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Theorem fmulcl 31757
Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
fmulcl.2  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N )
fmulcl.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
fmulcl.5  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
fmulcl.6  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
fmulcl.7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
Assertion
Ref Expression
fmulcl  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Distinct variable groups:    f, g,
t, T    f, Y, g    ph, f, g
Allowed substitution hints:    ph( t)    P( t, f, g)    U( t, f, g)    M( t, f, g)    N( t, f, g)    X( t, f, g)    Y( t)

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables  h  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2  |-  X  =  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N )
2 fmulcl.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 1 ... M ) )
3 elfzuz 11709 . . . 4  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5 elfzuz3 11710 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( 1 ... M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N )
)
6 fzss2 11749 . . . . . 6  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
) )
72, 5, 63syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1 ... N
)  C_  ( 1 ... M ) )
87sselda 3499 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  h  e.  ( 1 ... M
) )
9 fmulcl.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : ( 1 ... M ) --> Y )
109fnvinran 31571 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... M
) )  ->  ( U `  h )  e.  Y )
118, 10syldan 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( 1 ... N
) )  ->  ( U `  h )  e.  Y )
12 simprl 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  ->  h  e.  Y )
13 simprr 757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
l  e.  Y )
14 fmulcl.7 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  ->  T  e.  _V )
16 mptexg 6143 . . . . . 6  |-  ( T  e.  _V  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  _V )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  _V )
18 fveq1 5871 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
f `  t )  =  ( h `  t ) )
19 fveq1 5871 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  l  ->  (
g `  t )  =  ( l `  t ) )
2018, 19oveqan12d 6315 . . . . . . 7  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
)  =  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )
2120mpteq2dv 4544 . . . . . 6  |-  ( ( f  =  h  /\  g  =  l )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
22 fmulcl.1 . . . . . 6  |-  P  =  ( f  e.  Y ,  g  e.  Y  |->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) ) )
2321, 22ovmpt2ga 6431 . . . . 5  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y  /\  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  _V )  ->  ( h P l )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) ) )
2412, 13, 17, 23syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( h P l )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
25 3simpc 995 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )
26 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
f  e.  Y  <->  h  e.  Y ) )
27263anbi2d 1304 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )
) )
2818oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  h  ->  (
( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( g `  t
) ) )
2928mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  h  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( f `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( g `  t ) ) ) )
3029eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  h  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  e.  Y ) )
3127, 30imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( f  =  h  ->  (
( ( ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
) ) )
32 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  l  ->  (
g  e.  Y  <->  l  e.  Y ) )
33323anbi3d 1305 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  l  ->  (
( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  <->  ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )
) )
3419oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  =  l  ->  (
( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) )  =  ( ( h `
 t )  x.  ( l `  t
) ) )
3534mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9  |-  ( g  =  l  ->  (
t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( g `
 t ) ) )  =  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) ) )
3635eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  l  ->  (
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y  <->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t
)  x.  ( l `
 t ) ) )  e.  Y ) )
3733, 36imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( g  =  l  ->  (
( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  g  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
g `  t )
) )  e.  Y
)  <->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) ) )
38 fmulcl.6 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  Y  /\  g  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( f `  t )  x.  ( g `  t ) ) )  e.  Y )
3931, 37, 38vtocl2g 3171 . . . . . 6  |-  ( ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( ( ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y )  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
) )
4025, 39mpcom 36 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  h  e.  Y  /\  l  e.  Y
)  ->  ( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  ( l `  t ) ) )  e.  Y )
41403expb 1197 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( t  e.  T  |->  ( ( h `  t )  x.  (
l `  t )
) )  e.  Y
)
4224, 41eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( h  e.  Y  /\  l  e.  Y ) )  -> 
( h P l )  e.  Y )
434, 11, 42seqcl 12130 . 2  |-  ( ph  ->  (  seq 1 ( P ,  U ) `
 N )  e.  Y )
441, 43syl5eqel 2549 1  |-  ( ph  ->  X  e.  Y )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   1c1 9510    x. cmul 9514   ZZ>=cuz 11106   ...cfz 11697    seqcseq 12110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12111
This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  31758  stoweidlem51  32015
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