Theorem fmul01lt1lem1 37759

Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1lem1.1	|- F/_ i B
fmul01lt1lem1.2	|- F/ i ph
fmul01lt1lem1.3	|- A = seq L ( x. , B )
fmul01lt1lem1.4	|- ( ph -> L e. ZZ )
fmul01lt1lem1.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
fmul01lt1lem1.6	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
fmul01lt1lem1.7	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
fmul01lt1lem1.8	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
fmul01lt1lem1.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
fmul01lt1lem1.10	|- ( ph -> ( B ` L ) < E )

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1lem1	|- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Distinct variable groups:   i, L   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( i)   B( i)   E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1

Dummy variables j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> M = L )
2	1	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( A ` L ) )
3		fmul01lt1lem1.3	. . . . . 6 |- A = seq L ( x. , B )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> A = seq L ( x. , B ) )
5	4	fveq1d 5881	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` L ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
6		fmul01lt1lem1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. ZZ )
7		seq1 12264	. . . . . 6 |- ( L e. ZZ -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
9	8	adantr 472	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
10	2, 5, 9	3eqtrd 2509	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( B ` L ) )
11		fmul01lt1lem1.10	. . . 4 |- ( ph -> ( B ` L ) < E )
12	11	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( B ` L ) < E )
13	10, 12	eqbrtrd 4416	. 2 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) < E )
14		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> -. M = L )
15	14	neqned 2650	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> M =/= L )
16	6	zred 11063	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. RR )
17		fmul01lt1lem1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
18		eluzelz 11192	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> M e. ZZ )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
20	19	zred 11063	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
21		eluzle 11195	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L <_ M )
22	17, 21	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> L <_ M )
23	16, 20, 22	3jca 1210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
24	23	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
25		leltne 9741	. . . . 5 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
26	24, 25	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
27	15, 26	mpbird 240	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> L < M )
28	3	fveq1i 5880	. . . 4 |- ( A ` M ) = ( seq L ( x. , B ) ` M )
29		remulcl 9642	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR ) -> ( j x. k ) e. RR )
30	29	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( j x. k ) e. RR )
31		recn 9647	. . . . . . . . 9 |- ( j e. RR -> j e. CC )
32	31	3ad2ant1 1051	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> j e. CC )
33		recn 9647	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> k e. CC )
34	33	3ad2ant2 1052	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> k e. CC )
35		recn 9647	. . . . . . . . 9 |- ( l e. RR -> l e. CC )
36	35	3ad2ant3 1053	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> l e. CC )
37	32, 34, 36	mulassd 9684	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
38	37	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
39		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L < M )
40	39	olcd 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M < L \/ L < M ) )
41	20, 16	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
42	41	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
43		lttri2 9734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
45	40, 44	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
46	45	neneqd 2648	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
47		uzp1 11216	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
48	17, 47	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
49	48	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
50	49	ord 384	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( -. M = L -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
51	46, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
52	6	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ZZ )
53		uzid 11197	. . . . . . 7 |- ( L e. ZZ -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
54	52, 53	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
55		fmul01lt1lem1.2	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ph
56		nfv 1769	. . . . . . . . . 10 |- F/ i j e. ( L ... M )
57	55, 56	nfan 2031	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ j e. ( L ... M ) )
58		fmul01lt1lem1.1	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i B
59		nfcv 2612	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i j
60	58, 59	nffv 5886	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( B ` j )
61	60	nfel1 2626	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( B ` j ) e. RR
62	57, 61	nfim 2023	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
63		eleq1 2537	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( i e. ( L ... M ) <-> j e. ( L ... M ) ) )
64	63	anbi2d 718	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) ) )
65		fveq2 5879	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
66	65	eleq1d 2533	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` j ) e. RR ) )
67	64, 66	imbi12d 327	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR ) ) )
68		fmul01lt1lem1.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
69	62, 67, 68	chvar 2119	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
70	69	adantlr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
71	30, 38, 51, 54, 70	seqsplit 12284	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) )
72		eluzfz1 11832	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L e. ( L ... M ) )
73	17, 72	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( L ... M ) )
74	73	ancli 560	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) )
75		nfv 1769	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i L e. ( L ... M )
76	55, 75	nfan 2031	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ph /\ L e. ( L ... M ) )
77		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i L
78	58, 77	nffv 5886	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( B ` L )
79	78	nfel1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( B ` L ) e. RR
80	76, 79	nfim 2023	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR )
81		eleq1 2537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( i e. ( L ... M ) <-> L e. ( L ... M ) ) )
82	81	anbi2d 718	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) ) )
83		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( B ` i ) = ( B ` L ) )
84	83	eleq1d 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` L ) e. RR ) )
85	82, 84	imbi12d 327	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) ) )
86	80, 85, 68	vtoclg1f 3092	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) )
87	73, 74, 86	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ` L ) e. RR )
88	8, 87	eqeltrd 2549	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
89	88	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
90	6	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
91	19	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
92		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. ZZ )
93	92	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ZZ )
94	90, 91, 93	3jca 1210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
95	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
96		peano2re 9824	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. RR -> ( L + 1 ) e. RR )
97	16, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. RR )
98	97	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
99	92	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. RR )
100	99	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. RR )
101	16	lep1d 10560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L <_ ( L + 1 ) )
102	101	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
103		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ j )
104	103	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ j )
105	95, 98, 100, 102, 104	letrd 9809	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ j )
106		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j <_ M )
107	106	adantl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j <_ M )
108	105, 107	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ j /\ j <_ M ) )
109		elfz2 11817	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) /\ ( L <_ j /\ j <_ M ) ) )
110	94, 108, 109	sylanbrc 677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ( L ... M ) )
111	110, 69	syldan 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
112	111	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
113	51, 112, 30	seqcl 12271	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) e. RR )
114	89, 113	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) e. RR )
115		fmul01lt1lem1.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
116	115	rpred 11364	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR )
117	116	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> E e. RR )
118		1red 9676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 1 e. RR )
119		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i 0
120		nfcv 2612	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i <_
121	119, 120, 78	nfbr 4440	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i 0 <_ ( B ` L )
122	76, 121	nfim 2023	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) )
123	83	breq2d 4407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` L ) ) )
124	82, 123	imbi12d 327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) ) )
125		fmul01lt1lem1.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
126	122, 124, 125	vtoclg1f 3092	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) )
127	73, 74, 126	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` L ) )
128	127, 8	breqtrrd 4422	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
129	128	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
130		nfv 1769	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i L < M
131	55, 130	nfan 2031	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ L < M )
132		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- seq ( L + 1 ) ( x. , B ) = seq ( L + 1 ) ( x. , B )
133	6	peano2zd 11066	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. ZZ )
134	133	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
135	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. RR )
136	135, 39	gtned 9787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
137	136	neneqd 2648	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
138	17	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
139	138, 47	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
140		orel1 389	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. M = L -> ( ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
141	137, 139, 140	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
142	19	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ZZ )
143	134, 142, 142	3jca 1210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
144		zltp1le 11010	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
145	52, 142, 144	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
146	39, 145	mpbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) <_ M )
147	20	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. RR )
148	147	leidd 10201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M <_ M )
149	146, 148	jca 541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) )
150		elfz2 11817	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ( L + 1 ) ... M ) <-> ( ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) ) )
151	143, 149, 150	sylanbrc 677	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ( L + 1 ) ... M ) )
152	6	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
153	19	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
154		elfzelz 11826	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. ZZ )
155	154	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
156	152, 153, 155	3jca 1210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
157	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
158	157, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
159	154	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. RR )
160	159	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
161	101	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
162		elfzle1 11828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ i )
163	162	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
164	157, 158, 160, 161, 163	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
165		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i <_ M )
166	165	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
167	164, 166	jca 541	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
168		elfz2 11817	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( L <_ i /\ i <_ M ) ) )
169	156, 167, 168	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
170	169, 68	syldan 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
171	170	adantlr 729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
172		simpll 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ph )
173	6	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
174	19	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
175	154	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
176	173, 174, 175	3jca 1210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
177	16	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
178	97	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
179	159	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
180	101	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
181	162	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
182	177, 178, 179, 180, 181	letrd 9809	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
183	165	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
184	182, 183	jca 541	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
185	176, 184, 168	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
186	172, 185, 125	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
187		fmul01lt1lem1.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
188	172, 185, 187	syl2anc 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
189	58, 131, 132, 134, 141, 151, 171, 186, 188	fmul01 37755	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( 0 <_ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) /\ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 ) )
190	189	simprd 470	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 )
191	113, 118, 89, 129, 190	lemul2ad 10569	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) )
192	88	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. CC )
193	192	mulid1d 9678	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
194	193	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
195	191, 194	breqtrd 4420	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
196	8, 11	eqbrtrd 4416	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
197	196	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
198	114, 89, 117, 195, 197	lelttrd 9810	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) < E )
199	71, 198	eqbrtrd 4416	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) < E )
200	28, 199	syl5eqbr 4429	. . 3 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( A ` M ) < E )
201	27, 200	syldan 478	. 2 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( A ` M ) < E )
202	13, 201	pm2.61dan 808	1 |- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   F/wnf 1675   e. wcel 1904   F/_wnfc 2599   =/= wne 2641   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   seqcseq 12251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252

This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  37760