Theorem fmul01lt1lem1 31134

Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01lt1lem1.1	|- F/_ i B
fmul01lt1lem1.2	|- F/ i ph
fmul01lt1lem1.3	|- A = seq L ( x. , B )
fmul01lt1lem1.4	|- ( ph -> L e. ZZ )
fmul01lt1lem1.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
fmul01lt1lem1.6	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
fmul01lt1lem1.7	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
fmul01lt1lem1.8	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
fmul01lt1lem1.9	|- ( ph -> E e. RR+ )
fmul01lt1lem1.10	|- ( ph -> ( B ` L ) < E )

Assertion

Ref	Expression
fmul01lt1lem1	|- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Distinct variable groups:   i, L   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( i)   B( i)   E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1

Dummy variables j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> M = L )
2	1	fveq2d 5868	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( A ` L ) )
3		fmul01lt1lem1.3	. . . . . 6 |- A = seq L ( x. , B )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M = L ) -> A = seq L ( x. , B ) )
5	4	fveq1d 5866	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` L ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
6		fmul01lt1lem1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> L e. ZZ )
7		seq1 12084	. . . . . 6 |- ( L e. ZZ -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
8	6, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
9	8	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
10	2, 5, 9	3eqtrd 2512	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) = ( B ` L ) )
11		fmul01lt1lem1.10	. . . 4 |- ( ph -> ( B ` L ) < E )
12	11	adantr 465	. . 3 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( B ` L ) < E )
13	10, 12	eqbrtrd 4467	. 2 |- ( ( ph /\ M = L ) -> ( A ` M ) < E )
14		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> -. M = L )
15		df-ne 2664	. . . . 5 |- ( M =/= L <-> -. M = L )
16	14, 15	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> M =/= L )
17	6	zred 10962	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. RR )
18		fmul01lt1lem1.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
19		eluzelz 11087	. . . . . . . . 9 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> M e. ZZ )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. ZZ )
21	20	zred 10962	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
22		eluzle 11090	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L <_ M )
23	18, 22	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> L <_ M )
24	17, 21, 23	3jca 1176	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
25	24	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) )
26		leltne 9670	. . . . 5 |- ( ( L e. RR /\ M e. RR /\ L <_ M ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
27	25, 26	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( L < M <-> M =/= L ) )
28	16, 27	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> L < M )
29	3	fveq1i 5865	. . . 4 |- ( A ` M ) = ( seq L ( x. , B ) ` M )
30		remulcl 9573	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR ) -> ( j x. k ) e. RR )
31	30	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR ) ) -> ( j x. k ) e. RR )
32		recn 9578	. . . . . . . . 9 |- ( j e. RR -> j e. CC )
33	32	3ad2ant1 1017	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> j e. CC )
34		recn 9578	. . . . . . . . 9 |- ( k e. RR -> k e. CC )
35	34	3ad2ant2 1018	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> k e. CC )
36		recn 9578	. . . . . . . . 9 |- ( l e. RR -> l e. CC )
37	36	3ad2ant3 1019	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> l e. CC )
38	33, 35, 37	mulassd 9615	. . . . . . 7 |- ( ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
39	38	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ ( j e. RR /\ k e. RR /\ l e. RR ) ) -> ( ( j x. k ) x. l ) = ( j x. ( k x. l ) ) )
40		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L < M )
41	40	olcd 393	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M < L \/ L < M ) )
42	21, 17	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
43	42	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M e. RR /\ L e. RR ) )
44		lttri2 9663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ L e. RR ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
45	43, 44	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M =/= L <-> ( M < L \/ L < M ) ) )
46	41, 45	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
47	46	neneqd 2669	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
48		uzp1 11111	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
49	18, 48	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
50	49	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
51	50	ord 377	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( -. M = L -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
52	47, 51	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
53	6	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ZZ )
54		uzid 11092	. . . . . . 7 |- ( L e. ZZ -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
55	53, 54	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. ( ZZ>= ` L ) )
56		fmul01lt1lem1.2	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ph
57		nfv 1683	. . . . . . . . . 10 |- F/ i j e. ( L ... M )
58	56, 57	nfan 1875	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ j e. ( L ... M ) )
59		fmul01lt1lem1.1	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i B
60		nfcv 2629	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i j
61	59, 60	nffv 5871	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( B ` j )
62	61	nfel1 2645	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( B ` j ) e. RR
63	58, 62	nfim 1867	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
64		eleq1 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( i e. ( L ... M ) <-> j e. ( L ... M ) ) )
65	64	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) ) )
66		fveq2 5864	. . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
67	66	eleq1d 2536	. . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` j ) e. RR ) )
68	65, 67	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR ) ) )
69		fmul01lt1lem1.6	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
70	63, 68, 69	chvar 1982	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
71	70	adantlr 714	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( L ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
72	31, 39, 52, 55, 71	seqsplit 12104	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) )
73		eluzfz1 11689	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> L e. ( L ... M ) )
74	18, 73	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ( L ... M ) )
75	74	ancli 551	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) )
76		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i L e. ( L ... M )
77	56, 76	nfan 1875	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ph /\ L e. ( L ... M ) )
78		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i L
79	59, 78	nffv 5871	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( B ` L )
80	79	nfel1 2645	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( B ` L ) e. RR
81	77, 80	nfim 1867	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR )
82		eleq1 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( i e. ( L ... M ) <-> L e. ( L ... M ) ) )
83	82	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) ) )
84		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( B ` i ) = ( B ` L ) )
85	84	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` L ) e. RR ) )
86	83, 85	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) ) )
87	81, 86, 69	vtoclg1f 3170	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) e. RR ) )
88	74, 75, 87	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( B ` L ) e. RR )
89	8, 88	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
90	89	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. RR )
91	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
92	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
93		elfzelz 11684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. ZZ )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ZZ )
95	91, 92, 94	3jca 1176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) )
96	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
97		peano2re 9748	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( L e. RR -> ( L + 1 ) e. RR )
98	17, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. RR )
99	98	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
100	93	zred 10962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j e. RR )
101	100	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. RR )
102	17	lep1d 10473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> L <_ ( L + 1 ) )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
104		elfzle1 11685	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ j )
105	104	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ j )
106	96, 99, 101, 103, 105	letrd 9734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ j )
107		elfzle2 11686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> j <_ M )
108	107	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j <_ M )
109	106, 108	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ j /\ j <_ M ) )
110		elfz2 11675	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ j e. ZZ ) /\ ( L <_ j /\ j <_ M ) ) )
111	95, 109, 110	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> j e. ( L ... M ) )
112	111, 70	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
113	112	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ j e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
114	52, 113, 31	seqcl 12091	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) e. RR )
115	90, 114	remulcld 9620	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) e. RR )
116		fmul01lt1lem1.9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> E e. RR+ )
117	116	rpred 11252	. . . . . . 7 |- ( ph -> E e. RR )
118	117	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> E e. RR )
119		1re 9591	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
120	119	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 1 e. RR )
121		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i 0
122		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i <_
123	121, 122, 79	nfbr 4491	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i 0 <_ ( B ` L )
124	77, 123	nfim 1867	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) )
125	84	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = L -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` L ) ) )
126	83, 125	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) ) )
127		fmul01lt1lem1.7	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
128	124, 126, 127	vtoclg1f 3170	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) )
129	74, 75, 128	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` L ) )
130	129, 8	breqtrrd 4473	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
131	130	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
132		nfv 1683	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i L < M
133	56, 132	nfan 1875	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ( ph /\ L < M )
134		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- seq ( L + 1 ) ( x. , B ) = seq ( L + 1 ) ( x. , B )
135	6	peano2zd 10965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( L + 1 ) e. ZZ )
136	135	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) e. ZZ )
137	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> L e. RR )
138	137, 40	gtned 9715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M =/= L )
139	138	neneqd 2669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> -. M = L )
140	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
141	140, 48	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
142		orel1 382	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. M = L -> ( ( M = L \/ M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) ) )
143	139, 141, 142	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ZZ>= ` ( L + 1 ) ) )
144	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ZZ )
145	136, 144, 144	3jca 1176	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) )
146		zltp1le 10908	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
147	53, 144, 146	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L < M <-> ( L + 1 ) <_ M ) )
148	40, 147	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( L + 1 ) <_ M )
149	21	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. RR )
150	149	leidd 10115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M <_ M )
151	148, 150	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) )
152		elfz2 11675	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ( L + 1 ) ... M ) <-> ( ( ( L + 1 ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( L + 1 ) <_ M /\ M <_ M ) ) )
153	145, 151, 152	sylanbrc 664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ L < M ) -> M e. ( ( L + 1 ) ... M ) )
154	6	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
155	20	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
156		elfzelz 11684	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. ZZ )
157	156	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
158	154, 155, 157	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
159	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
160	159, 97	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
161	156	zred 10962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i e. RR )
162	161	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
163	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
164		elfzle1 11685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> ( L + 1 ) <_ i )
165	164	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
166	159, 160, 162, 163, 165	letrd 9734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
167		elfzle2 11686	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( i e. ( ( L + 1 ) ... M ) -> i <_ M )
168	167	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
169	166, 168	jca 532	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
170		elfz2 11675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( L ... M ) <-> ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) /\ ( L <_ i /\ i <_ M ) ) )
171	158, 169, 170	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
172	171, 69	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
173	172	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
174		simpll 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ph )
175	6	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. ZZ )
176	20	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> M e. ZZ )
177	156	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ZZ )
178	175, 176, 177	3jca 1176	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L e. ZZ /\ M e. ZZ /\ i e. ZZ ) )
179	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L e. RR )
180	98	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) e. RR )
181	161	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. RR )
182	102	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ ( L + 1 ) )
183	164	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L + 1 ) <_ i )
184	179, 180, 181, 182, 183	letrd 9734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> L <_ i )
185	167	adantl 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i <_ M )
186	184, 185	jca 532	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( L <_ i /\ i <_ M ) )
187	178, 186, 170	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> i e. ( L ... M ) )
188	174, 187, 127	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
189		fmul01lt1lem1.8	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
190	174, 187, 189	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ L < M ) /\ i e. ( ( L + 1 ) ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
191	59, 133, 134, 136, 143, 153, 173, 188, 190	fmul01 31130	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( 0 <_ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) /\ ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 ) )
192	191	simprd 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) <_ 1 )
193	114, 120, 90, 131, 192	lemul2ad 10482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) )
194	89	recnd 9618	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) e. CC )
195	194	mulid1d 9609	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
196	195	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
197	193, 196	breqtrd 4471	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) <_ ( seq L ( x. , B ) ` L ) )
198	8, 11	eqbrtrd 4467	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
199	198	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) < E )
200	115, 90, 118, 197, 199	lelttrd 9735	. . . . 5 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` L ) x. ( seq ( L + 1 ) ( x. , B ) ` M ) ) < E )
201	72, 200	eqbrtrd 4467	. . . 4 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( seq L ( x. , B ) ` M ) < E )
202	29, 201	syl5eqbr 4480	. . 3 |- ( ( ph /\ L < M ) -> ( A ` M ) < E )
203	28, 202	syldan 470	. 2 |- ( ( ph /\ -. M = L ) -> ( A ` M ) < E )
204	13, 203	pm2.61dan 789	1 |- ( ph -> ( A ` M ) < E )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   x. cmul 9493   < clt 9624   <_ cle 9625   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668   seqcseq 12071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-seq 12072

This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  31135