Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmulcl Structured version   Unicode version

Theorem fmulcl 31757
 Description: If ' Y ' is closed under the multiplication of two functions, then Y is closed under the multiplication ( ' X ' ) of a finite number of functions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmulcl.1
fmulcl.2
fmulcl.4
fmulcl.5
fmulcl.6
fmulcl.7
Assertion
Ref Expression
fmulcl
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   ()

Proof of Theorem fmulcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmulcl.2 . 2
2 fmulcl.4 . . . 4
3 elfzuz 11709 . . . 4
42, 3syl 16 . . 3
5 elfzuz3 11710 . . . . . 6
6 fzss2 11749 . . . . . 6
72, 5, 63syl 20 . . . . 5
87sselda 3499 . . . 4
9 fmulcl.5 . . . . 5
109fnvinran 31571 . . . 4
118, 10syldan 470 . . 3
12 simprl 756 . . . . 5
13 simprr 757 . . . . 5
14 fmulcl.7 . . . . . . 7
1514adantr 465 . . . . . 6
16 mptexg 6143 . . . . . 6
1715, 16syl 16 . . . . 5
18 fveq1 5871 . . . . . . . 8
19 fveq1 5871 . . . . . . . 8
2018, 19oveqan12d 6315 . . . . . . 7
2120mpteq2dv 4544 . . . . . 6
22 fmulcl.1 . . . . . 6
2321, 22ovmpt2ga 6431 . . . . 5
2412, 13, 17, 23syl3anc 1228 . . . 4
25 3simpc 995 . . . . . 6
26 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
27263anbi2d 1304 . . . . . . . 8
2818oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
2928mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9
3029eleq1d 2526 . . . . . . . 8
3127, 30imbi12d 320 . . . . . . 7
32 eleq1 2529 . . . . . . . . 9
33323anbi3d 1305 . . . . . . . 8
3419oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10
3534mpteq2dv 4544 . . . . . . . . 9
3635eleq1d 2526 . . . . . . . 8
3733, 36imbi12d 320 . . . . . . 7
38 fmulcl.6 . . . . . . 7
3931, 37, 38vtocl2g 3171 . . . . . 6
4025, 39mpcom 36 . . . . 5
41403expb 1197 . . . 4
4224, 41eqeltrd 2545 . . 3
434, 11, 42seqcl 12130 . 2
441, 43syl5eqel 2549 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1395   wcel 1819  cvv 3109   wss 3471   cmpt 4515  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  c1 9510   cmul 9514  cuz 11106  cfz 11697   cseq 12110 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12111 This theorem is referenced by:  fmuldfeqlem1  31758  stoweidlem51  32015
 Copyright terms: Public domain W3C validator