Theorem fmuldfeqlem1 29688

Description: induction step for the proof of fmuldfeq 29689. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmuldfeqlem1.1	|- F/ f ph
fmuldfeqlem1.2	|- F/ g ph
fmuldfeqlem1.3	|- F/_ t Y
fmuldfeqlem1.5	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
fmuldfeqlem1.6	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
fmuldfeqlem1.7	|- ( ph -> T e. _V )
fmuldfeqlem1.8	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeqlem1.9	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
fmuldfeqlem1.10	|- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.11	|- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.12	|- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
fmuldfeqlem1.13	|- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
fmuldfeqlem1	|- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   f, N, t   U, f, t   f, Y, g   t, i, U   i, M

Allowed substitution hints:   ph( t, f, g, i)   P( t, f, g, i)   T( i)   U( g)   F( t, f, g, i)   M( t, f, g)   N( g, i)   Y( t, i)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1

Dummy variables h l j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6115	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... M ) e. _V
2	1	mptex 5945	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V
3		fmuldfeqlem1.6	. . . . . . . 8 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 5778	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
5	2, 4	mpan2 666	. . . . . 6 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
6		fveq2 5688	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( U ` i ) = ( U ` j ) )
7	6	fveq1d 5690	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( U ` i ) ` t ) = ( ( U ` j ) ` t ) )
8	7	cbvmptv 4380	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) )
9	5, 8	syl6eq 2489	. . . . 5 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
10	9	adantl 463	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
11		fveq2 5688	. . . . . 6 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( U ` j ) = ( U ` ( N + 1 ) ) )
12	11	fveq1d 5690	. . . . 5 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
13	12	adantl 463	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ j = ( N + 1 ) ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
14		fmuldfeqlem1.11	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
15	14	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
16		fmuldfeqlem1.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
17	16, 14	ffvelrnd 5841	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
18	17	ancli 548	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
19		nfcv 2577	. . . . . . 7 |- F/_ f ( U ` ( N + 1 ) )
20		fmuldfeqlem1.1	. . . . . . . . 9 |- F/ f ph
21		nfv 1678	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y
22	20, 21	nfan 1865	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
23		nfv 1678	. . . . . . . 8 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR
24	22, 23	nfim 1857	. . . . . . 7 |- F/ f ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
25		eleq1 2501	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f e. Y <-> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
26	25	anbi2d 698	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) ) )
27		feq1 5539	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
28	26, 27	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) ) )
29		fmuldfeqlem1.13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
30	19, 24, 28, 29	vtoclgf 3025	. . . . . 6 |- ( ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y -> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
31	17, 18, 30	sylc 60	. . . . 5 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
32	31	fnvinran 29661	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) e. RR )
33	10, 13, 15, 32	fvmptd 5776	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
34	33	oveq2d 6106	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
35		fmuldfeqlem1.10	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
36		elfzuz 11445	. . . . 5 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37	35, 36	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38		seqp1 11817	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
39	37, 38	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
40	39	adantr 462	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
41		seqp1 11817	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
42	37, 41	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
43		fmuldfeqlem1.5	. . . . . . . . . 10 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
44		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
45		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ l ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
46		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
47		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
48		fveq1 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( f ` t ) = ( h ` t ) )
49		fveq1 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = l -> ( g ` t ) = ( l ` t ) )
50	48, 49	oveqan12d 6109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
51	50	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
52	44, 45, 46, 47, 51	cbvmpt2 6164	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) ) = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
53	43, 52	eqtri 2461	. . . . . . . . 9 |- P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) ) )
55		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t 1
56		fmuldfeqlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t Y
57		nfmpt1 4378	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
58	56, 56, 57	nfmpt2 6154	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
59	43, 58	nfcxfr 2574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t P
60		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t U
61	55, 59, 60	nfseq 11812	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t seq 1 ( P , U )
62		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t N
63	61, 62	nffv 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t ( seq 1 ( P , U ) ` N )
64	63	nfeq2 2588	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t h = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
65		nfv 1678	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t l = ( U ` ( N + 1 ) )
66	64, 65	nfan 1865	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) )
67		fveq1 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
68	67	ad2antrr 720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
69		fveq1 5687	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
70	69	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
71	68, 70	oveq12d 6108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
72	66, 71	mpteq2da 4374	. . . . . . . . 9 |- ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
73	72	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
74		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( P , U ) ` N ) = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
75		3simpc 982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( h e. Y /\ l e. Y ) )
76		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f h
77		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g h
78		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g l
79		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ f h e. Y
80		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ f g e. Y
81	20, 79, 80	nf3an 1867	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y )
82		nfv 1678	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y
83	81, 82	nfim 1857	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
84		fmuldfeqlem1.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g ph
85		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g h e. Y
86		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g l e. Y
87	84, 85, 86	nf3an 1867	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ g ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y )
88		nfv 1678	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y
89	87, 88	nfim 1857	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
90		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( f e. Y <-> h e. Y ) )
91	90	3anbi2d 1289	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) ) )
92	48	oveq1d 6105	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) )
93	92	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
94	93	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) )
95	91, 94	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) ) )
96		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = l -> ( g e. Y <-> l e. Y ) )
97	96	3anbi3d 1290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = l -> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) ) )
98	49	oveq2d 6106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = l -> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
99	98	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = l -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
100	99	eleq1d 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = l -> ( ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
101	97, 100	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = l -> ( ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) ) )
102		fmuldfeqlem1.9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
103	76, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102	vtocl2gf 3029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. Y /\ l e. Y ) -> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
104	75, 103	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
105		fmuldfeqlem1.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. _V )
106	53, 74, 35, 16, 104, 105	fmulcl 29687	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
107		mptexg 5944	. . . . . . . . 9 |- ( T e. _V -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
108	105, 107	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
109	54, 73, 106, 17, 108	ovmpt2d 6217	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
110	42, 109	eqtrd 2473	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
111	110	fveq1d 5690	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) )
112	111	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) )
113		simpr 458	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
114	106	ancli 548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
115		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f 1
116		nfmpt21 6152	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
117	43, 116	nfcxfr 2574	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f P
118		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f U
119	115, 117, 118	nfseq 11812	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f seq 1 ( P , U )
120		nfcv 2577	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f N
121	119, 120	nffv 5695	. . . . . . . . 9 |- F/_ f ( seq 1 ( P , U ) ` N )
122	121	nfel1 2587	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y
123	20, 122	nfan 1865	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
124		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f T
125		nfcv 2577	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f RR
126	121, 124, 125	nff 5552	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR
127	123, 126	nfim 1857	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
128		eleq1 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f e. Y <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
129	128	anbi2d 698	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) ) )
130		feq1 5539	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f : T --> RR <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
131	129, 130	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) ) )
132	121, 127, 131, 29	vtoclgf 3025	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y -> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
133	106, 114, 132	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
134	133	fnvinran 29661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) e. RR )
135	134, 32	remulcld 9410	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) e. RR )
136		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
137	136	fvmpt2 5778	. . . . 5 |- ( ( t e. T /\ ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
138	113, 135, 137	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
139	112, 138	eqtrd 2473	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
140		fmuldfeqlem1.12	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
141	140	oveq1d 6105	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
142	141	adantr 462	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
143	139, 142	eqtrd 2473	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
144	34, 40, 143	3eqtr4rd 2484	1 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   F/wnf 1594   e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   _Vcvv 2970   e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   RRcr 9277   1c1 9279   + caddc 9281   x. cmul 9283   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   seqcseq 11802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803

This theorem is referenced by:  fmuldfeq  29689