Theorem fmul01lt1lem1 29906

Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1lem1.1	|- F/_ i B
fmul01lt1lem1.2	|- F/ i ph
fmul01lt1lem1.3	|- A = seq L ( x. , B )
fmul01lt1lem1.4	|- ( ph -> L e. ZZ )
fmul01lt1lem1.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
fmul01lt1lem1.6	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
fmul01lt1lem1.7	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
fmul01lt1lem1.8	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
fmul01lt1lem1.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
fmul01lt1lem1.10	|- ( ph -> ( B ` L ) < E )

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1lem1	|- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Distinct variable groups:   i, L   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( i)   B( i)   E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1

Dummy variables j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> M = L )
2	1	fveq2d 5796	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( A ` L ) )
3		fmul01lt1lem1.3	. . . . . 6 |- A = seq L ( x. , B )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> A = seq L ( x. , B ) )
5	4	fveq1d 5794	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` L ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
6		fmul01lt1lem1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. ZZ )
7		seq1 11929	. . . . . 6 |- ( L e. ZZ -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
9	8	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
10	2, 5, 9	3eqtrd 2496	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( B ` L ) )
11		fmul01lt1lem1.10	. . . 4 |- ( ph -> ( B ` L ) < E )
12	11	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( B ` L ) < E )
13	10, 12	eqbrtrd 4413	. 2 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) < E )
14		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> -. M = L )
15		df-ne 2646	. . . . 5 |- ( M =/= L <-> -. M = L )
16	14, 15	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> M =/= L )
17	6	zred 10851	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. RR )
18		fmul01lt1lem1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
19		eluzelz 10974	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> M e. ZZ )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
21	20	zred 10851	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
22		eluzle 10977	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L <_ M )
23	18, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> L <_ M )
24	17, 21, 23	3jca 1168	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
25	24	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
26		leltne 9568	. . . . 5 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
27	25, 26	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
28	16, 27	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> L < M )
29	3	fveq1i 5793	. . . 4 |- ( A ` M ) = ( seq L ( x. , B ) ` M )
30		remulcl 9471	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR ) -> ( j x. k ) e. RR )
31	30	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( j x. k ) e. RR )
32		recn 9476	. . . . . . . . 9 |- ( j e. RR -> j e. CC )
33	32	3ad2ant1 1009	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> j e. CC )
34		recn 9476	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> k e. CC )
35	34	3ad2ant2 1010	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> k e. CC )
36		recn 9476	. . . . . . . . 9 |- ( l e. RR -> l e. CC )
37	36	3ad2ant3 1011	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> l e. CC )
38	33, 35, 37	mulassd 9513	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
39	38	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
40		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L < M )
41	40	olcd 393	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M < L \/ L < M ) )
42	21, 17	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
44		lttri2 9561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
46	41, 45	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
47	46	neneqd 2651	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
48		uzp1 10998	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
49	18, 48	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
50	49	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
51	50	ord 377	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( -. M = L -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
52	47, 51	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
53	6	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ZZ )
54		uzid 10979	. . . . . . 7 |- ( L e. ZZ -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
56		fmul01lt1lem1.2	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ph
57		nfv 1674	. . . . . . . . . 10 |- F/ i j e. ( L ... M )
58	56, 57	nfan 1863	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ j e. ( L ... M ) )
59		fmul01lt1lem1.1	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i B
60		nfcv 2613	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i j
61	59, 60	nffv 5799	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( B ` j )
62	61	nfel1 2628	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( B ` j ) e. RR
63	58, 62	nfim 1855	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
64		eleq1 2523	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( i e. ( L ... M ) <-> j e. ( L ... M ) ) )
65	64	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) ) )
66		fveq2 5792	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
67	66	eleq1d 2520	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` j ) e. RR ) )
68	65, 67	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR ) ) )
69		fmul01lt1lem1.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
70	63, 68, 69	chvar 1966	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
71	70	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
72	31, 39, 52, 55, 71	seqsplit 11949	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) )
73		eluzfz1 11568	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L e. ( L ... M ) )
74	18, 73	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( L ... M ) )
75	74	ancli 551	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) )
76		nfv 1674	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i L e. ( L ... M )
77	56, 76	nfan 1863	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ph /\ L e. ( L ... M ) )
78		nfcv 2613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i L
79	59, 78	nffv 5799	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( B ` L )
80	79	nfel1 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( B ` L ) e. RR
81	77, 80	nfim 1855	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR )
82		eleq1 2523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( i e. ( L ... M ) <-> L e. ( L ... M ) ) )
83	82	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) ) )
84		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( B ` i ) = ( B ` L ) )
85	84	eleq1d 2520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` L ) e. RR ) )
86	83, 85	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) ) )
87	81, 86, 69	vtoclg1f 3128	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) )
88	74, 75, 87	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ` L ) e. RR )
89	8, 88	eqeltrd 2539	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
90	89	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
91	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
92	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
93		elfzelz 11563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. ZZ )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ZZ )
95	91, 92, 94	3jca 1168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
96	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
97		peano2re 9646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. RR -> ( L + 1 ) e. RR )
98	17, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. RR )
99	98	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
100	93	zred 10851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. RR )
101	100	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. RR )
102	17	lep1d 10368	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L <_ ( L + 1 ) )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
104		elfzle1 11564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ j )
105	104	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ j )
106	96, 99, 101, 103, 105	letrd 9632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ j )
107		elfzle2 11565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j <_ M )
108	107	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j <_ M )
109	106, 108	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ j /\ j <_ M ) )
110		elfz2 11554	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) /\ ( L <_ j /\ j <_ M ) ) )
111	95, 109, 110	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ( L ... M ) )
112	111, 70	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
113	112	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
114	52, 113, 31	seqcl 11936	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) e. RR )
115	90, 114	remulcld 9518	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) e. RR )
116		fmul01lt1lem1.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
117	116	rpred 11131	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR )
118	117	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> E e. RR )
119		1re 9489	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
120	119	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 1 e. RR )
121		nfcv 2613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i 0
122		nfcv 2613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i <_
123	121, 122, 79	nfbr 4437	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i 0 <_ ( B ` L )
124	77, 123	nfim 1855	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) )
125	84	breq2d 4405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` L ) ) )
126	83, 125	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) ) )
127		fmul01lt1lem1.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
128	124, 126, 127	vtoclg1f 3128	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) )
129	74, 75, 128	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` L ) )
130	129, 8	breqtrrd 4419	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
131	130	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
132		nfv 1674	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i L < M
133	56, 132	nfan 1863	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ L < M )
134		eqid 2451	. . . . . . . . . 10 |- seq ( L + 1 ) ( x. , B ) = seq ( L + 1 ) ( x. , B )
135	6	peano2zd 10854	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. ZZ )
136	135	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
137	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. RR )
138	137, 40	gtned 9613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
139	138	neneqd 2651	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
140	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
141	140, 48	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
142		orel1 382	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. M = L -> ( ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
143	139, 141, 142	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
144	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ZZ )
145	136, 144, 144	3jca 1168	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
146		zltp1le 10798	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
147	53, 144, 146	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
148	40, 147	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) <_ M )
149	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. RR )
150	149	leidd 10010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M <_ M )
151	148, 150	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) )
152		elfz2 11554	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ( L + 1 ) ... M ) <-> ( ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) ) )
153	145, 151, 152	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ( L + 1 ) ... M ) )
154	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
155	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
156		elfzelz 11563	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. ZZ )
157	156	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
158	154, 155, 157	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
159	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
160	159, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
161	156	zred 10851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. RR )
162	161	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
163	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
164		elfzle1 11564	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ i )
165	164	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
166	159, 160, 162, 163, 165	letrd 9632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
167		elfzle2 11565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i <_ M )
168	167	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
169	166, 168	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
170		elfz2 11554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( L <_ i /\ i <_ M ) ) )
171	158, 169, 170	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
172	171, 69	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
173	172	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
174		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ph )
175	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
176	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
177	156	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
178	175, 176, 177	3jca 1168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
179	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
180	98	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
181	161	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
182	102	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
183	164	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
184	179, 180, 181, 182, 183	letrd 9632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
185	167	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
186	184, 185	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
187	178, 186, 170	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
188	174, 187, 127	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
189		fmul01lt1lem1.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
190	174, 187, 189	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
191	59, 133, 134, 136, 143, 153, 173, 188, 190	fmul01 29902	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( 0 <_ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) /\ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 ) )
192	191	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 )
193	114, 120, 90, 131, 192	lemul2ad 10377	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) )
194	89	recnd 9516	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. CC )
195	194	mulid1d 9507	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
196	195	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
197	193, 196	breqtrd 4417	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
198	8, 11	eqbrtrd 4413	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
199	198	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
200	115, 90, 118, 197, 199	lelttrd 9633	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) < E )
201	72, 200	eqbrtrd 4413	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) < E )
202	29, 201	syl5eqbr 4426	. . 3 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( A ` M ) < E )
203	28, 202	syldan 470	. 2 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( A ` M ) < E )
204	13, 203	pm2.61dan 789	1 |- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   F/wnf 1590   e. wcel 1758   F/_wnfc 2599   =/= wne 2644   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   x. cmul 9391   < clt 9522   <_ cle 9523   ZZcz 10750   ZZ>=cuz 10965   RR+crp 11095   ...cfz 11547   seqcseq 11916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-seq 11917

This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  29907