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Theorem fmuldfeq 27580
Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeq.1  |-  F/ i
ph
fmuldfeq.2  |-  F/_ t Y
fmuldfeq.3  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmuldfeq.4  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
fmuldfeq.5  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
fmuldfeq.6  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
fmuldfeq.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
fmuldfeq.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fmuldfeq.9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeq.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
fmuldfeq.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
fmuldfeq  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
Distinct variable groups:    t, T    f, g, t, T    f,
i, t, T    f, F, g    f, M, g    U, f, g, t    f, Y, g    ph, f, g   
i, M    U, i
Allowed substitution hints:    ph( t, i)    P( t, f, g, i)    F( t, i)    M( t)    X( t, f, g, i)    Y( t, i)    Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem fmuldfeq
Dummy variables  k 
b  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmuldfeq.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21nnge1d 9998 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
32adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  <_  M )
4 nnre 9963 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5 leid 9125 . . . . . 6  |-  ( M  e.  RR  ->  M  <_  M )
61, 4, 53syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  <_  M )
81nnzd 10330 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ZZ )
10 1z 10267 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  ZZ )
12 elfz 11005 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
139, 11, 9, 12syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
143, 7, 13mpbir2and 889 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
1513ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  M  e.  NN )
16 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
17163anbi3d 1260 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
18 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) )
1918fveq1d 5689 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 1 ) `  t ) )
20 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
) )
2119, 20eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) ) )
2217, 21imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) ) ) )
23 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  n  e.  ( 1 ... M
) ) )
24233anbi3d 1260 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
25 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) )
2625fveq1d 5689 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 n ) `  t ) )
27 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  n
) )
2826, 27eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
2924, 28imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) ) )
30 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
31303anbi3d 1260 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
32 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) )
3332fveq1d 5689 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 ( n  + 
1 ) ) `  t ) )
34 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  (
n  +  1 ) ) )
3533, 34eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
3631, 35imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
37 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  M  e.  ( 1 ... M
) ) )
38373anbi3d 1260 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
39 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) )
4039fveq1d 5689 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 m ) `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M ) `  t ) )
41 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
) )
4240, 41eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( (  seq  1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) )
4338, 42imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) ) )
44 seq1 11291 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
)  =  ( ( F `  t ) `
 1 ) )
4510, 44ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
)  =  ( ( F `  t ) `
 1 )
46 1le1 9606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <_  1
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  1 )
4810a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
49 elfz 11005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
5048, 48, 8, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... M )  <-> 
( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
5147, 2, 50mpbir2and 889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
52 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i
1
53 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  t  e.  T
54 fmuldfeq.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
55 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i T
56 nfmpt1 4258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
5755, 56nfmpt 4257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
5854, 57nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i F
59 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i
t
6058, 59nffv 5694 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( F `  t
)
6160, 52nffv 5694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  1
)
62 nffvmpt1 5695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) ` 
1 )
6361, 62nfeq 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
6453, 63nfim 1828 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
)
65 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) ` 
1 ) )
66 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
)
6765, 66eqeq12d 2418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  i )  <->  ( ( F `  t
) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 ) ) )
6867imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  i )
)  <->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) ` 
1 ) ) ) )
69 ovex 6065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
7069mptex 5925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  e.  _V
7154fvmpt2 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
7270, 71mpan2 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
7372fveq1d 5689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  T  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
7452, 64, 68, 73vtoclgf 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  ->  (
t  e.  T  -> 
( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
) )
7551, 74syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
) )
7675imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 ) )
7751adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  ( 1 ... M
) )
78 fmuldfeq.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
7978, 51ffvelrnd 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U `  1
)  e.  Y )
8079ancli 535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y ) )
81 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  1 )  e.  Y ) )
8281anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  1
)  e.  Y ) ) )
83 feq1 5535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  1 ) : T --> RR ) )
8482, 83imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y )  -> 
( U `  1
) : T --> RR ) ) )
85 fmuldfeq.10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Y  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR ) )
8784, 86vtoclga 2977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  1 )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y )  ->  ( U `  1 ) : T --> RR ) )
8879, 80, 87sylc 58 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U `  1
) : T --> RR )
8988ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  1
) `  t )  e.  RR )
90 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( U `  i )  =  ( U ` 
1 ) )
9190fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 1 ) `  t ) )
92 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
9391, 92fvmptg 5763 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U ` 
1 ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 )  =  ( ( U ` 
1 ) `  t
) )
9477, 89, 93syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  1
)  =  ( ( U `  1 ) `
 t ) )
9576, 94eqtrd 2436 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( ( U `
 1 ) `  t ) )
96 seq1 11291 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
)  =  ( U `
 1 ) )
9710, 96ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
)  =  ( U `
 1 )
9897fveq1i 5688 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq  1 ( P ,  U ) ` 
1 ) `  t
)  =  ( ( U `  1 ) `
 t )
9995, 98syl6eqr 2454 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )
)
10045, 99syl5req 2449 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 1 ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) ` 
1 ) )
1011003adant3 977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) )
102 simp31 993 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ph )
103 simp1 957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  n  e.  NN )
104 simp33 995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
105103, 104jca 519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
106 elnnuz 10478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
108107anim1i 552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) )
109 peano2fzr 11025 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M ) )
110105, 108, 1093syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M
) )
111 simp32 994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  t  e.  T )
112 simp2 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
113102, 111, 110, 112mp3and 1282 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
114110, 104, 1133jca 1134 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
115 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ f
ph
116 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  n  e.  ( 1 ... M )
117 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
118 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f
1
119 fmuldfeq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
120 nfmpt21 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
121119, 120nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f P
122 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f U
123118, 121, 122nfseq 11288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f  seq  1 ( P ,  U )
124 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
n
125123, 124nffv 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 n )
126 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
t
127125, 126nffv 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )
128 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 n )
129127, 128nfeq 2547 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
130116, 117, 129nf3an 1845 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
131115, 130nfan 1842 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
132 nfv 1626 . . . . . . . . 9  |-  F/ g
ph
133 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g  n  e.  ( 1 ... M )
134 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
135 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g
1
136 nfmpt22 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ g
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
137119, 136nfcxfr 2537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g P
138 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g U
139135, 137, 138nfseq 11288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ g  seq  1 ( P ,  U )
140 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ g
n
141139, 140nffv 5694 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ g
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 n )
142 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ g
t
143141, 142nffv 5694 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )
144 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
(  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 n )
145143, 144nfeq 2547 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
146133, 134, 145nf3an 1845 . . . . . . . . 9  |-  F/ g ( n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
147132, 146nfan 1842 . . . . . . . 8  |-  F/ g ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
148 fmuldfeq.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Y
149 fmuldfeq.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
150149adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  T  e.  _V )
15178adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
152 fmuldfeq.11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
1531523adant1r 1177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
154 simpr1 963 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M
) )
155 simpr2 964 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
156 simpr3 965 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
15785adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y
)  ->  f : T
--> RR )
158131, 147, 148, 119, 54, 150, 151, 153, 154, 155, 156, 157fmuldfeqlem1 27579 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
159102, 114, 111, 158syl21anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
1601593exp 1152 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
16122, 29, 36, 43, 101, 160nnind 9974 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) )
16215, 161mpcom 34 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
16314, 162mpd3an3 1280 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq  1 ( P ,  U ) `
 M ) `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
164 fmuldfeq.4 . . . 4  |-  X  =  (  seq  1 ( P ,  U ) `
 M )
165164fveq1i 5688 . . 3  |-  ( X `
 t )  =  ( (  seq  1
( P ,  U
) `  M ) `  t )
166165a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( (  seq  1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )
)
167 simpr 448 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
168 elnnuz 10478 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1691, 168sylib 189 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
170169adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
171 fmuldfeq.1 . . . . . . . 8  |-  F/ i
ph
172171, 53nfan 1842 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  T )
173 nfv 1626 . . . . . . 7  |-  F/ i  k  e.  ( 1 ... M )
174172, 173nfan 1842 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  (
1 ... M ) )
175 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
k
17660, 175nffv 5694 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  k
)
177176nfel1 2550 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  k
)  e.  RR
178174, 177nfim 1828 . . . . 5  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR )
179 eleq1 2464 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  k  e.  ( 1 ... M
) ) )
180179anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  (
1 ... M ) ) ) )
181 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  k ) )
182181eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) )
183180, 182imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) ) )
18473ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
185 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
18678ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
187 simpl 444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
188187, 186jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y
) )
189 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  i )  e.  Y
) )
190189anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  Y ) ) )
191 feq1 5535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
192190, 191imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
193192, 86vtoclga 2977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
194186, 188, 193sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
195194adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
196 simplr 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
197195, 196ffvelrnd 5830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
19892fvmpt2 5771 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i )  =  ( ( U `  i ) `  t
) )
199185, 197, 198syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t ) )
200199, 197eqeltrd 2478 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  e.  RR )
201184, 200eqeltrd 2478 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
202178, 183, 201chvar 2039 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  k )  e.  RR )
203 remulcl 9031 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( k  x.  b
)  e.  RR )
204203adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
k  e.  RR  /\  b  e.  RR )
)  ->  ( k  x.  b )  e.  RR )
205170, 202, 204seqcl 11298 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (  seq  1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
206 fmuldfeq.6 . . . 4  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
207206fvmpt2 5771 . . 3  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
208167, 205, 207syl2anc 643 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq  1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
209163, 166, 2083eqtr4d 2446 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   _Vcvv 2916   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042   RRcr 8945   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077   NNcn 9956   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999    seq cseq 11278
This theorem is referenced by:  stoweidlem42  27658  stoweidlem48  27664
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279
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