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Theorem fmul01lt1lem1 29718
 Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1
fmul01lt1lem1.2
fmul01lt1lem1.3
fmul01lt1lem1.4
fmul01lt1lem1.5
fmul01lt1lem1.6
fmul01lt1lem1.7
fmul01lt1lem1.8
fmul01lt1lem1.9
fmul01lt1lem1.10
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5
21fveq2d 5690 . . . 4
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
54fveq1d 5688 . . . 4
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6
7 seq1 11811 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
98adantr 465 . . . 4
102, 5, 93eqtrd 2474 . . 3
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4
1310, 12eqbrtrd 4307 . 2
14 simpr 461 . . . . 5
15 df-ne 2603 . . . . 5
1614, 15sylibr 212 . . . 4
176zred 10739 . . . . . . 7
18 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9
19 eluzelz 10862 . . . . . . . . 9
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8
2120zred 10739 . . . . . . 7
22 eluzle 10865 . . . . . . . 8
2318, 22syl 16 . . . . . . 7
2417, 21, 233jca 1168 . . . . . 6
2524adantr 465 . . . . 5
26 leltne 9456 . . . . 5
2725, 26syl 16 . . . 4
2816, 27mpbird 232 . . 3
293fveq1i 5687 . . . 4
30 remulcl 9359 . . . . . . 7
3130adantl 466 . . . . . 6
32 recn 9364 . . . . . . . . 9
33323ad2ant1 1009 . . . . . . . 8
34 recn 9364 . . . . . . . . 9
35343ad2ant2 1010 . . . . . . . 8
36 recn 9364 . . . . . . . . 9
37363ad2ant3 1011 . . . . . . . 8
3833, 35, 37mulassd 9401 . . . . . . 7
3938adantl 466 . . . . . 6
40 simpr 461 . . . . . . . . . 10
4140olcd 393 . . . . . . . . 9
4221, 17jca 532 . . . . . . . . . . 11
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10
44 lttri2 9449 . . . . . . . . . 10
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9
4641, 45mpbird 232 . . . . . . . 8
4746neneqd 2619 . . . . . . 7
48 uzp1 10886 . . . . . . . . . 10
4918, 48syl 16 . . . . . . . . 9
5049adantr 465 . . . . . . . 8
5150ord 377 . . . . . . 7
5247, 51mpd 15 . . . . . 6
536adantr 465 . . . . . . 7
54 uzid 10867 . . . . . . 7
5553, 54syl 16 . . . . . 6
56 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10
57 nfv 1673 . . . . . . . . . 10
5856, 57nfan 1860 . . . . . . . . 9
59 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11
60 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11
6159, 60nffv 5693 . . . . . . . . . 10
6261nfel1 2584 . . . . . . . . 9
6358, 62nfim 1852 . . . . . . . 8
64 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10
6564anbi2d 703 . . . . . . . . 9
66 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10
6766eleq1d 2504 . . . . . . . . 9
6865, 67imbi12d 320 . . . . . . . 8
69 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8
7063, 68, 69chvar 1957 . . . . . . 7
7170adantlr 714 . . . . . 6
7231, 39, 52, 55, 71seqsplit 11831 . . . . 5
73 eluzfz1 11450 . . . . . . . . . . 11
7418, 73syl 16 . . . . . . . . . 10
7574ancli 551 . . . . . . . . . 10
76 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13
7756, 76nfan 1860 . . . . . . . . . . . 12
78 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
7959, 78nffv 5693 . . . . . . . . . . . . 13
8079nfel1 2584 . . . . . . . . . . . 12
8177, 80nfim 1852 . . . . . . . . . . 11
82 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13
8382anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12
84 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13
8584eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12
8683, 85imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
8781, 86, 69vtoclg1f 3024 . . . . . . . . . 10
8874, 75, 87sylc 60 . . . . . . . . 9
898, 88eqeltrd 2512 . . . . . . . 8
9089adantr 465 . . . . . . 7
916adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
9220adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
93 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . 13
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
9591, 92, 943jca 1168 . . . . . . . . . . 11
9617adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
97 peano2re 9534 . . . . . . . . . . . . . . 15
9817, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
10093zred 10739 . . . . . . . . . . . . . 14
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
10217lep1d 10256 . . . . . . . . . . . . . 14
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
104 elfzle1 11446 . . . . . . . . . . . . . 14
105104adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
10696, 99, 101, 103, 105letrd 9520 . . . . . . . . . . . 12
107 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . 13
108107adantl 466 . . . . . . . . . . . 12
109106, 108jca 532 . . . . . . . . . . 11
110 elfz2 11436 . . . . . . . . . . 11
11195, 109, 110sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
112111, 70syldan 470 . . . . . . . . 9
113112adantlr 714 . . . . . . . 8
11452, 113, 31seqcl 11818 . . . . . . 7
11590, 114remulcld 9406 . . . . . 6
116 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8
117116rpred 11019 . . . . . . 7
118117adantr 465 . . . . . 6
119 1re 9377 . . . . . . . . 9
120119a1i 11 . . . . . . . 8
121 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
122 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
123121, 122, 79nfbr 4331 . . . . . . . . . . . . 13
12477, 123nfim 1852 . . . . . . . . . . . 12
12584breq2d 4299 . . . . . . . . . . . . 13
12683, 125imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12
127 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12
128124, 126, 127vtoclg1f 3024 . . . . . . . . . . 11
12974, 75, 128sylc 60 . . . . . . . . . 10
130129, 8breqtrrd 4313 . . . . . . . . 9
131130adantr 465 . . . . . . . 8
132 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11
13356, 132nfan 1860 . . . . . . . . . 10
134 eqid 2438 . . . . . . . . . 10
1356peano2zd 10742 . . . . . . . . . . 11
136135adantr 465 . . . . . . . . . 10
13717adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
138137, 40gtned 9501 . . . . . . . . . . . 12
139138neneqd 2619 . . . . . . . . . . 11
14018adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
141140, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11
142 orel1 382 . . . . . . . . . . 11
143139, 141, 142sylc 60 . . . . . . . . . 10
14420adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
145136, 144, 1443jca 1168 . . . . . . . . . . 11
146 zltp1le 10686 . . . . . . . . . . . . . 14
14753, 144, 146syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
14840, 147mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
14921adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
150149leidd 9898 . . . . . . . . . . . 12
151148, 150jca 532 . . . . . . . . . . 11
152 elfz2 11436 . . . . . . . . . . 11
153145, 151, 152sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10
1546adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
15520adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
156 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15
157156adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
158154, 155, 1573jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13
15917adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
160159, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
161156zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16
162161adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
163102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
164 elfzle1 11446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
165164adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15
166159, 160, 162, 163, 165letrd 9520 . . . . . . . . . . . . . 14
167 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . . . 15
168167adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
169166, 168jca 532 . . . . . . . . . . . . 13
170 elfz2 11436 . . . . . . . . . . . . 13
171158, 169, 170sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12
172171, 69syldan 470 . . . . . . . . . . 11
173172adantlr 714 . . . . . . . . . 10
174 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
1756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
17620ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
177156adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
178175, 176, 1773jca 1168 . . . . . . . . . . . 12
17917ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
18098ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
181161adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
182102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
183164adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
184179, 180, 181, 182, 183letrd 9520 . . . . . . . . . . . . 13
185167adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13
186184, 185jca 532 . . . . . . . . . . . 12
187178, 186, 170sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11
188174, 187, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
189 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11
190174, 187, 189syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
19159, 133, 134, 136, 143, 153, 173, 188, 190fmul01 29714 . . . . . . . . 9
192191simprd 463 . . . . . . . 8
193114, 120, 90, 131, 192lemul2ad 10265 . . . . . . 7
19489recnd 9404 . . . . . . . . 9
195194mulid1d 9395 . . . . . . . 8
196195adantr 465 . . . . . . 7
197193, 196breqtrd 4311 . . . . . 6
1988, 11eqbrtrd 4307 . . . . . . 7
199198adantr 465 . . . . . 6
200115, 90, 118, 197, 199lelttrd 9521 . . . . 5
20172, 200eqbrtrd 4307 . . . 4
20229, 201syl5eqbr 4320 . . 3
20328, 202syldan 470 . 2
20413, 203pm2.61dan 789 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 965   wceq 1369  wnf 1589   wcel 1756  wnfc 2561   wne 2601   class class class wbr 4287  cfv 5413  (class class class)co 6086  cc 9272  cr 9273  cc0 9274  c1 9275   caddc 9277   cmul 9279   clt 9410   cle 9411  cz 10638  cuz 10853  crp 10983  cfz 11429   cseq 11798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799 This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  29719
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