Theorem fmul01lt1lem1 29718

Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1lem1.1	|- F/_ i B
fmul01lt1lem1.2	|- F/ i ph
fmul01lt1lem1.3	|- A = seq L ( x. , B )
fmul01lt1lem1.4	|- ( ph -> L e. ZZ )
fmul01lt1lem1.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
fmul01lt1lem1.6	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
fmul01lt1lem1.7	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
fmul01lt1lem1.8	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
fmul01lt1lem1.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
fmul01lt1lem1.10	|- ( ph -> ( B ` L ) < E )

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1lem1	|- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Distinct variable groups:   i, L   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( i)   B( i)   E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1

Dummy variables j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> M = L )
2	1	fveq2d 5690	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( A ` L ) )
3		fmul01lt1lem1.3	. . . . . 6 |- A = seq L ( x. , B )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> A = seq L ( x. , B ) )
5	4	fveq1d 5688	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` L ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
6		fmul01lt1lem1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. ZZ )
7		seq1 11811	. . . . . 6 |- ( L e. ZZ -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
9	8	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
10	2, 5, 9	3eqtrd 2474	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( B ` L ) )
11		fmul01lt1lem1.10	. . . 4 |- ( ph -> ( B ` L ) < E )
12	11	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( B ` L ) < E )
13	10, 12	eqbrtrd 4307	. 2 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) < E )
14		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> -. M = L )
15		df-ne 2603	. . . . 5 |- ( M =/= L <-> -. M = L )
16	14, 15	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> M =/= L )
17	6	zred 10739	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. RR )
18		fmul01lt1lem1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
19		eluzelz 10862	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> M e. ZZ )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
21	20	zred 10739	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
22		eluzle 10865	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L <_ M )
23	18, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> L <_ M )
24	17, 21, 23	3jca 1168	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
25	24	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
26		leltne 9456	. . . . 5 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
27	25, 26	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
28	16, 27	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> L < M )
29	3	fveq1i 5687	. . . 4 |- ( A ` M ) = ( seq L ( x. , B ) ` M )
30		remulcl 9359	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR ) -> ( j x. k ) e. RR )
31	30	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( j x. k ) e. RR )
32		recn 9364	. . . . . . . . 9 |- ( j e. RR -> j e. CC )
33	32	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> j e. CC )
34		recn 9364	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> k e. CC )
35	34	3ad2ant2 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> k e. CC )
36		recn 9364	. . . . . . . . 9 |- ( l e. RR -> l e. CC )
37	36	3ad2ant3 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> l e. CC )
38	33, 35, 37	mulassd 9401	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
39	38	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
40		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L < M )
41	40	olcd 393	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M < L \/ L < M ) )
42	21, 17	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
44		lttri2 9449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
46	41, 45	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
47	46	neneqd 2619	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
48		uzp1 10886	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
49	18, 48	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
50	49	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
51	50	ord 377	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( -. M = L -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
52	47, 51	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
53	6	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ZZ )
54		uzid 10867	. . . . . . 7 |- ( L e. ZZ -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
56		fmul01lt1lem1.2	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ph
57		nfv 1673	. . . . . . . . . 10 |- F/ i j e. ( L ... M )
58	56, 57	nfan 1860	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ j e. ( L ... M ) )
59		fmul01lt1lem1.1	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i B
60		nfcv 2574	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i j
61	59, 60	nffv 5693	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( B ` j )
62	61	nfel1 2584	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( B ` j ) e. RR
63	58, 62	nfim 1852	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
64		eleq1 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( i e. ( L ... M ) <-> j e. ( L ... M ) ) )
65	64	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) ) )
66		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
67	66	eleq1d 2504	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` j ) e. RR ) )
68	65, 67	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR ) ) )
69		fmul01lt1lem1.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
70	63, 68, 69	chvar 1957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
71	70	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
72	31, 39, 52, 55, 71	seqsplit 11831	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) )
73		eluzfz1 11450	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L e. ( L ... M ) )
74	18, 73	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( L ... M ) )
75	74	ancli 551	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) )
76		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i L e. ( L ... M )
77	56, 76	nfan 1860	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ph /\ L e. ( L ... M ) )
78		nfcv 2574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i L
79	59, 78	nffv 5693	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( B ` L )
80	79	nfel1 2584	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( B ` L ) e. RR
81	77, 80	nfim 1852	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR )
82		eleq1 2498	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( i e. ( L ... M ) <-> L e. ( L ... M ) ) )
83	82	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) ) )
84		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( B ` i ) = ( B ` L ) )
85	84	eleq1d 2504	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` L ) e. RR ) )
86	83, 85	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) ) )
87	81, 86, 69	vtoclg1f 3024	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) )
88	74, 75, 87	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ` L ) e. RR )
89	8, 88	eqeltrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
90	89	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
91	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
92	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
93		elfzelz 11445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. ZZ )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ZZ )
95	91, 92, 94	3jca 1168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
96	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
97		peano2re 9534	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. RR -> ( L + 1 ) e. RR )
98	17, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. RR )
99	98	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
100	93	zred 10739	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. RR )
101	100	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. RR )
102	17	lep1d 10256	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L <_ ( L + 1 ) )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
104		elfzle1 11446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ j )
105	104	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ j )
106	96, 99, 101, 103, 105	letrd 9520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ j )
107		elfzle2 11447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j <_ M )
108	107	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j <_ M )
109	106, 108	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ j /\ j <_ M ) )
110		elfz2 11436	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) /\ ( L <_ j /\ j <_ M ) ) )
111	95, 109, 110	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ( L ... M ) )
112	111, 70	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
113	112	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
114	52, 113, 31	seqcl 11818	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) e. RR )
115	90, 114	remulcld 9406	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) e. RR )
116		fmul01lt1lem1.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
117	116	rpred 11019	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR )
118	117	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> E e. RR )
119		1re 9377	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
120	119	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 1 e. RR )
121		nfcv 2574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i 0
122		nfcv 2574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i <_
123	121, 122, 79	nfbr 4331	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i 0 <_ ( B ` L )
124	77, 123	nfim 1852	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) )
125	84	breq2d 4299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` L ) ) )
126	83, 125	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) ) )
127		fmul01lt1lem1.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
128	124, 126, 127	vtoclg1f 3024	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) )
129	74, 75, 128	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` L ) )
130	129, 8	breqtrrd 4313	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
131	130	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
132		nfv 1673	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i L < M
133	56, 132	nfan 1860	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ L < M )
134		eqid 2438	. . . . . . . . . 10 |- seq ( L + 1 ) ( x. , B ) = seq ( L + 1 ) ( x. , B )
135	6	peano2zd 10742	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. ZZ )
136	135	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
137	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. RR )
138	137, 40	gtned 9501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
139	138	neneqd 2619	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
140	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
141	140, 48	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
142		orel1 382	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. M = L -> ( ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
143	139, 141, 142	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
144	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ZZ )
145	136, 144, 144	3jca 1168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
146		zltp1le 10686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
147	53, 144, 146	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
148	40, 147	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) <_ M )
149	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. RR )
150	149	leidd 9898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M <_ M )
151	148, 150	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) )
152		elfz2 11436	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ( L + 1 ) ... M ) <-> ( ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) ) )
153	145, 151, 152	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ( L + 1 ) ... M ) )
154	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
155	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
156		elfzelz 11445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. ZZ )
157	156	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
158	154, 155, 157	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
159	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
160	159, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
161	156	zred 10739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. RR )
162	161	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
163	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
164		elfzle1 11446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ i )
165	164	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
166	159, 160, 162, 163, 165	letrd 9520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
167		elfzle2 11447	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i <_ M )
168	167	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
169	166, 168	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
170		elfz2 11436	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( L <_ i /\ i <_ M ) ) )
171	158, 169, 170	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
172	171, 69	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
173	172	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
174		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ph )
175	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
176	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
177	156	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
178	175, 176, 177	3jca 1168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
179	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
180	98	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
181	161	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
182	102	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
183	164	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
184	179, 180, 181, 182, 183	letrd 9520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
185	167	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
186	184, 185	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
187	178, 186, 170	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
188	174, 187, 127	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
189		fmul01lt1lem1.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
190	174, 187, 189	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
191	59, 133, 134, 136, 143, 153, 173, 188, 190	fmul01 29714	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( 0 <_ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) /\ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 ) )
192	191	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 )
193	114, 120, 90, 131, 192	lemul2ad 10265	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) )
194	89	recnd 9404	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. CC )
195	194	mulid1d 9395	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
196	195	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
197	193, 196	breqtrd 4311	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
198	8, 11	eqbrtrd 4307	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
199	198	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
200	115, 90, 118, 197, 199	lelttrd 9521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) < E )
201	72, 200	eqbrtrd 4307	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) < E )
202	29, 201	syl5eqbr 4320	. . 3 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( A ` M ) < E )
203	28, 202	syldan 470	. 2 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( A ` M ) < E )
204	13, 203	pm2.61dan 789	1 |- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   F/wnf 1589   e. wcel 1756   F/_wnfc 2561   =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   < clt 9410   <_ cle 9411   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ...cfz 11429   seqcseq 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799

This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  29719