Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmuldfeq Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem fmuldfeq 37758
 Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeq.1
fmuldfeq.2
fmuldfeq.3
fmuldfeq.4
fmuldfeq.5
fmuldfeq.6
fmuldfeq.7
fmuldfeq.8
fmuldfeq.9
fmuldfeq.10
fmuldfeq.11
Assertion
Ref Expression
fmuldfeq
Distinct variable groups:   ,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,)   ()   (,,,)   (,)   (,,,)

Proof of Theorem fmuldfeq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmuldfeq.8 . . . . . 6
21nnge1d 10674 . . . . 5
32adantr 472 . . . 4
4 nnre 10638 . . . . . 6
5 leid 9747 . . . . . 6
61, 4, 53syl 18 . . . . 5
76adantr 472 . . . 4
81nnzd 11062 . . . . . 6
98adantr 472 . . . . 5
10 1zzd 10992 . . . . 5
11 elfz 11816 . . . . 5
129, 10, 9, 11syl3anc 1292 . . . 4
133, 7, 12mpbir2and 936 . . 3
1413ad2ant1 1051 . . . 4
15 eleq1 2537 . . . . . . 7
16153anbi3d 1371 . . . . . 6
17 fveq2 5879 . . . . . . . 8
1817fveq1d 5881 . . . . . . 7
19 fveq2 5879 . . . . . . 7
2018, 19eqeq12d 2486 . . . . . 6
2116, 20imbi12d 327 . . . . 5
22 eleq1 2537 . . . . . . 7
23223anbi3d 1371 . . . . . 6
24 fveq2 5879 . . . . . . . 8
2524fveq1d 5881 . . . . . . 7
26 fveq2 5879 . . . . . . 7
2725, 26eqeq12d 2486 . . . . . 6
2823, 27imbi12d 327 . . . . 5
29 eleq1 2537 . . . . . . 7
30293anbi3d 1371 . . . . . 6
31 fveq2 5879 . . . . . . . 8
3231fveq1d 5881 . . . . . . 7
33 fveq2 5879 . . . . . . 7
3432, 33eqeq12d 2486 . . . . . 6
3530, 34imbi12d 327 . . . . 5
36 eleq1 2537 . . . . . . 7
37363anbi3d 1371 . . . . . 6
38 fveq2 5879 . . . . . . . 8
3938fveq1d 5881 . . . . . . 7
40 fveq2 5879 . . . . . . 7
4139, 40eqeq12d 2486 . . . . . 6
4237, 41imbi12d 327 . . . . 5
43 1z 10991 . . . . . . . 8
44 seq1 12264 . . . . . . . 8
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . 7
46 1le1 10262 . . . . . . . . . . . . 13
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
48 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . 13
49 elfz 11816 . . . . . . . . . . . . 13
5048, 48, 8, 49syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
5147, 2, 50mpbir2and 936 . . . . . . . . . . 11
52 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13
53 fmuldfeq.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
54 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
55 nfmpt1 4485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5654, 55nfmpt 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5753, 56nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16
58 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5957, 58nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . 15
60 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . . 15
6159, 60nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . 14
62 nffvmpt1 5887 . . . . . . . . . . . . . 14
6361, 62nfeq 2623 . . . . . . . . . . . . 13
6452, 63nfim 2023 . . . . . . . . . . . 12
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
66 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
6765, 66eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . 13
6867imbi2d 323 . . . . . . . . . . . 12
69 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . 15
7069mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . 14
7153fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . . . 14
7270, 71mpan2 685 . . . . . . . . . . . . 13
7372fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . 12
7464, 68, 73vtoclg1f 3092 . . . . . . . . . . 11
7551, 74syl 17 . . . . . . . . . 10
7675imp 436 . . . . . . . . 9
7751adantr 472 . . . . . . . . . 10
78 fmuldfeq.9 . . . . . . . . . . . . 13
7978, 51ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12
8079ancli 560 . . . . . . . . . . . 12
81 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15
8281anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . . 14
83 feq1 5720 . . . . . . . . . . . . . 14
8482, 83imbi12d 327 . . . . . . . . . . . . 13
85 fmuldfeq.10 . . . . . . . . . . . . . 14
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
8784, 86vtoclga 3099 . . . . . . . . . . . 12
8879, 80, 87sylc 61 . . . . . . . . . . 11
8988ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10
90 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
9190fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11
92 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
9391, 92fvmptg 5961 . . . . . . . . . 10
9477, 89, 93syl2anc 673 . . . . . . . . 9
9576, 94eqtrd 2505 . . . . . . . 8
96 seq1 12264 . . . . . . . . . 10
9743, 96ax-mp 5 . . . . . . . . 9
9897fveq1i 5880 . . . . . . . 8
9995, 98syl6eqr 2523 . . . . . . 7
10045, 99syl5req 2518 . . . . . 6
1011003adant3 1050 . . . . 5
102 simp31 1066 . . . . . . 7
103 simp1 1030 . . . . . . . . . 10
104 simp33 1068 . . . . . . . . . 10
105103, 104jca 541 . . . . . . . . 9
106 elnnuz 11219 . . . . . . . . . . 11
107106biimpi 199 . . . . . . . . . 10
108107anim1i 578 . . . . . . . . 9
109 peano2fzr 11838 . . . . . . . . 9
110105, 108, 1093syl 18 . . . . . . . 8
111 simp32 1067 . . . . . . . . 9
112 simp2 1031 . . . . . . . . 9
113102, 111, 110, 112mp3and 1393 . . . . . . . 8
114110, 104, 1133jca 1210 . . . . . . 7
115 nfv 1769 . . . . . . . . 9
116 nfv 1769 . . . . . . . . . 10
117 nfv 1769 . . . . . . . . . 10
118 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
119 fmuldfeq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15
120 nfmpt21 6377 . . . . . . . . . . . . . . 15
121119, 120nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . 14
122 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
123118, 121, 122nfseq 12261 . . . . . . . . . . . . 13
124 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
125123, 124nffv 5886 . . . . . . . . . . . 12
126 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
127125, 126nffv 5886 . . . . . . . . . . 11
128 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
129127, 128nfeq 2623 . . . . . . . . . 10
130116, 117, 129nf3an 2033 . . . . . . . . 9
131115, 130nfan 2031 . . . . . . . 8
132 nfv 1769 . . . . . . . . 9
133 nfv 1769 . . . . . . . . . 10
134 nfv 1769 . . . . . . . . . 10
135 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
136 nfmpt22 6378 . . . . . . . . . . . . . . 15
137119, 136nfcxfr 2610 . . . . . . . . . . . . . 14
138 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
139135, 137, 138nfseq 12261 . . . . . . . . . . . . 13
140 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . 13
141139, 140nffv 5886 . . . . . . . . . . . 12
142 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
143141, 142nffv 5886 . . . . . . . . . . 11
144 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
145143, 144nfeq 2623 . . . . . . . . . 10
146133, 134, 145nf3an 2033 . . . . . . . . 9
147132, 146nfan 2031 . . . . . . . 8
148 fmuldfeq.2 . . . . . . . 8
149 fmuldfeq.7 . . . . . . . . 9
150149adantr 472 . . . . . . . 8
15178adantr 472 . . . . . . . 8
152 fmuldfeq.11 . . . . . . . . 9
1531523adant1r 1285 . . . . . . . 8
154 simpr1 1036 . . . . . . . 8
155 simpr2 1037 . . . . . . . 8
156 simpr3 1038 . . . . . . . 8
15785adantlr 729 . . . . . . . 8
158131, 147, 148, 119, 53, 150, 151, 153, 154, 155, 156, 157fmuldfeqlem1 37757 . . . . . . 7
159102, 114, 111, 158syl21anc 1291 . . . . . 6
1601593exp 1230 . . . . 5
16121, 28, 35, 42, 101, 160nnind 10649 . . . 4
16214, 161mpcom 36 . . 3
16313, 162mpd3an3 1391 . 2
164 fmuldfeq.4 . . . 4
165164fveq1i 5880 . . 3
166165a1i 11 . 2
167 simpr 468 . . 3
168 elnnuz 11219 . . . . . 6
1691, 168sylib 201 . . . . 5
170169adantr 472 . . . 4
171 fmuldfeq.1 . . . . . . . 8
172171, 52nfan 2031 . . . . . . 7
173 nfv 1769 . . . . . . 7
174172, 173nfan 2031 . . . . . 6
175 nfcv 2612 . . . . . . . 8
17659, 175nffv 5886 . . . . . . 7
177176nfel1 2626 . . . . . 6
178174, 177nfim 2023 . . . . 5
179 eleq1 2537 . . . . . . 7
180179anbi2d 718 . . . . . 6
181 fveq2 5879 . . . . . . 7
182181eleq1d 2533 . . . . . 6
183180, 182imbi12d 327 . . . . 5
18473ad2antlr 741 . . . . . 6
185 simpr 468 . . . . . . . 8
18678ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
187 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12
188187, 186jca 541 . . . . . . . . . . 11
189 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . 14
190189anbi2d 718 . . . . . . . . . . . . 13
191 feq1 5720 . . . . . . . . . . . . 13
192190, 191imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12
193192, 86vtoclga 3099 . . . . . . . . . . 11
194186, 188, 193sylc 61 . . . . . . . . . 10
195194adantlr 729 . . . . . . . . 9
196 simplr 770 . . . . . . . . 9
197195, 196ffvelrnd 6038 . . . . . . . 8
19892fvmpt2 5972 . . . . . . . 8
199185, 197, 198syl2anc 673 . . . . . . 7
200199, 197eqeltrd 2549 . . . . . 6
201184, 200eqeltrd 2549 . . . . 5
202178, 183, 201chvar 2119 . . . 4
203 remulcl 9642 . . . . 5
204203adantl 473 . . . 4
205170, 202, 204seqcl 12271 . . 3
206 fmuldfeq.6 . . . 4
207206fvmpt2 5972 . . 3
208167, 205, 207syl2anc 673 . 2
209163, 166, 2083eqtr4d 2515 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904  wnfc 2599  cvv 3031   class class class wbr 4395   cmpt 4454  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   cle 9694  cn 10631  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810   cseq 12251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-seq 12252 This theorem is referenced by:  stoweidlem42  38015  stoweidlem48  38021
 Copyright terms: Public domain W3C validator