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Theorem fmuldfeqlem1 37757
Description: induction step for the proof of fmuldfeq 37758. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeqlem1.1  |-  F/ f
ph
fmuldfeqlem1.2  |-  F/ g
ph
fmuldfeqlem1.3  |-  F/_ t Y
fmuldfeqlem1.5  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmuldfeqlem1.6  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
fmuldfeqlem1.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
fmuldfeqlem1.8  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeqlem1.9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
fmuldfeqlem1.10  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.12  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N ) )
fmuldfeqlem1.13  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
Assertion
Ref Expression
fmuldfeqlem1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1
) ) `  t
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) ) )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    f, N, t    U, f, t    f, Y, g    t, i, U   
i, M
Allowed substitution hints:    ph( t, f, g, i)    P( t, f, g, i)    T( i)    U( g)    F( t, f, g, i)    M( t, f, g)    N( g, i)    Y( t, i)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1
Dummy variables  h  l  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6336 . . . . . . . 8  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
21mptex 6152 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  e.  _V
3 fmuldfeqlem1.6 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
43fvmpt2 5972 . . . . . . 7  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
52, 4mpan2 685 . . . . . 6  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
6 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  ( U `  i )  =  ( U `  j ) )
76fveq1d 5881 . . . . . . 7  |-  ( i  =  j  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 j ) `  t ) )
87cbvmptv 4488 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) )
95, 8syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) ) )
109adantl 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( F `  t )  =  ( j  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 j ) `  t ) ) )
11 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  ( U `  j )  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )
1211fveq1d 5881 . . . . 5  |-  ( j  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( U `  j
) `  t )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
1312adantl 473 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  j  =  ( N  + 
1 ) )  -> 
( ( U `  j ) `  t
)  =  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) )
14 fmuldfeqlem1.11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
1514adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
16 fmuldfeqlem1.8 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
1716, 14ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )
1817ancli 560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y ) )
19 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ f
( U `  ( N  +  1 ) )
20 fmuldfeqlem1.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ f
ph
21 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y
2220, 21nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )
23 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR
2422, 23nfim 2023 . . . . . . 7  |-  F/ f ( ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR )
25 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y
) )
2625anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y ) ) )
27 feq1 5720 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) )
2826, 27imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) ) )
29 fmuldfeqlem1.13 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
3019, 24, 28, 29vtoclgf 3091 . . . . . 6  |-  ( ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  ( N  +  1 ) )  e.  Y )  -> 
( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR ) )
3117, 18, 30sylc 61 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U `  ( N  +  1 ) ) : T --> RR )
3231fnvinran 37398 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t )  e.  RR )
3310, 13, 15, 32fvmptd 5969 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
3433oveq2d 6324 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
35 fmuldfeqlem1.10 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
36 elfzuz 11822 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3735, 36syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
38 seqp1 12266 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
3937, 38syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  ( ( F `
 t ) `  ( N  +  1
) ) ) )
4039adantr 472 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( F `  t
) `  ( N  +  1 ) ) ) )
41 seqp1 12266 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1 ) )  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) P ( U `  ( N  +  1 ) ) ) )
4237, 41syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) P ( U `  ( N  +  1
) ) ) )
43 fmuldfeqlem1.5 . . . . . . . 8  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
44 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ h
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
45 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ l
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
46 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )
47 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ g
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )
48 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  t )  =  ( h `  t ) )
49 fveq1 5878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  l  ->  (
g `  t )  =  ( l `  t ) )
5048, 49oveqan12d 6327 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )
5150mpteq2dv 4483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
5244, 45, 46, 47, 51cbvmpt2 6389 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
5343, 52eqtri 2493 . . . . . . 7  |-  P  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) ) )
5453a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  =  ( h  e.  Y ,  l  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) ) )
55 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t
1
56 fmuldfeqlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t Y
57 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ t
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )
5856, 56, 57nfmpt2 6379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ t
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
5943, 58nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t P
60 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ t U
6155, 59, 60nfseq 12261 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t  seq 1 ( P ,  U )
62 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ t N
6361, 62nffv 5886 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ t
(  seq 1 ( P ,  U ) `  N )
6463nfeq2 2627 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)
65 nfv 1769 . . . . . . . . 9  |-  F/ t  l  =  ( U `
 ( N  + 
1 ) )
6664, 65nfan 2031 . . . . . . . 8  |-  F/ t ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )
67 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( h `  t
)  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
) )
6867ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( h `  t
)  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
) )
69 fveq1 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( l  =  ( U `  ( N  +  1
) )  ->  (
l `  t )  =  ( ( U `
 ( N  + 
1 ) ) `  t ) )
7069ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( l `  t
)  =  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) )
7168, 70oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1
) ) )  /\  t  e.  T )  ->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
)  =  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
7266, 71mpteq2da 4481 . . . . . . 7  |-  ( ( h  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  x.  ( ( U `  ( N  +  1 ) ) `
 t ) ) ) )
7372adantl 473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  /\  l  =  ( U `  ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) ) )
74 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)
75 3simpc 1029 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )
76 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f
h
77 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ g
h
78 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ g
l
79 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f  h  e.  Y
80 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ f  g  e.  Y
8120, 79, 80nf3an 2033 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
82 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
8381, 82nfim 2023 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)
84 fmuldfeqlem1.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g
ph
85 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g  h  e.  Y
86 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ g  l  e.  Y
8784, 85, 86nf3an 2033 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
88 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
8987, 88nfim 2023 . . . . . . . . 9  |-  F/ g ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
)
90 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
f  e.  Y  <->  h  e.  Y ) )
91903anbi2d 1370 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
) )
9248oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
9392mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )
9493eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  Y ) )
9591, 94imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
) ) )
96 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  l  ->  (
g  e.  Y  <->  l  e.  Y ) )
97963anbi3d 1371 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  l  ->  (
( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
) )
9849oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  l  ->  (
( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
9998mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g  =  l  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
10099eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  l  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  Y ) )
10197, 100imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  l  ->  (
( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) ) )
102 fmuldfeqlem1.9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
10376, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102vtocl2gf 3095 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) )
10475, 103mpcom 36 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  Y )
105 fmuldfeqlem1.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
10653, 74, 35, 16, 104, 105fmulcl 37756 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )
107 mptexg 6151 . . . . . . 7  |-  ( T  e.  _V  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )  e.  _V )
108105, 107syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )  e. 
_V )
10954, 73, 106, 17, 108ovmpt2d 6443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) P ( U `  ( N  +  1
) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) )
11042, 109eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 ( N  + 
1 ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) ) )
111106ancli 560 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y ) )
112 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f
1
113 nfmpt21 6377 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
11443, 113nfcxfr 2610 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f P
115 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f U
116112, 114, 115nfseq 12261 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f  seq 1 ( P ,  U )
117 nfcv 2612 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f N
118116, 117nffv 5886 . . . . . . . 8  |-  F/_ f
(  seq 1 ( P ,  U ) `  N )
119118nfel1 2626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y
12020, 119nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y )
121 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f T
122 nfcv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ f RR
123118, 121, 122nff 5735 . . . . . . . . 9  |-  F/ f (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR
124120, 123nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
)  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR )
125 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( f  e.  Y  <->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
) )
126125anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( ( ph  /\  f  e.  Y )  <->  (
ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
)  e.  Y ) ) )
127 feq1 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( f : T --> RR 
<->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR ) )
128126, 127imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  (  seq 1
( P ,  U
) `  N )  ->  ( ( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <->  ( ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR ) ) )
129118, 124, 128, 29vtoclgf 3091 . . . . . . 7  |-  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y  ->  ( ( ph  /\  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N )  e.  Y
)  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) : T --> RR ) )
130106, 111, 129sylc 61 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) : T --> RR )
131130fnvinran 37398 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  N ) `  t
)  e.  RR )
132131, 32remulcld 9689 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) )  e.  RR )
133110, 132fvmpt2d 5974 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1
) ) `  t
)  =  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
134 fmuldfeqlem1.12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N ) )
135134oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  N
) `  t )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 N )  x.  ( ( U `  ( N  +  1
) ) `  t
) ) )
136135adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( (  seq 1
( P ,  U
) `  N ) `  t )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) )  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
137133, 136eqtrd 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1
) ) `  t
)  =  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  N )  x.  (
( U `  ( N  +  1 ) ) `  t ) ) )
13834, 40, 1373eqtr4rd 2516 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  ( N  +  1
) ) `  t
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  ( N  +  1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   _Vcvv 3031    |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810    seqcseq 12251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-seq 12252
This theorem is referenced by:  fmuldfeq  37758
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