Theorem fneerdm 15498

Description: The domain of the fineness equivalence relation is the universal class.

Hypothesis

Ref	Expression
fneerdm.1	|- R = (Fne i^i `'Fne)

Assertion

Ref	Expression
fneerdm	|- dom R = _V

Proof of Theorem fneerdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 2636	. 2 |- dom R C_ _V
2		breq2 3342	. . . . . 6 |- (y = x -> (xRy <-> xRx))
3		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
4		fneref 15493	. . . . . . . . 9 |- (x e. _V -> xFnex)
5	3, 4	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- xFnex
6		anidm 478	. . . . . . . 8 |- ((xFnex /\ xFnex) <-> xFnex)
7	5, 6	mpbir 207	. . . . . . 7 |- (xFnex /\ xFnex)
8		fneerdm.1	. . . . . . . . 9 |- R = (Fne i^i `'Fne)
9	8	breqi 3344	. . . . . . . 8 |- (xRx <-> x(Fne i^i `'Fne)x)
10		brin 3388	. . . . . . . 8 |- (x(Fne i^i `'Fne)x <-> (xFnex /\ x`'Fnex))
11	3, 3	brcnv 4144	. . . . . . . . 9 |- (x`'Fnex <-> xFnex)
12	11	anbi2i 538	. . . . . . . 8 |- ((xFnex /\ x`'Fnex) <-> (xFnex /\ xFnex))
13	9, 10, 12	3bitrri 195	. . . . . . 7 |- ((xFnex /\ xFnex) <-> xRx)
14	7, 13	mpbi 206	. . . . . 6 |- xRx
15	2, 14	a4eiv 1651	. . . . 5 |- E.y xRy
16	3	eldm 4153	. . . . 5 |- (x e. dom R <-> E.y xRy)
17	15, 16	mpbir 207	. . . 4 |- x e. dom R
18	17	a1i 8	. . 3 |- (x e. _V -> x e. dom R)
19	18	ssriv 2621	. 2 |- _V C_ dom R
20	1, 19	eqssi 2632	1 |- dom R = _V

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   class class class wbr 3338  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  Fnecfne 15457

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-fne 15463

Copyright terms: Public domain