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Theorem fmuldfeq 37661
Description: X and Z are two equivalent definitions of the finite product of real functions. Y is a set of real functions from a common domain T, Y is closed under function multiplication and U is a finite sequence of functions in Y. M is the number of functions multiplied together. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmuldfeq.1  |-  F/ i
ph
fmuldfeq.2  |-  F/_ t Y
fmuldfeq.3  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmuldfeq.4  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
fmuldfeq.5  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
fmuldfeq.6  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
fmuldfeq.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
fmuldfeq.8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
fmuldfeq.9  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmuldfeq.10  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
fmuldfeq.11  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
Assertion
Ref Expression
fmuldfeq  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
Distinct variable groups:    t, T    f, g, t, T    f,
i, t, T    f, F, g    f, M, g    U, f, g, t    f, Y, g    ph, f, g   
i, M    U, i
Allowed substitution hints:    ph( t, i)    P( t, f, g, i)    F( t, i)    M( t)    X( t, f, g, i)    Y( t, i)    Z( t, f, g, i)

Proof of Theorem fmuldfeq
Dummy variables  k 
b  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmuldfeq.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
21nnge1d 10652 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  M )
32adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  <_  M )
4 nnre 10616 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5 leid 9729 . . . . . 6  |-  ( M  e.  RR  ->  M  <_  M )
61, 4, 53syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  <_  M )
76adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  <_  M )
81nnzd 11039 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
98adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ZZ )
10 1zzd 10968 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  ZZ )
11 elfz 11790 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
129, 10, 9, 11syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( M  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
133, 7, 12mpbir2and 933 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
1413ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  M  e.  NN )
15 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  1  e.  ( 1 ... M
) ) )
16153anbi3d 1345 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
17 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  1  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  1
) )
1817fveq1d 5867 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  m ) `  t
)  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) ` 
1 ) `  t
) )
19 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( m  =  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
) )
2018, 19eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
( (  seq 1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) ) )
2116, 20imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) ) ) )
22 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  n  e.  ( 1 ... M
) ) )
23223anbi3d 1345 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
24 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) )
2524fveq1d 5867 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  m ) `  t
)  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n ) `  t
) )
26 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  n
) )
2725, 26eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( (  seq 1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
2823, 27imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) ) )
29 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
30293anbi3d 1345 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
31 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) )
3231fveq1d 5867 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  m ) `  t
)  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  ( n  +  1
) ) `  t
) )
33 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  (
n  +  1 ) ) )
3432, 33eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( (  seq 1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) )
3530, 34imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
36 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
m  e.  ( 1 ... M )  <->  M  e.  ( 1 ... M
) ) )
37363anbi3d 1345 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M
) )  <->  ( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) ) ) )
38 fveq2 5865 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  m
)  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `  M
) )
3938fveq1d 5867 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  m ) `  t
)  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  M ) `  t
) )
40 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
) )
4139, 40eqeq12d 2466 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
( (  seq 1
( P ,  U
) `  m ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m )  <->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) )
4237, 41imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  m  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  m
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  m ) )  <->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) ) ) )
43 1z 10967 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
44 seq1 12226 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
)  =  ( ( F `  t ) `
 1 ) )
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
)  =  ( ( F `  t ) `
 1 )
46 1le1 10240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  <_  1
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  <_  1 )
48 1zzd 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
49 elfz 11790 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  (
1  e.  ( 1 ... M )  <->  ( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
5048, 48, 8, 49syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  e.  ( 1 ... M )  <-> 
( 1  <_  1  /\  1  <_  M ) ) )
5147, 2, 50mpbir2and 933 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  ( 1 ... M ) )
52 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  t  e.  T
53 fmuldfeq.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  =  ( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
54 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i T
55 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ i
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )
5654, 55nfmpt 4491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ i
( t  e.  T  |->  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) )
5753, 56nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i F
58 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i
t
5957, 58nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( F `  t
)
60 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
1
6159, 60nffv 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  1
)
62 nffvmpt1 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) ` 
1 )
6361, 62nfeq 2603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
6452, 63nfim 2003 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
)
65 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) ` 
1 ) )
66 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  1  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
)
6765, 66eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  1  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  i )  <->  ( ( F `  t
) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 ) ) )
6867imbi2d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  (
( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  i
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  i )
)  <->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) ` 
1 ) ) ) )
69 ovex 6318 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1 ... M )  e. 
_V
7069mptex 6136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  e.  _V
7153fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  T  /\  ( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) )  e.  _V )  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) )
7270, 71mpan2 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  T  ->  ( F `  t )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) ) )
7372fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  T  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
7464, 68, 73vtoclg1f 3106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  ( 1 ... M )  ->  (
t  e.  T  -> 
( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
) )
7551, 74syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( t  e.  T  ->  ( ( F `  t ) `  1
)  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i
) `  t )
) `  1 )
) )
7675imp 431 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 ) )
7751adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  1  e.  ( 1 ... M
) )
78 fmuldfeq.9 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
7978, 51ffvelrnd 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( U `  1
)  e.  Y )
8079ancli 554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y ) )
81 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  1 )  e.  Y ) )
8281anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  1
)  e.  Y ) ) )
83 feq1 5710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  1 ) : T --> RR ) )
8482, 83imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U ` 
1 )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y )  -> 
( U `  1
) : T --> RR ) ) )
85 fmuldfeq.10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  e.  Y  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR ) )
8784, 86vtoclga 3113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U `  1 )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  1 )  e.  Y )  ->  ( U `  1 ) : T --> RR ) )
8879, 80, 87sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( U `  1
) : T --> RR )
8988ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( U `  1
) `  t )  e.  RR )
90 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  1  ->  ( U `  i )  =  ( U ` 
1 ) )
9190fveq1d 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  1  ->  (
( U `  i
) `  t )  =  ( ( U `
 1 ) `  t ) )
92 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) )  =  ( i  e.  ( 1 ... M
)  |->  ( ( U `
 i ) `  t ) )
9391, 92fvmptg 5946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U ` 
1 ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 1 )  =  ( ( U ` 
1 ) `  t
) )
9477, 89, 93syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  1
)  =  ( ( U `  1 ) `
 t ) )
9576, 94eqtrd 2485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( ( U `
 1 ) `  t ) )
96 seq1 12226 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `  1
)  =  ( U `
 1 ) )
9743, 96ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  (  seq 1 ( P ,  U ) `  1
)  =  ( U `
 1 )
9897fveq1i 5866 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 ( P ,  U ) ` 
1 ) `  t
)  =  ( ( U `  1 ) `
 t )
9995, 98syl6eqr 2503 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
( F `  t
) `  1 )  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )
)
10045, 99syl5req 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) ` 
1 ) `  t
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  1
) )
1011003adant3 1028 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  1  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  1
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  1 ) )
102 simp31 1044 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ph )
103 simp1 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  n  e.  NN )
104 simp33 1046 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) )
105103, 104jca 535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
) ) )
106 elnnuz 11195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
107106biimpi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
108107anim1i 572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) ) )
109 peano2fzr 11812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M ) )
110105, 108, 1093syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M
) )
111 simp32 1045 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  t  e.  T )
112 simp2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  (
1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
113102, 111, 110, 112mp3and 1367 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
114110, 104, 1133jca 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
115 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ f
ph
116 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f  n  e.  ( 1 ... M )
117 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
118 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f
1
119 fmuldfeq.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
120 nfmpt21 6358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ f
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
121119, 120nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f P
122 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ f U
123118, 121, 122nfseq 12223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f  seq 1 ( P ,  U )
124 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ f
n
125123, 124nffv 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
(  seq 1 ( P ,  U ) `  n )
126 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ f
t
127125, 126nffv 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
( (  seq 1
( P ,  U
) `  n ) `  t )
128 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ f
(  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
129127, 128nfeq 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/ f ( (  seq 1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
130116, 117, 129nf3an 2013 . . . . . . . . 9  |-  F/ f ( n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
131115, 130nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ f ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
132 nfv 1761 . . . . . . . . 9  |-  F/ g
ph
133 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g  n  e.  ( 1 ... M )
134 nfv 1761 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M )
135 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g
1
136 nfmpt22 6359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ g
( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
137119, 136nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g P
138 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ g U
139135, 137, 138nfseq 12223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ g  seq 1 ( P ,  U )
140 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ g
n
141139, 140nffv 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ g
(  seq 1 ( P ,  U ) `  n )
142 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ g
t
143141, 142nffv 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
( (  seq 1
( P ,  U
) `  n ) `  t )
144 nfcv 2592 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ g
(  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
145143, 144nfeq 2603 . . . . . . . . . 10  |-  F/ g ( (  seq 1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n )
146133, 134, 145nf3an 2013 . . . . . . . . 9  |-  F/ g ( n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  + 
1 )  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )
147132, 146nfan 2011 . . . . . . . 8  |-  F/ g ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )
148 fmuldfeq.2 . . . . . . . 8  |-  F/_ t Y
149 fmuldfeq.7 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
150149adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  T  e.  _V )
15178adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
152 fmuldfeq.11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
1531523adant1r 1261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
154 simpr1 1014 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  n  e.  ( 1 ... M
) )
155 simpr2 1015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )
156 simpr3 1016 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M
)  /\  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  n ) `  t
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  n
) )
15785adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  f  e.  Y
)  ->  f : T
--> RR )
158131, 147, 148, 119, 53, 150, 151, 153, 154, 155, 156, 157fmuldfeqlem1 37660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  ( 1 ... M )  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M )  /\  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  n ) `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) ) )  /\  t  e.  T
)  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
159102, 114, 111, 158syl21anc 1267 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  /\  ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1
)  e.  ( 1 ... M ) ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) )
1601593exp 1207 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T  /\  n  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  n
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  n ) )  ->  ( ( ph  /\  t  e.  T  /\  ( n  +  1 )  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  (
n  +  1 ) ) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
16121, 28, 35, 42, 101, 160nnind 10627 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  M ) `  t
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
) ) )
16214, 161mpcom 37 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T  /\  M  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
16313, 162mpd3an3 1365 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (
(  seq 1 ( P ,  U ) `  M ) `  t
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
) )
164 fmuldfeq.4 . . . 4  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 M )
165164fveq1i 5866 . . 3  |-  ( X `
 t )  =  ( (  seq 1
( P ,  U
) `  M ) `  t )
166165a1i 11 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( (  seq 1 ( P ,  U ) `  M
) `  t )
)
167 simpr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  t  e.  T )
168 elnnuz 11195 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
1691, 168sylib 200 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
170169adantr 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
171 fmuldfeq.1 . . . . . . . 8  |-  F/ i
ph
172171, 52nfan 2011 . . . . . . 7  |-  F/ i ( ph  /\  t  e.  T )
173 nfv 1761 . . . . . . 7  |-  F/ i  k  e.  ( 1 ... M )
174172, 173nfan 2011 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  (
1 ... M ) )
175 nfcv 2592 . . . . . . . 8  |-  F/_ i
k
17659, 175nffv 5872 . . . . . . 7  |-  F/_ i
( ( F `  t ) `  k
)
177176nfel1 2606 . . . . . 6  |-  F/ i ( ( F `  t ) `  k
)  e.  RR
178174, 177nfim 2003 . . . . 5  |-  F/ i ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR )
179 eleq1 2517 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( 1 ... M )  <->  k  e.  ( 1 ... M
) ) )
180179anbi2d 710 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  (
1 ... M ) )  <-> 
( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  (
1 ... M ) ) ) )
181 fveq2 5865 . . . . . . 7  |-  ( i  =  k  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( F `
 t ) `  k ) )
182181eleq1d 2513 . . . . . 6  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( F `  t ) `  i
)  e.  RR  <->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) )
183180, 182imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  i )  e.  RR ) 
<->  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M ) )  ->  ( ( F `  t ) `  k )  e.  RR ) ) )
18473ad2antlr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  =  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i ) )
185 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  i  e.  ( 1 ... M
) )
18678ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i )  e.  Y )
187 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ph )
188187, 186jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y
) )
189 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f  e.  Y  <->  ( U `  i )  e.  Y
) )
190189anbi2d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y )  <->  ( ph  /\  ( U `  i
)  e.  Y ) ) )
191 feq1 5710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
f : T --> RR  <->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
192190, 191imbi12d 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( U `  i )  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y )  ->  f : T --> RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  -> 
( U `  i
) : T --> RR ) ) )
193192, 86vtoclga 3113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( U `  i )  e.  Y  ->  (
( ph  /\  ( U `  i )  e.  Y )  ->  ( U `  i ) : T --> RR ) )
194186, 188, 193sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
195194adantlr 721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  i ) : T --> RR )
196 simplr 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  t  e.  T )
197195, 196ffvelrnd 6023 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( U `  i
) `  t )  e.  RR )
19892fvmpt2 5957 . . . . . . . 8  |-  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  /\  ( ( U `  i ) `  t
)  e.  RR )  ->  ( ( i  e.  ( 1 ... M )  |->  ( ( U `  i ) `
 t ) ) `
 i )  =  ( ( U `  i ) `  t
) )
199185, 197, 198syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  =  ( ( U `  i ) `
 t ) )
200199, 197eqeltrd 2529 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( i  e.  ( 1 ... M ) 
|->  ( ( U `  i ) `  t
) ) `  i
)  e.  RR )
201184, 200eqeltrd 2529 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  i  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  i )  e.  RR )
202178, 183, 201chvar 2106 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  k  e.  ( 1 ... M
) )  ->  (
( F `  t
) `  k )  e.  RR )
203 remulcl 9624 . . . . 5  |-  ( ( k  e.  RR  /\  b  e.  RR )  ->  ( k  x.  b
)  e.  RR )
204203adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  T )  /\  (
k  e.  RR  /\  b  e.  RR )
)  ->  ( k  x.  b )  e.  RR )
205170, 202, 204seqcl 12233 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( F `  t
) ) `  M
)  e.  RR )
206 fmuldfeq.6 . . . 4  |-  Z  =  ( t  e.  T  |->  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `
 t ) ) `
 M ) )
207206fvmpt2 5957 . . 3  |-  ( ( t  e.  T  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M )  e.  RR )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
208167, 205, 207syl2anc 667 . 2  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( Z `  t )  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( F `  t ) ) `  M ) )
209163, 166, 2083eqtr4d 2495 1  |-  ( (
ph  /\  t  e.  T )  ->  ( X `  t )  =  ( Z `  t ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444   F/wnf 1667    e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   _Vcvv 3045   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544    <_ cle 9676   NNcn 10609   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   ...cfz 11784    seqcseq 12213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-seq 12214
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