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Theorem fmuldfeqlem1 29688
Description: induction step for the proof of fmuldfeq 29689. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeqlem1.1  |-  F/ f
ph
fmuldfeqlem1.2  |-  F/ g
ph
fmuldfeqlem1.3  |-  F/_ t Y
fmuldfeqlem1.5  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmuldfeqlem1.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
fmuldfeqlem1.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
fmuldfeqlem1.8  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeqlem1.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
fmuldfeqlem1.10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.12  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N ) )
fmuldfeqlem1.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
fmuldfeqlem1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1
) ) `  t
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    f, N, t    U, f, t    f, Y, g    t, i, U   
i, M
Allowed substitution hints:    ph( t, f, g, i)    P( t, f, g, i)    T( i)    U( g)    F( t, f, g, i)    M( t, f, g)    N( g, i)    Y( t, i)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1
Dummy variables  h  l  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6115 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
21mptex 5945 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  e.  _V
3 fmuldfeqlem1.6 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
43fvmpt2 5778 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
52, 4mpan2 666 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
6 fveq2 5688 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( U `  i )  =  ( U `  j ) )
76fveq1d 5690 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
87cbvmptv 4380 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) )
95, 8syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) ) )
109adantl 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) ) )
11 fveq2 5688 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( U `  j )  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )
1211fveq1d 5690 . . . . 5  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( U `  j
) `  t )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
1312adantl 463 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  j  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  =  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) )
14 fmuldfeqlem1.11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
1514adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
16 fmuldfeqlem1.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
1716, 14ffvelrnd 5841 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )
1817ancli 548 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y ) )
19 nfcv 2577 . . . . . . 7  |-  F/_ f
( U `  ( N  +  1 ) )
20 fmuldfeqlem1.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ f
ph
21 nfv 1678 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y
2220, 21nfan 1865 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )
23 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR
2422, 23nfim 1857 . . . . . . 7  |-  F/ f ( ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR )
25 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y
) )
2625anbi2d 698 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y ) ) )
27 feq1 5539 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) )
2826, 27imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) ) )
29 fmuldfeqlem1.13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
3019, 24, 28, 29vtoclgf 3025 . . . . . 6  |-  ( ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) )
3117, 18, 30sylc 60 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR )
3231fnvinran 29661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t )  e.  RR )
3310, 13, 15, 32fvmptd 5776 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
3433oveq2d 6106 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
35 fmuldfeqlem1.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
36 elfzuz 11445 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3735, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
38 seqp1 11817 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
3937, 38syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  ( ( F `
 t ) `  ( N  +  1
) ) ) )
4039adantr 462 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
41 seqp1 11817 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) P ( U `  ( N  +  1 ) ) ) )
4237, 41syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) P ( U `  ( N  +  1
) ) ) )
43 fmuldfeqlem1.5 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
44 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
45 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ l
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
46 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )
47 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )
48 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  t )  =  ( h `  t ) )
49 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  l  ->  (
g `  t )  =  ( l `  t ) )
5048, 49oveqan12d 6109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )
5150mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
5244, 45, 46, 47, 51cbvmpt2 6164 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
5343, 52eqtri 2461 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) ) )
5453a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) ) )
55 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
1
56 fmuldfeqlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t Y
57 nfmpt1 4378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
5856, 56, 57nfmpt2 6154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ t
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
5943, 58nfcxfr 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t P
60 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t U
6155, 59, 60nfseq 11812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t  seq 1 ( P ,  U )
62 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t N
6361, 62nffv 5695 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
(  seq 1 ( P ,  U ) `  N )
6463nfeq2 2588 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)
65 nfv 1678 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ t  l  =  ( U `
 ( N  + 
1 ) )
6664, 65nfan 1865 . . . . . . . . . 10  |-  F/ t ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )
67 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( h  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( h `  t
)  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
) )
6867ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( h `  t
)  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
) )
69 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( l  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
l `  t )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
7069ad2antlr 721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( l `  t
)  =  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) )
7168, 70oveq12d 6108 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
)  =  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
7266, 71mpteq2da 4374 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  x.  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
7372adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( h  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
74 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)
75 3simpc 982 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )
76 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
h
77 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
h
78 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
l
79 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f  h  e.  Y
80 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ f  g  e.  Y
8120, 79, 80nf3an 1867 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
82 nfv 1678 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ f ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
8381, 82nfim 1857 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)
84 fmuldfeqlem1.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g
ph
85 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  h  e.  Y
86 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ g  l  e.  Y
8784, 85, 86nf3an 1867 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
88 nfv 1678 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ g ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
8987, 88nfim 1857 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
)
90 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
f  e.  Y  <->  h  e.  Y ) )
91903anbi2d 1289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
) )
9248oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
9392mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )
9493eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  Y ) )
9591, 94imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
) ) )
96 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  l  ->  (
g  e.  Y  <->  l  e.  Y ) )
97963anbi3d 1290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  l  ->  (
( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
) )
9849oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  l  ->  (
( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
9998mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  l  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
10099eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  l  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  Y ) )
10197, 100imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  l  ->  (
( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) ) )
102 fmuldfeqlem1.9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
10376, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102vtocl2gf 3029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) )
10475, 103mpcom 36 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  Y )
105 fmuldfeqlem1.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
10653, 74, 35, 16, 104, 105fmulcl 29687 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )
107 mptexg 5944 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  _V  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  _V )
108105, 107syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )  e. 
_V )
10954, 73, 106, 17, 108ovmpt2d 6217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) P ( U `  ( N  +  1
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) )
11042, 109eqtrd 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) )
111110fveq1d 5690 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  ( N  +  1 ) ) `
 t )  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  x.  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) ) ) `  t ) )
112111adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1
) ) `  t
)  =  ( ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
) )
113 simpr 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
114106ancli 548 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y ) )
115 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
1
116 nfmpt21 6152 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
11743, 116nfcxfr 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f P
118 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f U
119115, 117, 118nfseq 11812 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f  seq 1 ( P ,  U )
120 nfcv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f N
121119, 120nffv 5695 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f
(  seq 1 ( P ,  U ) `  N )
122121nfel1 2587 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y
12320, 122nfan 1865 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y )
124 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f T
125 nfcv 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f RR
126121, 124, 125nff 5552 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR
127123, 126nfim 1857 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
)  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR )
128 eleq1 2501 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( f  e.  Y  <->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
) )
129128anbi2d 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( ( ph  /\  f  e.  Y )  <->  (
ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y ) ) )
130 feq1 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( f : T --> RR 
<->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR ) )
131129, 130imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <->  ( ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR ) ) )
132121, 127, 131, 29vtoclgf 3025 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y  ->  ( ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
)  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR ) )
133106, 114, 132sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR )
134133fnvinran 29661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  e.  RR )
135134, 32remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) )  e.  RR )
136 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
137136fvmpt2 5778 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) )  e.  RR )  ->  ( ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) ) `  t
)  =  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
138113, 135, 137syl2anc 656 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) `  t )  =  ( ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
139112, 138eqtrd 2473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1
) ) `  t
)  =  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
140 fmuldfeqlem1.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N ) )
141140oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
142141adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
143139, 142eqtrd 2473 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1
) ) `  t
)  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
14434, 40, 1433eqtr4rd 2484 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1
) ) `  t
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364   F/wnf 1594    e. wcel 1761   F/_wnfc 2564   _Vcvv 2970    e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092   RRcr 9277   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433    seqcseq 11802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-seq 11803
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