Theorem fmuldfeqlem1 31160

Description: induction step for the proof of fmuldfeq 31161. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmuldfeqlem1.1	|- F/ f ph
fmuldfeqlem1.2	|- F/ g ph
fmuldfeqlem1.3	|- F/_ t Y
fmuldfeqlem1.5	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
fmuldfeqlem1.6	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
fmuldfeqlem1.7	|- ( ph -> T e. _V )
fmuldfeqlem1.8	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeqlem1.9	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
fmuldfeqlem1.10	|- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.11	|- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.12	|- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
fmuldfeqlem1.13	|- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
fmuldfeqlem1	|- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   f, N, t   U, f, t   f, Y, g   t, i, U   i, M

Allowed substitution hints:   ph( t, f, g, i)   P( t, f, g, i)   T( i)   U( g)   F( t, f, g, i)   M( t, f, g)   N( g, i)   Y( t, i)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1

Dummy variables h l j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6309	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... M ) e. _V
2	1	mptex 6131	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V
3		fmuldfeqlem1.6	. . . . . . . 8 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 5957	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
5	2, 4	mpan2 671	. . . . . 6 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
6		fveq2 5866	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( U ` i ) = ( U ` j ) )
7	6	fveq1d 5868	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( U ` i ) ` t ) = ( ( U ` j ) ` t ) )
8	7	cbvmptv 4538	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) )
9	5, 8	syl6eq 2524	. . . . 5 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
10	9	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
11		fveq2 5866	. . . . . 6 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( U ` j ) = ( U ` ( N + 1 ) ) )
12	11	fveq1d 5868	. . . . 5 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
13	12	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ j = ( N + 1 ) ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
14		fmuldfeqlem1.11	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
15	14	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
16		fmuldfeqlem1.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
17	16, 14	ffvelrnd 6022	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
18	17	ancli 551	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
19		nfcv 2629	. . . . . . 7 |- F/_ f ( U ` ( N + 1 ) )
20		fmuldfeqlem1.1	. . . . . . . . 9 |- F/ f ph
21		nfv 1683	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y
22	20, 21	nfan 1875	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
23		nfv 1683	. . . . . . . 8 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR
24	22, 23	nfim 1867	. . . . . . 7 |- F/ f ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
25		eleq1 2539	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f e. Y <-> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
26	25	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) ) )
27		feq1 5713	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
28	26, 27	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) ) )
29		fmuldfeqlem1.13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
30	19, 24, 28, 29	vtoclgf 3169	. . . . . 6 |- ( ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y -> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
31	17, 18, 30	sylc 60	. . . . 5 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
32	31	fnvinran 30995	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) e. RR )
33	10, 13, 15, 32	fvmptd 5955	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
34	33	oveq2d 6300	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
35		fmuldfeqlem1.10	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
36		elfzuz 11684	. . . . 5 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37	35, 36	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38		seqp1 12090	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
39	37, 38	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
40	39	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
41		seqp1 12090	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
42	37, 41	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
43		fmuldfeqlem1.5	. . . . . . . . . 10 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
44		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
45		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ l ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
46		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
47		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
48		fveq1 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( f ` t ) = ( h ` t ) )
49		fveq1 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = l -> ( g ` t ) = ( l ` t ) )
50	48, 49	oveqan12d 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
51	50	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
52	44, 45, 46, 47, 51	cbvmpt2 6360	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) ) = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
53	43, 52	eqtri 2496	. . . . . . . . 9 |- P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) ) )
55		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t 1
56		fmuldfeqlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t Y
57		nfmpt1 4536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
58	56, 56, 57	nfmpt2 6350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
59	43, 58	nfcxfr 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t P
60		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t U
61	55, 59, 60	nfseq 12085	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t seq 1 ( P , U )
62		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t N
63	61, 62	nffv 5873	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t ( seq 1 ( P , U ) ` N )
64	63	nfeq2 2646	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t h = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
65		nfv 1683	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t l = ( U ` ( N + 1 ) )
66	64, 65	nfan 1875	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) )
67		fveq1 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
68	67	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
69		fveq1 5865	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
70	69	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
71	68, 70	oveq12d 6302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
72	66, 71	mpteq2da 4532	. . . . . . . . 9 |- ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
73	72	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
74		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( P , U ) ` N ) = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
75		3simpc 995	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( h e. Y /\ l e. Y ) )
76		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f h
77		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g h
78		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g l
79		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ f h e. Y
80		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ f g e. Y
81	20, 79, 80	nf3an 1877	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y )
82		nfv 1683	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y
83	81, 82	nfim 1867	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
84		fmuldfeqlem1.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g ph
85		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g h e. Y
86		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g l e. Y
87	84, 85, 86	nf3an 1877	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ g ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y )
88		nfv 1683	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y
89	87, 88	nfim 1867	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
90		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( f e. Y <-> h e. Y ) )
91	90	3anbi2d 1304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) ) )
92	48	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) )
93	92	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
94	93	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) )
95	91, 94	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) ) )
96		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = l -> ( g e. Y <-> l e. Y ) )
97	96	3anbi3d 1305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = l -> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) ) )
98	49	oveq2d 6300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = l -> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
99	98	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = l -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
100	99	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = l -> ( ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
101	97, 100	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = l -> ( ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) ) )
102		fmuldfeqlem1.9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
103	76, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102	vtocl2gf 3173	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. Y /\ l e. Y ) -> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
104	75, 103	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
105		fmuldfeqlem1.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. _V )
106	53, 74, 35, 16, 104, 105	fmulcl 31159	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
107		mptexg 6130	. . . . . . . . 9 |- ( T e. _V -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
108	105, 107	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
109	54, 73, 106, 17, 108	ovmpt2d 6414	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
110	42, 109	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
111	110	fveq1d 5868	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) )
112	111	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) )
113		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
114	106	ancli 551	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
115		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f 1
116		nfmpt21 6348	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
117	43, 116	nfcxfr 2627	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f P
118		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f U
119	115, 117, 118	nfseq 12085	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f seq 1 ( P , U )
120		nfcv 2629	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f N
121	119, 120	nffv 5873	. . . . . . . . 9 |- F/_ f ( seq 1 ( P , U ) ` N )
122	121	nfel1 2645	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y
123	20, 122	nfan 1875	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
124		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f T
125		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f RR
126	121, 124, 125	nff 5727	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR
127	123, 126	nfim 1867	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
128		eleq1 2539	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f e. Y <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
129	128	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) ) )
130		feq1 5713	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f : T --> RR <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
131	129, 130	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) ) )
132	121, 127, 131, 29	vtoclgf 3169	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y -> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
133	106, 114, 132	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
134	133	fnvinran 30995	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) e. RR )
135	134, 32	remulcld 9624	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) e. RR )
136		eqid 2467	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
137	136	fvmpt2 5957	. . . . 5 |- ( ( t e. T /\ ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
138	113, 135, 137	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
139	112, 138	eqtrd 2508	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
140		fmuldfeqlem1.12	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
141	140	oveq1d 6299	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
142	141	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
143	139, 142	eqtrd 2508	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
144	34, 40, 143	3eqtr4rd 2519	1 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   _Vcvv 3113   |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   |-> cmpt2 6286   RRcr 9491   1c1 9493   + caddc 9495   x. cmul 9497   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11672   seqcseq 12075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076

This theorem is referenced by:  fmuldfeq  31161