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Theorem fmul01lt1lem1 31739
Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1  |-  F/_ i B
fmul01lt1lem1.2  |-  F/ i
ph
fmul01lt1lem1.3  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
fmul01lt1lem1.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01lt1lem1.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01lt1lem1.6  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01lt1lem1.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01lt1lem1.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
fmul01lt1lem1.9  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
fmul01lt1lem1.10  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Distinct variable groups:    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    E( i)

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables  j 
k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  M  =  L )
21fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( A `  L ) )
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  A  =  seq L (  x.  ,  B ) )
54fveq1d 5874 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  L )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L ) )
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
7 seq1 12122 . . . . . 6  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
86, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  =  ( B `  L
) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
102, 5, 93eqtrd 2502 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  =  ( B `  L ) )
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <  E )
1211adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( B `  L )  <  E )
1310, 12eqbrtrd 4476 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
14 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  -.  M  =  L )
1514neqned 2660 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  M  =/=  L )
166zred 10990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
17 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
18 eluzelz 11115 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
2019zred 10990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
21 eluzle 11118 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  <_  M )
2217, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  <_  M )
2316, 20, 223jca 1176 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M ) )
25 leltne 9691 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  RR  /\  M  e.  RR  /\  L  <_  M )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
2624, 25syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( L  <  M  <->  M  =/=  L ) )
2715, 26mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  L  <  M )
283fveq1i 5873 . . . 4  |-  ( A `
 M )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 M )
29 remulcl 9594 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  ( j  x.  k
)  e.  RR )
3029adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR )
)  ->  ( j  x.  k )  e.  RR )
31 recn 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  RR  ->  j  e.  CC )
32313ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  j  e.  CC )
33 recn 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  RR  ->  k  e.  CC )
34333ad2ant2 1018 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  k  e.  CC )
35 recn 9599 . . . . . . . . 9  |-  ( l  e.  RR  ->  l  e.  CC )
36353ad2ant3 1019 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  l  e.  CC )
3732, 34, 36mulassd 9636 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  (
( j  x.  k
)  x.  l )  =  ( j  x.  ( k  x.  l
) ) )
3837adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  (
j  e.  RR  /\  k  e.  RR  /\  l  e.  RR ) )  -> 
( ( j  x.  k )  x.  l
)  =  ( j  x.  ( k  x.  l ) ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  <  M )
4039olcd 393 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  <  L  \/  L  < 
M ) )
4120, 16jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
4241adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR ) )
43 lttri2 9684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  <  L  \/  L  <  M ) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =/=  L  <->  ( M  < 
L  \/  L  < 
M ) ) )
4540, 44mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
4645neneqd 2659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
47 uzp1 11139 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
4817, 47syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  (
ZZ>= `  ( L  + 
1 ) ) ) )
4948adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
5049ord 377 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( -.  M  =  L  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
5146, 50mpd 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
526adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ZZ )
53 uzid 11120 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
5452, 53syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  ( ZZ>= `  L )
)
55 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i
ph
56 nfv 1708 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  j  e.  ( L ... M )
5755, 56nfan 1929 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  j  e.  ( L ... M
) )
58 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i B
59 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
j
6058, 59nffv 5879 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( B `  j
)
6160nfel1 2635 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( B `  j
)  e.  RR
6257, 61nfim 1921 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR )
63 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  j  e.  ( L ... M ) ) )
6463anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) ) ) )
65 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  j  ->  ( B `  i )  =  ( B `  j ) )
6665eleq1d 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  j  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  j )  e.  RR ) )
6764, 66imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  j
)  e.  RR ) ) )
68 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
6962, 67, 68chvar 2014 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7069adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
7130, 38, 51, 54, 70seqsplit 12142 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  M
)  =  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) ) )
72 eluzfz1 11718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  L  e.  ( L ... M ) )
7317, 72syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ( L ... M ) )
7473ancli 551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) ) )
75 nfv 1708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  L  e.  ( L ... M )
7655, 75nfan 1929 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )
77 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i L
7858, 77nffv 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  L
)
7978nfel1 2635 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  L
)  e.  RR
8076, 79nfim 1921 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR )
81 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  L  e.  ( L ... M ) ) )
8281anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) ) ) )
83 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  ( B `  i )  =  ( B `  L ) )
8483eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  L )  e.  RR ) )
8582, 84imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  e.  RR ) ) )
8680, 85, 68vtoclg1f 3166 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  L )  e.  RR ) )
8773, 74, 86sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  e.  RR )
888, 87eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  RR )
8988adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  e.  RR )
906adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
9119adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
92 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  ZZ )
9392adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ZZ )
9490, 91, 933jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ ) )
9516adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
96 peano2re 9770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( L  e.  RR  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9716, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
9992zred 10990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  e.  RR )
10099adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  RR )
10116lep1d 10497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
102101adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
103 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  j )
10595, 98, 100, 102, 104letrd 9756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  j )
106 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  j  <_  M )
107106adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  <_  M )
108105, 107jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) )
109 elfz2 11704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  j  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  j  /\  j  <_  M ) ) )
11094, 108, 109sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  j  e.  ( L ... M
) )
111110, 69syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
112111adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  j  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  j )  e.  RR )
11351, 112, 30seqcl 12129 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  e.  RR )
11489, 113remulcld 9641 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  e.  RR )
115 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  RR+ )
116115rpred 11281 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
117116adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  E  e.  RR )
118 1red 9628 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  1  e.  RR )
119 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
0
120 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i  <_
121119, 120, 78nfbr 4500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i 0  <_  ( B `  L )
12276, 121nfim 1921 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) )
12383breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  L  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  L ) ) )
12482, 123imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  L ) ) ) )
125 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
126122, 124, 125vtoclg1f 3166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  L
) ) )
12773, 74, 126sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  L ) )
128127, 8breqtrrd 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
) )
129128adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L ) )
130 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  L  <  M
13155, 130nfan 1929 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  L  <  M )
132 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)  =  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
)
1336peano2zd 10993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
134133adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  e.  ZZ )
13516adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  L  e.  RR )
136135, 39gtned 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  =/=  L )
137136neneqd 2659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  -.  M  =  L )
13817adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L )
)
139138, 47syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
140 orel1 382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  M  =  L  -> 
( ( M  =  L  \/  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) ) )
141137, 139, 140sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( L  +  1 ) ) )
14219adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
143134, 142, 1423jca 1176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
144 zltp1le 10934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  +  1 )  <_  M ) )
14552, 142, 144syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  <  M  <->  ( L  + 
1 )  <_  M
) )
14639, 145mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( L  +  1 )  <_  M )
14720adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  RR )
148147leidd 10140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  <_  M )
149146, 148jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( ( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) )
150 elfz2 11704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  <->  ( (
( L  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  /\  (
( L  +  1 )  <_  M  /\  M  <_  M ) ) )
151143, 149, 150sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  M  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )
1526adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
15319adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
154 elfzelz 11713 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  ZZ )
155154adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
156152, 153, 1553jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
15716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
158157, 96syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
159154zred 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  e.  RR )
160159adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
161101adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
162 elfzle1 11714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
163162adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
164157, 158, 160, 161, 163letrd 9756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
165 elfzle2 11715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  e.  ( ( L  +  1 ) ... M )  ->  i  <_  M )
166165adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
167164, 166jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
168 elfz2 11704 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  e.  ( L ... M )  <->  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  /\  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) ) )
169156, 167, 168sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
170169, 68syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
171170adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
172 simpll 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ph )
1736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  ZZ )
17419ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  M  e.  ZZ )
175154adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ZZ )
176173, 174, 1753jca 1176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ ) )
17716ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  e.  RR )
17897ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  e.  RR )
179159adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  RR )
180101ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  ( L  +  1 ) )
181162adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  +  1 )  <_  i )
182177, 178, 179, 180, 181letrd 9756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  L  <_  i )
183165adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  <_  M )
184182, 183jca 532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( L  <_  i  /\  i  <_  M ) )
185176, 184, 168sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  i  e.  ( L ... M
) )
186172, 185, 125syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  i
) )
187 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
188172, 185, 187syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  L  <  M )  /\  i  e.  ( ( L  + 
1 ) ... M
) )  ->  ( B `  i )  <_  1 )
18958, 131, 132, 134, 141, 151, 171, 186, 188fmul01 31735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( 0  <_  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
) `  M )  /\  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B
) `  M )  <_  1 ) )
190189simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq ( L  +  1
) (  x.  ,  B ) `  M
)  <_  1 )
191113, 118, 89, 129, 190lemul2ad 10506 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (
(  seq L (  x.  ,  B ) `  L )  x.  1 ) )
19288recnd 9639 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  e.  CC )
193192mulid1d 9630 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( (  seq L
(  x.  ,  B
) `  L )  x.  1 )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L ) )
194193adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  1 )  =  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  L )
)
195191, 194breqtrd 4480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
) )
1968, 11eqbrtrd 4476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  < 
E )
197196adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  <  E )
198114, 89, 117, 195, 197lelttrd 9757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  x.  (  seq ( L  +  1 ) (  x.  ,  B ) `  M
) )  <  E
)
19971, 198eqbrtrd 4476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  M
)  <  E )
20028, 199syl5eqbr 4489 . . 3  |-  ( (
ph  /\  L  <  M )  ->  ( A `  M )  <  E
)
20127, 200syldan 470 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  M  =  L )  ->  ( A `  M )  <  E )
20213, 201pm2.61dan 791 1  |-  ( ph  ->  ( A `  M
)  <  E )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   F/wnf 1617    e. wcel 1819   F/_wnfc 2605    =/= wne 2652   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   RR+crp 11245   ...cfz 11697    seqcseq 12109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-seq 12110
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  31740
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