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Theorem fmul01lt1lem1 29718
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1  |-  F/_ i B
fmul01lt1lem1.2  |-  F/ i
ph
fmul01lt1lem1.3  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
fmul01lt1lem1.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01lt1lem1.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01lt1lem1.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01lt1lem1.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01lt1lem1.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
fmul01lt1lem1.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fmul01lt1lem1.10  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Distinct variable groups:    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables  j 
k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  M  =  L )
21fveq2d 5690 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( A `  L ) )
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  A  =  seq L (  x.  ,  B ) )
54fveq1d 5688 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  L )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L ) )
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
7 seq1 11811 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  =  ( B `  L
) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
102, 5, 93eqtrd 2474 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( B `  L ) )
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( B `  L )  <  E )
1310, 12eqbrtrd 4307 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  -.  M  =  L )
15 df-ne 2603 . . . . 5  |-  ( M  =/=  L  <->  -.  M  =  L )
1614, 15sylibr 212 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  M  =/=  L )
176zred 10739 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
18 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
19 eluzelz 10862 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
2018, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2120zred 10739 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
22 eluzle 10865 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  <_  M )
2318, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  <_  M )
2417, 21, 233jca 1168 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
2524adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
26 leltne 9456 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
2725, 26syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
2816, 27mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  L  <  M )
293fveq1i 5687 . . . 4  |-  ( A `
 M )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 M )
30 remulcl 9359 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( j  x.  k
)  e.  RR )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  ->  ( j  x.  k )  e.  RR )
32 recn 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  RR  ->  j  e.  CC )
33323ad2ant1 1009 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  j  e.  CC )
34 recn 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  RR  ->  k  e.  CC )
35343ad2ant2 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
36 recn 9364 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  RR  ->  l  e.  CC )
37363ad2ant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  l  e.  CC )
3833, 35, 37mulassd 9401 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  (
( j  x.  k
)  x.  l )  =  ( j  x.  ( k  x.  l
) ) )
3938adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR ) )  -> 
( ( j  x.  k )  x.  l
)  =  ( j  x.  ( k  x.  l ) ) )
40 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
4140olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  <  L  \/  L  < 
M ) )
4221, 17jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
4342adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
44 lttri2 9449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  <  L  \/  L  <  M ) ) )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  < 
L  \/  L  < 
M ) ) )
4641, 45mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
4746neneqd 2619 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
48 uzp1 10886 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
4918, 48syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  (
ZZ>= `  ( L  + 
1 ) ) ) )
5049adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
5150ord 377 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( -.  M  =  L  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
5247, 51mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
536adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ZZ )
54 uzid 10867 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
5553, 54syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
56 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i
ph
57 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  j  e.  ( L ... M )
5856, 57nfan 1860 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  ( L ... M
) )
59 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i B
60 nfcv 2574 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
j
6159, 60nffv 5693 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( B `  j
)
6261nfel1 2584 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( B `  j
)  e.  RR
6358, 62nfim 1852 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR )
64 eleq1 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  j  e.  ( L ... M ) ) )
6564anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) ) ) )
66 fveq2 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
6766eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  j )  e.  RR ) )
6865, 67imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR ) ) )
69 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
7063, 68, 69chvar 1957 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7170adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7231, 39, 52, 55, 71seqsplit 11831 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  M
)  =  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) ) )
73 eluzfz1 11450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  e.  ( L ... M ) )
7418, 73syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( L ... M ) )
7574ancli 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) ) )
76 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  L  e.  ( L ... M )
7756, 76nfan 1860 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )
78 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i L
7959, 78nffv 5693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  L
)
8079nfel1 2584 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  L
)  e.  RR
8177, 80nfim 1852 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR )
82 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  L  e.  ( L ... M ) ) )
8382anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) ) ) )
84 fveq2 5686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  ( B `  i )  =  ( B `  L ) )
8584eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  L )  e.  RR ) )
8683, 85imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR ) ) )
8781, 86, 69vtoclg1f 3024 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  L )  e.  RR ) )
8874, 75, 87sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  e.  RR )
898, 88eqeltrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  RR )
9089adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  e.  RR )
916adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
9220adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
93 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  ZZ )
9493adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ZZ )
9591, 92, 943jca 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
9617adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
97 peano2re 9534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  RR  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9817, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
10093zred 10739 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  RR )
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  RR )
10217lep1d 10256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
104 elfzle1 11446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
105104adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
10696, 99, 101, 103, 105letrd 9520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  j )
107 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  <_  M )
108107adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  <_  M )
109106, 108jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) )
110 elfz2 11436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
11195, 109, 110sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ( L ... M
) )
112111, 70syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
113112adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
11452, 113, 31seqcl 11818 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR )
11590, 114remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  e.  RR )
116 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
117116rpred 11019 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
118117adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E  e.  RR )
119 1re 9377 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
120119a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  1  e.  RR )
121 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
0
122 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i  <_
123121, 122, 79nfbr 4331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i 0  <_  ( B `  L )
12477, 123nfim 1852 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) )
12584breq2d 4299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  L ) ) )
12683, 125imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  L ) ) ) )
127 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
128124, 126, 127vtoclg1f 3024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  L
) ) )
12974, 75, 128sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  L ) )
130129, 8breqtrrd 4313 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
) )
131130adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L ) )
132 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  L  <  M
13356, 132nfan 1860 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  L  <  M )
134 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)  =  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)
1356peano2zd 10742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
136135adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
13717adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
138137, 40gtned 9501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
139138neneqd 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
14018adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L )
)
141140, 48syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
142 orel1 382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  M  =  L  -> 
( ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
143139, 141, 142sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
14420adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
145136, 144, 1443jca 1168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
146 zltp1le 10686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  +  1 )  <_  M ) )
14753, 144, 146syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  + 
1 )  <_  M
) )
14840, 147mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  <_  M )
14921adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
150149leidd 9898 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  <_  M )
151148, 150jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) )
152 elfz2 11436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  <->  ( (
( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
153145, 151, 152sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )
1546adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
15520adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
156 elfzelz 11445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  ZZ )
157156adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
158154, 155, 1573jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
15917adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
160159, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
161156zred 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  RR )
162161adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
163102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
164 elfzle1 11446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
165164adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
166159, 160, 162, 163, 165letrd 9520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
167 elfzle2 11447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  <_  M )
168167adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
169166, 168jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
170 elfz2 11436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
171158, 169, 170sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
172171, 69syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
173172adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
174 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ph )
1756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
17620ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
177156adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
178175, 176, 1773jca 1168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
17917ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
18098ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
181161adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
182102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
183164adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
184179, 180, 181, 182, 183letrd 9520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
185167adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
186184, 185jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
187178, 186, 170sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
188174, 187, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  i
) )
189 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
190174, 187, 189syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  <_  1 )
19159, 133, 134, 136, 143, 153, 173, 188, 190fmul01 29714 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( 0  <_  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
) `  M )  /\  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
) `  M )  <_  1 ) )
192191simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  1 )
193114, 120, 90, 131, 192lemul2ad 10265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (
(  seq L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  1 ) )
19489recnd 9404 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  CC )
195194mulid1d 9395 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  seq L
(  x.  ,  B
) `  L )  x.  1 )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L ) )
196195adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  1 )  =  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  L )
)
197193, 196breqtrd 4311 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
) )
1988, 11eqbrtrd 4307 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  < 
E )
199198adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  <  E )
200115, 90, 118, 197, 199lelttrd 9521 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <  E
)
20172, 200eqbrtrd 4307 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  M
)  <  E )
20229, 201syl5eqbr 4320 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( A `  M )  <  E
)
20328, 202syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
20413, 203pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2561    =/= wne 2601   class class class wbr 4287   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   RR+crp 10983   ...cfz 11429    seqcseq 11798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  29719
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