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Theorem fmul01lt1lem1 37759
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1  |-  F/_ i B
fmul01lt1lem1.2  |-  F/ i
ph
fmul01lt1lem1.3  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
fmul01lt1lem1.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01lt1lem1.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01lt1lem1.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01lt1lem1.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01lt1lem1.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
fmul01lt1lem1.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fmul01lt1lem1.10  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Distinct variable groups:    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables  j 
k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  M  =  L )
21fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( A `  L ) )
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  A  =  seq L (  x.  ,  B ) )
54fveq1d 5881 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  L )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L ) )
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
7 seq1 12264 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
86, 7syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  =  ( B `  L
) )
98adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
102, 5, 93eqtrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( B `  L ) )
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
1211adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( B `  L )  <  E )
1310, 12eqbrtrd 4416 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
14 simpr 468 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  -.  M  =  L )
1514neqned 2650 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  M  =/=  L )
166zred 11063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
17 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
18 eluzelz 11192 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2019zred 11063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
21 eluzle 11195 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  <_  M )
2217, 21syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  <_  M )
2316, 20, 223jca 1210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
2423adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
25 leltne 9741 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
2624, 25syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
2715, 26mpbird 240 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  L  <  M )
283fveq1i 5880 . . . 4  |-  ( A `
 M )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 M )
29 remulcl 9642 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( j  x.  k
)  e.  RR )
3029adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  ->  ( j  x.  k )  e.  RR )
31 recn 9647 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  RR  ->  j  e.  CC )
32313ad2ant1 1051 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  j  e.  CC )
33 recn 9647 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  RR  ->  k  e.  CC )
34333ad2ant2 1052 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
35 recn 9647 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  RR  ->  l  e.  CC )
36353ad2ant3 1053 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  l  e.  CC )
3732, 34, 36mulassd 9684 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  (
( j  x.  k
)  x.  l )  =  ( j  x.  ( k  x.  l
) ) )
3837adantl 473 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR ) )  -> 
( ( j  x.  k )  x.  l
)  =  ( j  x.  ( k  x.  l ) ) )
39 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
4039olcd 400 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  <  L  \/  L  < 
M ) )
4120, 16jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
4241adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
43 lttri2 9734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  <  L  \/  L  <  M ) ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  < 
L  \/  L  < 
M ) ) )
4540, 44mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
4645neneqd 2648 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
47 uzp1 11216 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
4817, 47syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  (
ZZ>= `  ( L  + 
1 ) ) ) )
4948adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
5049ord 384 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( -.  M  =  L  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
5146, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
526adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ZZ )
53 uzid 11197 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
5452, 53syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
55 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i
ph
56 nfv 1769 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  j  e.  ( L ... M )
5755, 56nfan 2031 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  ( L ... M
) )
58 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i B
59 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
j
6058, 59nffv 5886 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( B `  j
)
6160nfel1 2626 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( B `  j
)  e.  RR
6257, 61nfim 2023 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR )
63 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  j  e.  ( L ... M ) ) )
6463anbi2d 718 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) ) ) )
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
6665eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  j )  e.  RR ) )
6764, 66imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR ) ) )
68 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
6962, 67, 68chvar 2119 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7069adantlr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7130, 38, 51, 54, 70seqsplit 12284 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  M
)  =  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) ) )
72 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  e.  ( L ... M ) )
7317, 72syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( L ... M ) )
7473ancli 560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) ) )
75 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  L  e.  ( L ... M )
7655, 75nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )
77 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i L
7858, 77nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  L
)
7978nfel1 2626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  L
)  e.  RR
8076, 79nfim 2023 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR )
81 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  L  e.  ( L ... M ) ) )
8281anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) ) ) )
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  ( B `  i )  =  ( B `  L ) )
8483eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  L )  e.  RR ) )
8582, 84imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR ) ) )
8680, 85, 68vtoclg1f 3092 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  L )  e.  RR ) )
8773, 74, 86sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  e.  RR )
888, 87eqeltrd 2549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  RR )
8988adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  e.  RR )
906adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
9119adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
92 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  ZZ )
9392adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ZZ )
9490, 91, 933jca 1210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
9516adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
96 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  RR  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9716, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9897adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9992zred 11063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  RR )
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  RR )
10116lep1d 10560 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
103 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
104103adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
10595, 98, 100, 102, 104letrd 9809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  j )
106 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  <_  M )
107106adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  <_  M )
108105, 107jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) )
109 elfz2 11817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
11094, 108, 109sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ( L ... M
) )
111110, 69syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
112111adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
11351, 112, 30seqcl 12271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR )
11489, 113remulcld 9689 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  e.  RR )
115 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
116115rpred 11364 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
117116adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E  e.  RR )
118 1red 9676 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  1  e.  RR )
119 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
0
120 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i  <_
121119, 120, 78nfbr 4440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i 0  <_  ( B `  L )
12276, 121nfim 2023 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) )
12383breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  L ) ) )
12482, 123imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  L ) ) ) )
125 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
126122, 124, 125vtoclg1f 3092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  L
) ) )
12773, 74, 126sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  L ) )
128127, 8breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
) )
129128adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L ) )
130 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  L  <  M
13155, 130nfan 2031 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  L  <  M )
132 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)  =  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)
1336peano2zd 11066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
134133adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
13516adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
136135, 39gtned 9787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
137136neneqd 2648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
13817adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L )
)
139138, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
140 orel1 389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  M  =  L  -> 
( ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
141137, 139, 140sylc 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
14219adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
143134, 142, 1423jca 1210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
144 zltp1le 11010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  +  1 )  <_  M ) )
14552, 142, 144syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  + 
1 )  <_  M
) )
14639, 145mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  <_  M )
14720adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
148147leidd 10201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  <_  M )
149146, 148jca 541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) )
150 elfz2 11817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  <->  ( (
( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
151143, 149, 150sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )
1526adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
15319adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
154 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  ZZ )
155154adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
156152, 153, 1553jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
15716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
158157, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
159154zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  RR )
160159adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
161101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
162 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
163162adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
164157, 158, 160, 161, 163letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
165 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  <_  M )
166165adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
167164, 166jca 541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
168 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
169156, 167, 168sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
170169, 68syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
171170adantlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
172 simpll 768 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ph )
1736ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
17419ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
175154adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
176173, 174, 1753jca 1210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
17716ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
17897ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
179159adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
180101ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
181162adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
182177, 178, 179, 180, 181letrd 9809 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
183165adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
184182, 183jca 541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
185176, 184, 168sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
186172, 185, 125syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  i
) )
187 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
188172, 185, 187syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  <_  1 )
18958, 131, 132, 134, 141, 151, 171, 186, 188fmul01 37755 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( 0  <_  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
) `  M )  /\  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
) `  M )  <_  1 ) )
190189simprd 470 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  1 )
191113, 118, 89, 129, 190lemul2ad 10569 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (
(  seq L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  1 ) )
19288recnd 9687 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  CC )
193192mulid1d 9678 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  seq L
(  x.  ,  B
) `  L )  x.  1 )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L ) )
194193adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  1 )  =  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  L )
)
195191, 194breqtrd 4420 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
) )
1968, 11eqbrtrd 4416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  < 
E )
197196adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  <  E )
198114, 89, 117, 195, 197lelttrd 9810 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <  E
)
19971, 198eqbrtrd 4416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  M
)  <  E )
20028, 199syl5eqbr 4429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( A `  M )  <  E
)
20127, 200syldan 478 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
20213, 201pm2.61dan 808 1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   F/wnf 1675    e. wcel 1904   F/_wnfc 2599    =/= wne 2641   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    seqcseq 12251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  37760
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