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Theorem fmul01lt1lem1 37759
 Description: Given a finite multiplication of values betweeen 0 and 1, a value larger than its frist element is larger the whole multiplication. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01lt1lem1.1
fmul01lt1lem1.2
fmul01lt1lem1.3
fmul01lt1lem1.4
fmul01lt1lem1.5
fmul01lt1lem1.6
fmul01lt1lem1.7
fmul01lt1lem1.8
fmul01lt1lem1.9
fmul01lt1lem1.10
Assertion
Ref Expression
fmul01lt1lem1
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem fmul01lt1lem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 468 . . . . 5
21fveq2d 5883 . . . 4
3 fmul01lt1lem1.3 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
54fveq1d 5881 . . . 4
6 fmul01lt1lem1.4 . . . . . 6
7 seq1 12264 . . . . . 6
86, 7syl 17 . . . . 5
98adantr 472 . . . 4
102, 5, 93eqtrd 2509 . . 3
11 fmul01lt1lem1.10 . . . 4
1211adantr 472 . . 3
1310, 12eqbrtrd 4416 . 2
14 simpr 468 . . . . 5
1514neqned 2650 . . . 4
166zred 11063 . . . . . . 7
17 fmul01lt1lem1.5 . . . . . . . . 9
18 eluzelz 11192 . . . . . . . . 9
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8
2019zred 11063 . . . . . . 7
21 eluzle 11195 . . . . . . . 8
2217, 21syl 17 . . . . . . 7
2316, 20, 223jca 1210 . . . . . 6
2423adantr 472 . . . . 5
25 leltne 9741 . . . . 5
2624, 25syl 17 . . . 4
2715, 26mpbird 240 . . 3
283fveq1i 5880 . . . 4
29 remulcl 9642 . . . . . . 7
3029adantl 473 . . . . . 6
31 recn 9647 . . . . . . . . 9
32313ad2ant1 1051 . . . . . . . 8
33 recn 9647 . . . . . . . . 9
34333ad2ant2 1052 . . . . . . . 8
35 recn 9647 . . . . . . . . 9
36353ad2ant3 1053 . . . . . . . 8
3732, 34, 36mulassd 9684 . . . . . . 7
3837adantl 473 . . . . . 6
39 simpr 468 . . . . . . . . . 10
4039olcd 400 . . . . . . . . 9
4120, 16jca 541 . . . . . . . . . . 11
4241adantr 472 . . . . . . . . . 10
43 lttri2 9734 . . . . . . . . . 10
4442, 43syl 17 . . . . . . . . 9
4540, 44mpbird 240 . . . . . . . 8
4645neneqd 2648 . . . . . . 7
47 uzp1 11216 . . . . . . . . . 10
4817, 47syl 17 . . . . . . . . 9
4948adantr 472 . . . . . . . 8
5049ord 384 . . . . . . 7
5146, 50mpd 15 . . . . . 6
526adantr 472 . . . . . . 7
53 uzid 11197 . . . . . . 7
5452, 53syl 17 . . . . . 6
55 fmul01lt1lem1.2 . . . . . . . . . 10
56 nfv 1769 . . . . . . . . . 10
5755, 56nfan 2031 . . . . . . . . 9
58 fmul01lt1lem1.1 . . . . . . . . . . 11
59 nfcv 2612 . . . . . . . . . . 11
6058, 59nffv 5886 . . . . . . . . . 10
6160nfel1 2626 . . . . . . . . 9
6257, 61nfim 2023 . . . . . . . 8
63 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10
6463anbi2d 718 . . . . . . . . 9
65 fveq2 5879 . . . . . . . . . 10
6665eleq1d 2533 . . . . . . . . 9
6764, 66imbi12d 327 . . . . . . . 8
68 fmul01lt1lem1.6 . . . . . . . 8
6962, 67, 68chvar 2119 . . . . . . 7
7069adantlr 729 . . . . . 6
7130, 38, 51, 54, 70seqsplit 12284 . . . . 5
72 eluzfz1 11832 . . . . . . . . . . 11
7317, 72syl 17 . . . . . . . . . 10
7473ancli 560 . . . . . . . . . 10
75 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13
7655, 75nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12
77 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
7858, 77nffv 5886 . . . . . . . . . . . . 13
7978nfel1 2626 . . . . . . . . . . . 12
8076, 79nfim 2023 . . . . . . . . . . 11
81 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
8281anbi2d 718 . . . . . . . . . . . 12
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
8483eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12
8582, 84imbi12d 327 . . . . . . . . . . 11
8680, 85, 68vtoclg1f 3092 . . . . . . . . . 10
8773, 74, 86sylc 61 . . . . . . . . 9
888, 87eqeltrd 2549 . . . . . . . 8
8988adantr 472 . . . . . . 7
906adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
9119adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
92 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . 13
9392adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
9490, 91, 933jca 1210 . . . . . . . . . . 11
9516adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
96 peano2re 9824 . . . . . . . . . . . . . . 15
9716, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
9897adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
9992zred 11063 . . . . . . . . . . . . . 14
10099adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
10116lep1d 10560 . . . . . . . . . . . . . 14
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
103 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . 14
104103adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
10595, 98, 100, 102, 104letrd 9809 . . . . . . . . . . . 12
106 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . 13
107106adantl 473 . . . . . . . . . . . 12
108105, 107jca 541 . . . . . . . . . . 11
109 elfz2 11817 . . . . . . . . . . 11
11094, 108, 109sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10
111110, 69syldan 478 . . . . . . . . 9
112111adantlr 729 . . . . . . . 8
11351, 112, 30seqcl 12271 . . . . . . 7
11489, 113remulcld 9689 . . . . . 6
115 fmul01lt1lem1.9 . . . . . . . 8
116115rpred 11364 . . . . . . 7
117116adantr 472 . . . . . 6
118 1red 9676 . . . . . . . 8
119 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
120 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14
121119, 120, 78nfbr 4440 . . . . . . . . . . . . 13
12276, 121nfim 2023 . . . . . . . . . . . 12
12383breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . 13
12482, 123imbi12d 327 . . . . . . . . . . . 12
125 fmul01lt1lem1.7 . . . . . . . . . . . 12
126122, 124, 125vtoclg1f 3092 . . . . . . . . . . 11
12773, 74, 126sylc 61 . . . . . . . . . 10
128127, 8breqtrrd 4422 . . . . . . . . 9
129128adantr 472 . . . . . . . 8
130 nfv 1769 . . . . . . . . . . 11
13155, 130nfan 2031 . . . . . . . . . 10
132 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
1336peano2zd 11066 . . . . . . . . . . 11
134133adantr 472 . . . . . . . . . 10
13516adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
136135, 39gtned 9787 . . . . . . . . . . . 12
137136neneqd 2648 . . . . . . . . . . 11
13817adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
139138, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11
140 orel1 389 . . . . . . . . . . 11
141137, 139, 140sylc 61 . . . . . . . . . 10
14219adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
143134, 142, 1423jca 1210 . . . . . . . . . . 11
144 zltp1le 11010 . . . . . . . . . . . . . 14
14552, 142, 144syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
14639, 145mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
14720adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
148147leidd 10201 . . . . . . . . . . . 12
149146, 148jca 541 . . . . . . . . . . 11
150 elfz2 11817 . . . . . . . . . . 11
151143, 149, 150sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10
1526adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
15319adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
154 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15
155154adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
156152, 153, 1553jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13
15716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
158157, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
159154zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16
160159adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
161101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
162 elfzle1 11828 . . . . . . . . . . . . . . . 16
163162adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
164157, 158, 160, 161, 163letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14
165 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . . . . . 15
166165adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
167164, 166jca 541 . . . . . . . . . . . . 13
168 elfz2 11817 . . . . . . . . . . . . 13
169156, 167, 168sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . 12
170169, 68syldan 478 . . . . . . . . . . 11
171170adantlr 729 . . . . . . . . . 10
172 simpll 768 . . . . . . . . . . 11
1736ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
17419ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
175154adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
176173, 174, 1753jca 1210 . . . . . . . . . . . 12
17716ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
17897ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
179159adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
180101ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
181162adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
182177, 178, 179, 180, 181letrd 9809 . . . . . . . . . . . . 13
183165adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13
184182, 183jca 541 . . . . . . . . . . . 12
185176, 184, 168sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11
186172, 185, 125syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
187 fmul01lt1lem1.8 . . . . . . . . . . 11
188172, 185, 187syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
18958, 131, 132, 134, 141, 151, 171, 186, 188fmul01 37755 . . . . . . . . 9
190189simprd 470 . . . . . . . 8
191113, 118, 89, 129, 190lemul2ad 10569 . . . . . . 7
19288recnd 9687 . . . . . . . . 9
193192mulid1d 9678 . . . . . . . 8
194193adantr 472 . . . . . . 7
195191, 194breqtrd 4420 . . . . . 6
1968, 11eqbrtrd 4416 . . . . . . 7
197196adantr 472 . . . . . 6
198114, 89, 117, 195, 197lelttrd 9810 . . . . 5
19971, 198eqbrtrd 4416 . . . 4
20028, 199syl5eqbr 4429 . . 3
20127, 200syldan 478 . 2
20213, 201pm2.61dan 808 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wnf 1675   wcel 1904  wnfc 2599   wne 2641   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810   cseq 12251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252 This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem2  37760
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