Theorem fmuldfeqlem1 29763

Description: induction step for the proof of fmuldfeq 29764. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmuldfeqlem1.1	|- F/ f ph
fmuldfeqlem1.2	|- F/ g ph
fmuldfeqlem1.3	|- F/_ t Y
fmuldfeqlem1.5	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
fmuldfeqlem1.6	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
fmuldfeqlem1.7	|- ( ph -> T e. _V )
fmuldfeqlem1.8	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeqlem1.9	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
fmuldfeqlem1.10	|- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.11	|- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.12	|- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
fmuldfeqlem1.13	|- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
fmuldfeqlem1	|- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   f, N, t   U, f, t   f, Y, g   t, i, U   i, M

Allowed substitution hints:   ph( t, f, g, i)   P( t, f, g, i)   T( i)   U( g)   F( t, f, g, i)   M( t, f, g)   N( g, i)   Y( t, i)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1

Dummy variables h l j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6116	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... M ) e. _V
2	1	mptex 5948	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V
3		fmuldfeqlem1.6	. . . . . . . 8 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 5781	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
5	2, 4	mpan2 671	. . . . . 6 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
6		fveq2 5691	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( U ` i ) = ( U ` j ) )
7	6	fveq1d 5693	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( U ` i ) ` t ) = ( ( U ` j ) ` t ) )
8	7	cbvmptv 4383	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) )
9	5, 8	syl6eq 2491	. . . . 5 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
10	9	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
11		fveq2 5691	. . . . . 6 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( U ` j ) = ( U ` ( N + 1 ) ) )
12	11	fveq1d 5693	. . . . 5 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
13	12	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ j = ( N + 1 ) ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
14		fmuldfeqlem1.11	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
15	14	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
16		fmuldfeqlem1.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
17	16, 14	ffvelrnd 5844	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
18	17	ancli 551	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
19		nfcv 2579	. . . . . . 7 |- F/_ f ( U ` ( N + 1 ) )
20		fmuldfeqlem1.1	. . . . . . . . 9 |- F/ f ph
21		nfv 1673	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y
22	20, 21	nfan 1861	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
23		nfv 1673	. . . . . . . 8 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR
24	22, 23	nfim 1853	. . . . . . 7 |- F/ f ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
25		eleq1 2503	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f e. Y <-> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
26	25	anbi2d 703	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) ) )
27		feq1 5542	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
28	26, 27	imbi12d 320	. . . . . . 7 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) ) )
29		fmuldfeqlem1.13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
30	19, 24, 28, 29	vtoclgf 3028	. . . . . 6 |- ( ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y -> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
31	17, 18, 30	sylc 60	. . . . 5 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
32	31	fnvinran 29736	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) e. RR )
33	10, 13, 15, 32	fvmptd 5779	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
34	33	oveq2d 6107	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
35		fmuldfeqlem1.10	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
36		elfzuz 11449	. . . . 5 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37	35, 36	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38		seqp1 11821	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
39	37, 38	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
40	39	adantr 465	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
41		seqp1 11821	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
42	37, 41	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
43		fmuldfeqlem1.5	. . . . . . . . . 10 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
44		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ h ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
45		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ l ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
46		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
47		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
48		fveq1 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( f ` t ) = ( h ` t ) )
49		fveq1 5690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = l -> ( g ` t ) = ( l ` t ) )
50	48, 49	oveqan12d 6110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
51	50	mpteq2dv 4379	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
52	44, 45, 46, 47, 51	cbvmpt2 6165	. . . . . . . . . 10 |- ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) ) = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
53	43, 52	eqtri 2463	. . . . . . . . 9 |- P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
54	53	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) ) )
55		nfcv 2579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t 1
56		fmuldfeqlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t Y
57		nfmpt1 4381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
58	56, 56, 57	nfmpt2 6155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ t ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
59	43, 58	nfcxfr 2576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t P
60		nfcv 2579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t U
61	55, 59, 60	nfseq 11816	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t seq 1 ( P , U )
62		nfcv 2579	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t N
63	61, 62	nffv 5698	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t ( seq 1 ( P , U ) ` N )
64	63	nfeq2 2590	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t h = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
65		nfv 1673	. . . . . . . . . . 11 |- F/ t l = ( U ` ( N + 1 ) )
66	64, 65	nfan 1861	. . . . . . . . . 10 |- F/ t ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) )
67		fveq1 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
68	67	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
69		fveq1 5690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( l = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
70	69	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
71	68, 70	oveq12d 6109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
72	66, 71	mpteq2da 4377	. . . . . . . . 9 |- ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
73	72	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
74		eqid 2443	. . . . . . . . 9 |- ( seq 1 ( P , U ) ` N ) = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
75		3simpc 987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( h e. Y /\ l e. Y ) )
76		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f h
77		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g h
78		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ g l
79		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ f h e. Y
80		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ f g e. Y
81	20, 79, 80	nf3an 1863	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y )
82		nfv 1673	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y
83	81, 82	nfim 1853	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
84		fmuldfeqlem1.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g ph
85		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g h e. Y
86		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ g l e. Y
87	84, 85, 86	nf3an 1863	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ g ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y )
88		nfv 1673	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y
89	87, 88	nfim 1853	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
90		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( f e. Y <-> h e. Y ) )
91	90	3anbi2d 1294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) ) )
92	48	oveq1d 6106	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) )
93	92	mpteq2dv 4379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
94	93	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) )
95	91, 94	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) ) )
96		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = l -> ( g e. Y <-> l e. Y ) )
97	96	3anbi3d 1295	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = l -> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) ) )
98	49	oveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g = l -> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
99	98	mpteq2dv 4379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( g = l -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
100	99	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = l -> ( ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
101	97, 100	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = l -> ( ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) ) )
102		fmuldfeqlem1.9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
103	76, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102	vtocl2gf 3032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( h e. Y /\ l e. Y ) -> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
104	75, 103	mpcom 36	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
105		fmuldfeqlem1.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> T e. _V )
106	53, 74, 35, 16, 104, 105	fmulcl 29762	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
107		mptexg 5947	. . . . . . . . 9 |- ( T e. _V -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
108	105, 107	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
109	54, 73, 106, 17, 108	ovmpt2d 6218	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
110	42, 109	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
111	110	fveq1d 5693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) )
112	111	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) )
113		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> t e. T )
114	106	ancli 551	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
115		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f 1
116		nfmpt21 6153	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ f ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
117	43, 116	nfcxfr 2576	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f P
118		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f U
119	115, 117, 118	nfseq 11816	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f seq 1 ( P , U )
120		nfcv 2579	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f N
121	119, 120	nffv 5698	. . . . . . . . 9 |- F/_ f ( seq 1 ( P , U ) ` N )
122	121	nfel1 2589	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y
123	20, 122	nfan 1861	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
124		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f T
125		nfcv 2579	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f RR
126	121, 124, 125	nff 5555	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR
127	123, 126	nfim 1853	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
128		eleq1 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f e. Y <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
129	128	anbi2d 703	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) ) )
130		feq1 5542	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f : T --> RR <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
131	129, 130	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) ) )
132	121, 127, 131, 29	vtoclgf 3028	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y -> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
133	106, 114, 132	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
134	133	fnvinran 29736	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) e. RR )
135	134, 32	remulcld 9414	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) e. RR )
136		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
137	136	fvmpt2 5781	. . . . 5 |- ( ( t e. T /\ ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) e. RR ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
138	113, 135, 137	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
139	112, 138	eqtrd 2475	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
140		fmuldfeqlem1.12	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
141	140	oveq1d 6106	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
142	141	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
143	139, 142	eqtrd 2475	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
144	34, 40, 143	3eqtr4rd 2486	1 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   F/wnf 1589   e. wcel 1756   F/_wnfc 2566   _Vcvv 2972   e. cmpt 4350   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   e. cmpt2 6093   RRcr 9281   1c1 9283   + caddc 9285   x. cmul 9287   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437   seqcseq 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807

This theorem is referenced by:  fmuldfeq  29764