Theorem fmuldfeqlem1 37757

Description: induction step for the proof of fmuldfeq 37758. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmuldfeqlem1.1	|- F/ f ph
fmuldfeqlem1.2	|- F/ g ph
fmuldfeqlem1.3	|- F/_ t Y
fmuldfeqlem1.5	|- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
fmuldfeqlem1.6	|- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
fmuldfeqlem1.7	|- ( ph -> T e. _V )
fmuldfeqlem1.8	|- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeqlem1.9	|- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
fmuldfeqlem1.10	|- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.11	|- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
fmuldfeqlem1.12	|- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
fmuldfeqlem1.13	|- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )

Assertion

Ref	Expression
fmuldfeqlem1	|- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Distinct variable groups:   f, g, t, T   f, N, t   U, f, t   f, Y, g   t, i, U   i, M

Allowed substitution hints:   ph( t, f, g, i)   P( t, f, g, i)   T( i)   U( g)   F( t, f, g, i)   M( t, f, g)   N( g, i)   Y( t, i)

Proof of Theorem fmuldfeqlem1

Dummy variables h l j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6336	. . . . . . . 8 |- ( 1 ... M ) e. _V
2	1	mptex 6152	. . . . . . 7 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V
3		fmuldfeqlem1.6	. . . . . . . 8 |- F = ( t e. T |-> ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
4	3	fvmpt2 5972	. . . . . . 7 |- ( ( t e. T /\ ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) e. _V ) -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
5	2, 4	mpan2 685	. . . . . 6 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) )
6		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( U ` i ) = ( U ` j ) )
7	6	fveq1d 5881	. . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( U ` i ) ` t ) = ( ( U ` j ) ` t ) )
8	7	cbvmptv 4488	. . . . . 6 |- ( i e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` i ) ` t ) ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) )
9	5, 8	syl6eq 2521	. . . . 5 |- ( t e. T -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
10	9	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( F ` t ) = ( j e. ( 1 ... M ) |-> ( ( U ` j ) ` t ) ) )
11		fveq2 5879	. . . . . 6 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( U ` j ) = ( U ` ( N + 1 ) ) )
12	11	fveq1d 5881	. . . . 5 |- ( j = ( N + 1 ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
13	12	adantl 473	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ t e. T ) /\ j = ( N + 1 ) ) -> ( ( U ` j ) ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
14		fmuldfeqlem1.11	. . . . 5 |- ( ph -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
15	14	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( N + 1 ) e. ( 1 ... M ) )
16		fmuldfeqlem1.8	. . . . . . 7 |- ( ph -> U : ( 1 ... M ) --> Y )
17	16, 14	ffvelrnd 6038	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
18	17	ancli 560	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
19		nfcv 2612	. . . . . . 7 |- F/_ f ( U ` ( N + 1 ) )
20		fmuldfeqlem1.1	. . . . . . . . 9 |- F/ f ph
21		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y
22	20, 21	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y )
23		nfv 1769	. . . . . . . 8 |- F/ f ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR
24	22, 23	nfim 2023	. . . . . . 7 |- F/ f ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
25		eleq1 2537	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f e. Y <-> ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) )
26	25	anbi2d 718	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) ) )
27		feq1 5720	. . . . . . . 8 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( f : T --> RR <-> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
28	26, 27	imbi12d 327	. . . . . . 7 |- ( f = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) ) )
29		fmuldfeqlem1.13	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR )
30	19, 24, 28, 29	vtoclgf 3091	. . . . . 6 |- ( ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y -> ( ( ph /\ ( U ` ( N + 1 ) ) e. Y ) -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR ) )
31	17, 18, 30	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> ( U ` ( N + 1 ) ) : T --> RR )
32	31	fnvinran 37398	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) e. RR )
33	10, 13, 15, 32	fvmptd 5969	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
34	33	oveq2d 6324	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
35		fmuldfeqlem1.10	. . . . 5 |- ( ph -> N e. ( 1 ... M ) )
36		elfzuz 11822	. . . . 5 |- ( N e. ( 1 ... M ) -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
37	35, 36	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38		seqp1 12266	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
39	37, 38	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
40	39	adantr 472	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( F ` t ) ` ( N + 1 ) ) ) )
41		seqp1 12266	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
42	37, 41	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) )
43		fmuldfeqlem1.5	. . . . . . . 8 |- P = ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
44		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ h ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
45		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ l ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
46		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
47		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
48		fveq1 5878	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( f ` t ) = ( h ` t ) )
49		fveq1 5878	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = l -> ( g ` t ) = ( l ` t ) )
50	48, 49	oveqan12d 6327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
51	50	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . 9 |- ( ( f = h /\ g = l ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
52	44, 45, 46, 47, 51	cbvmpt2 6389	. . . . . . . 8 |- ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) ) = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
53	43, 52	eqtri 2493	. . . . . . 7 |- P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
54	53	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> P = ( h e. Y , l e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) ) )
55		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t 1
56		fmuldfeqlem1.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t Y
57		nfmpt1 4485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ t ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) )
58	56, 56, 57	nfmpt2 6379	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ t ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
59	43, 58	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t P
60		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ t U
61	55, 59, 60	nfseq 12261	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t seq 1 ( P , U )
62		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ t N
63	61, 62	nffv 5886	. . . . . . . . . 10 |- F/_ t ( seq 1 ( P , U ) ` N )
64	63	nfeq2 2627	. . . . . . . . 9 |- F/ t h = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
65		nfv 1769	. . . . . . . . 9 |- F/ t l = ( U ` ( N + 1 ) )
66	64, 65	nfan 2031	. . . . . . . 8 |- F/ t ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) )
67		fveq1 5878	. . . . . . . . . 10 |- ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
68	67	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( h ` t ) = ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) )
69		fveq1 5878	. . . . . . . . . 10 |- ( l = ( U ` ( N + 1 ) ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
70	69	ad2antlr 741	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( l ` t ) = ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) )
71	68, 70	oveq12d 6326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) /\ t e. T ) -> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
72	66, 71	mpteq2da 4481	. . . . . . 7 |- ( ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
73	72	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( h = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) /\ l = ( U ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
74		eqid 2471	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( P , U ) ` N ) = ( seq 1 ( P , U ) ` N )
75		3simpc 1029	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( h e. Y /\ l e. Y ) )
76		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ f h
77		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ g h
78		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ g l
79		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f h e. Y
80		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ f g e. Y
81	20, 79, 80	nf3an 2033	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y )
82		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y
83	81, 82	nfim 2023	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
84		fmuldfeqlem1.2	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g ph
85		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g h e. Y
86		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ g l e. Y
87	84, 85, 86	nf3an 2033	. . . . . . . . . 10 |- F/ g ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y )
88		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ g ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y
89	87, 88	nfim 2023	. . . . . . . . 9 |- F/ g ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
90		eleq1 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( f e. Y <-> h e. Y ) )
91	90	3anbi2d 1370	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) ) )
92	48	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) )
93	92	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
94	93	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) )
95	91, 94	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( f = h -> ( ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) ) )
96		eleq1 2537	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = l -> ( g e. Y <-> l e. Y ) )
97	96	3anbi3d 1371	. . . . . . . . . 10 |- ( g = l -> ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) <-> ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) ) )
98	49	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g = l -> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) = ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) )
99	98	mpteq2dv 4483	. . . . . . . . . . 11 |- ( g = l -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) )
100	99	eleq1d 2533	. . . . . . . . . 10 |- ( g = l -> ( ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y <-> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
101	97, 100	imbi12d 327	. . . . . . . . 9 |- ( g = l -> ( ( ( ph /\ h e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y ) <-> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) ) )
102		fmuldfeqlem1.9	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ f e. Y /\ g e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) e. Y )
103	76, 77, 78, 83, 89, 95, 101, 102	vtocl2gf 3095	. . . . . . . 8 |- ( ( h e. Y /\ l e. Y ) -> ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y ) )
104	75, 103	mpcom 36	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ h e. Y /\ l e. Y ) -> ( t e. T |-> ( ( h ` t ) x. ( l ` t ) ) ) e. Y )
105		fmuldfeqlem1.7	. . . . . . 7 |- ( ph -> T e. _V )
106	53, 74, 35, 16, 104, 105	fmulcl 37756	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
107		mptexg 6151	. . . . . . 7 |- ( T e. _V -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
108	105, 107	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) e. _V )
109	54, 73, 106, 17, 108	ovmpt2d 6443	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) P ( U ` ( N + 1 ) ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
110	42, 109	eqtrd 2505	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) = ( t e. T |-> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) ) )
111	106	ancli 560	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
112		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f 1
113		nfmpt21 6377	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ f ( f e. Y , g e. Y |-> ( t e. T |-> ( ( f ` t ) x. ( g ` t ) ) ) )
114	43, 113	nfcxfr 2610	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f P
115		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f U
116	112, 114, 115	nfseq 12261	. . . . . . . . 9 |- F/_ f seq 1 ( P , U )
117		nfcv 2612	. . . . . . . . 9 |- F/_ f N
118	116, 117	nffv 5886	. . . . . . . 8 |- F/_ f ( seq 1 ( P , U ) ` N )
119	118	nfel1 2626	. . . . . . . . . 10 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y
120	20, 119	nfan 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y )
121		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f T
122		nfcv 2612	. . . . . . . . . 10 |- F/_ f RR
123	118, 121, 122	nff 5735	. . . . . . . . 9 |- F/ f ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR
124	120, 123	nfim 2023	. . . . . . . 8 |- F/ f ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
125		eleq1 2537	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f e. Y <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) )
126	125	anbi2d 718	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ph /\ f e. Y ) <-> ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) ) )
127		feq1 5720	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( f : T --> RR <-> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
128	126, 127	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( f = ( seq 1 ( P , U ) ` N ) -> ( ( ( ph /\ f e. Y ) -> f : T --> RR ) <-> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) ) )
129	118, 124, 128, 29	vtoclgf 3091	. . . . . . 7 |- ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y -> ( ( ph /\ ( seq 1 ( P , U ) ` N ) e. Y ) -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR ) )
130	106, 111, 129	sylc 61	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq 1 ( P , U ) ` N ) : T --> RR )
131	130	fnvinran 37398	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) e. RR )
132	131, 32	remulcld 9689	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) e. RR )
133	110, 132	fvmpt2d 5974	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
134		fmuldfeqlem1.12	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) )
135	134	oveq1d 6323	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
136	135	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( ( seq 1 ( P , U ) ` N ) ` t ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
137	133, 136	eqtrd 2505	. 2 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` N ) x. ( ( U ` ( N + 1 ) ) ` t ) ) )
138	34, 40, 137	3eqtr4rd 2516	1 |- ( ( ph /\ t e. T ) -> ( ( seq 1 ( P , U ) ` ( N + 1 ) ) ` t ) = ( seq 1 ( x. , ( F ` t ) ) ` ( N + 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   _Vcvv 3031   |-> cmpt 4454   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   RRcr 9556   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   seqcseq 12251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-seq 12252

This theorem is referenced by:  fmuldfeq  37758