Theorem fmul01lt1lem1 31739

Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1lem1.1	|- F/_ i B
fmul01lt1lem1.2	|- F/ i ph
fmul01lt1lem1.3	|- A = seq L ( x. , B )
fmul01lt1lem1.4	|- ( ph -> L e. ZZ )
fmul01lt1lem1.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
fmul01lt1lem1.6	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
fmul01lt1lem1.7	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
fmul01lt1lem1.8	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
fmul01lt1lem1.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
fmul01lt1lem1.10	|- ( ph -> ( B ` L ) < E )

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1lem1	|- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Distinct variable groups:   i, L   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( i)   B( i)   E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1

Dummy variables j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> M = L )
2	1	fveq2d 5876	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( A ` L ) )
3		fmul01lt1lem1.3	. . . . . 6 |- A = seq L ( x. , B )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> A = seq L ( x. , B ) )
5	4	fveq1d 5874	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` L ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
6		fmul01lt1lem1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. ZZ )
7		seq1 12122	. . . . . 6 |- ( L e. ZZ -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
9	8	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
10	2, 5, 9	3eqtrd 2502	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( B ` L ) )
11		fmul01lt1lem1.10	. . . 4 |- ( ph -> ( B ` L ) < E )
12	11	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( B ` L ) < E )
13	10, 12	eqbrtrd 4476	. 2 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) < E )
14		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> -. M = L )
15	14	neqned 2660	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> M =/= L )
16	6	zred 10990	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. RR )
17		fmul01lt1lem1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
18		eluzelz 11115	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> M e. ZZ )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
20	19	zred 10990	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
21		eluzle 11118	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L <_ M )
22	17, 21	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> L <_ M )
23	16, 20, 22	3jca 1176	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
24	23	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
25		leltne 9691	. . . . 5 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
26	24, 25	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
27	15, 26	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> L < M )
28	3	fveq1i 5873	. . . 4 |- ( A ` M ) = ( seq L ( x. , B ) ` M )
29		remulcl 9594	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR ) -> ( j x. k ) e. RR )
30	29	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( j x. k ) e. RR )
31		recn 9599	. . . . . . . . 9 |- ( j e. RR -> j e. CC )
32	31	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> j e. CC )
33		recn 9599	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> k e. CC )
34	33	3ad2ant2 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> k e. CC )
35		recn 9599	. . . . . . . . 9 |- ( l e. RR -> l e. CC )
36	35	3ad2ant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> l e. CC )
37	32, 34, 36	mulassd 9636	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
38	37	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
39		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L < M )
40	39	olcd 393	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M < L \/ L < M ) )
41	20, 16	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
42	41	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
43		lttri2 9684	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
45	40, 44	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
46	45	neneqd 2659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
47		uzp1 11139	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
48	17, 47	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
49	48	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
50	49	ord 377	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( -. M = L -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
51	46, 50	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
52	6	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ZZ )
53		uzid 11120	. . . . . . 7 |- ( L e. ZZ -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
54	52, 53	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
55		fmul01lt1lem1.2	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ph
56		nfv 1708	. . . . . . . . . 10 |- F/ i j e. ( L ... M )
57	55, 56	nfan 1929	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ j e. ( L ... M ) )
58		fmul01lt1lem1.1	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i B
59		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i j
60	58, 59	nffv 5879	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( B ` j )
61	60	nfel1 2635	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( B ` j ) e. RR
62	57, 61	nfim 1921	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
63		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( i e. ( L ... M ) <-> j e. ( L ... M ) ) )
64	63	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) ) )
65		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
66	65	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` j ) e. RR ) )
67	64, 66	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR ) ) )
68		fmul01lt1lem1.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
69	62, 67, 68	chvar 2014	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
70	69	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
71	30, 38, 51, 54, 70	seqsplit 12142	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) )
72		eluzfz1 11718	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L e. ( L ... M ) )
73	17, 72	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( L ... M ) )
74	73	ancli 551	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) )
75		nfv 1708	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i L e. ( L ... M )
76	55, 75	nfan 1929	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ph /\ L e. ( L ... M ) )
77		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i L
78	58, 77	nffv 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( B ` L )
79	78	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( B ` L ) e. RR
80	76, 79	nfim 1921	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR )
81		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( i e. ( L ... M ) <-> L e. ( L ... M ) ) )
82	81	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) ) )
83		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( B ` i ) = ( B ` L ) )
84	83	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` L ) e. RR ) )
85	82, 84	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) ) )
86	80, 85, 68	vtoclg1f 3166	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) )
87	73, 74, 86	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ` L ) e. RR )
88	8, 87	eqeltrd 2545	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
89	88	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
90	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
91	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
92		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. ZZ )
93	92	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ZZ )
94	90, 91, 93	3jca 1176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
95	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
96		peano2re 9770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. RR -> ( L + 1 ) e. RR )
97	16, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. RR )
98	97	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
99	92	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. RR )
100	99	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. RR )
101	16	lep1d 10497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L <_ ( L + 1 ) )
102	101	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
103		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ j )
104	103	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ j )
105	95, 98, 100, 102, 104	letrd 9756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ j )
106		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j <_ M )
107	106	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j <_ M )
108	105, 107	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ j /\ j <_ M ) )
109		elfz2 11704	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) /\ ( L <_ j /\ j <_ M ) ) )
110	94, 108, 109	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ( L ... M ) )
111	110, 69	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
112	111	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
113	51, 112, 30	seqcl 12129	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) e. RR )
114	89, 113	remulcld 9641	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) e. RR )
115		fmul01lt1lem1.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
116	115	rpred 11281	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR )
117	116	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> E e. RR )
118		1red 9628	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 1 e. RR )
119		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i 0
120		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i <_
121	119, 120, 78	nfbr 4500	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i 0 <_ ( B ` L )
122	76, 121	nfim 1921	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) )
123	83	breq2d 4468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` L ) ) )
124	82, 123	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) ) )
125		fmul01lt1lem1.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
126	122, 124, 125	vtoclg1f 3166	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) )
127	73, 74, 126	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` L ) )
128	127, 8	breqtrrd 4482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
129	128	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
130		nfv 1708	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i L < M
131	55, 130	nfan 1929	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ L < M )
132		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- seq ( L + 1 ) ( x. , B ) = seq ( L + 1 ) ( x. , B )
133	6	peano2zd 10993	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. ZZ )
134	133	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
135	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. RR )
136	135, 39	gtned 9737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
137	136	neneqd 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
138	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
139	138, 47	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
140		orel1 382	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. M = L -> ( ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
141	137, 139, 140	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
142	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ZZ )
143	134, 142, 142	3jca 1176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
144		zltp1le 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
145	52, 142, 144	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
146	39, 145	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) <_ M )
147	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. RR )
148	147	leidd 10140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M <_ M )
149	146, 148	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) )
150		elfz2 11704	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ( L + 1 ) ... M ) <-> ( ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) ) )
151	143, 149, 150	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ( L + 1 ) ... M ) )
152	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
153	19	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
154		elfzelz 11713	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. ZZ )
155	154	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
156	152, 153, 155	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
157	16	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
158	157, 96	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
159	154	zred 10990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. RR )
160	159	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
161	101	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
162		elfzle1 11714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ i )
163	162	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
164	157, 158, 160, 161, 163	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
165		elfzle2 11715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i <_ M )
166	165	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
167	164, 166	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
168		elfz2 11704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( L <_ i /\ i <_ M ) ) )
169	156, 167, 168	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
170	169, 68	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
171	170	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
172		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ph )
173	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
174	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
175	154	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
176	173, 174, 175	3jca 1176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
177	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
178	97	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
179	159	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
180	101	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
181	162	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
182	177, 178, 179, 180, 181	letrd 9756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
183	165	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
184	182, 183	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
185	176, 184, 168	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
186	172, 185, 125	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
187		fmul01lt1lem1.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
188	172, 185, 187	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
189	58, 131, 132, 134, 141, 151, 171, 186, 188	fmul01 31735	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( 0 <_ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) /\ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 ) )
190	189	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 )
191	113, 118, 89, 129, 190	lemul2ad 10506	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) )
192	88	recnd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. CC )
193	192	mulid1d 9630	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
194	193	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
195	191, 194	breqtrd 4480	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
196	8, 11	eqbrtrd 4476	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
197	196	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
198	114, 89, 117, 195, 197	lelttrd 9757	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) < E )
199	71, 198	eqbrtrd 4476	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) < E )
200	28, 199	syl5eqbr 4489	. . 3 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( A ` M ) < E )
201	27, 200	syldan 470	. 2 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( A ` M ) < E )
202	13, 201	pm2.61dan 791	1 |- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   F/wnf 1617   e. wcel 1819   F/_wnfc 2605   =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   < clt 9645   <_ cle 9646   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697   seqcseq 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110

This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  31740