)
22	20, 21	sylibr 217	1 |- ((B e. C /\ AFneB) -> |^|{x e. B | P e. x} C_ |^|{x e. A | P e. x})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   C_ wss 2593  |^|cint 3214   class class class wbr 3338  Fnecfne 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-fne 15463

Copyright terms: Public domain