Theorem fmul01 29773

Description: Multiplying a finite number of values in [ 0 , 1 ] , gives the final product itself a number in [ 0 , 1 ]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmul01.1	|- F/_ i B
fmul01.2	|- F/ i ph
fmul01.3	|- A = seq L ( x. , B )
fmul01.4	|- ( ph -> L e. ZZ )
fmul01.5	|- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
fmul01.6	|- ( ph -> K e. ( L ... M ) )
fmul01.7	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
fmul01.8	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
fmul01.9	|- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )

Assertion

Ref	Expression
fmul01	|- ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) )

Distinct variable groups:   i, L   i, M

Allowed substitution hints:   ph( i)   A( i)   B( i)   K( i)

Proof of Theorem fmul01

Dummy variables j k l are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmul01.6	. 2 |- ( ph -> K e. ( L ... M ) )
2		fveq2 5703	. . . . . 6 |- ( k = L -> ( A ` k ) = ( A ` L ) )
3	2	breq2d 4316	. . . . 5 |- ( k = L -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` L ) ) )
4	2	breq1d 4314	. . . . 5 |- ( k = L -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` L ) <_ 1 ) )
5	3, 4	anbi12d 710	. . . 4 |- ( k = L -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) )
6	5	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = L -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) ) )
7		fveq2 5703	. . . . . 6 |- ( k = j -> ( A ` k ) = ( A ` j ) )
8	7	breq2d 4316	. . . . 5 |- ( k = j -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` j ) ) )
9	7	breq1d 4314	. . . . 5 |- ( k = j -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` j ) <_ 1 ) )
10	8, 9	anbi12d 710	. . . 4 |- ( k = j -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) )
11	10	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = j -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) )
12		fveq2 5703	. . . . . 6 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
13	12	breq2d 4316	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
14	12	breq1d 4314	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) )
15	13, 14	anbi12d 710	. . . 4 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) ) )
17		fveq2 5703	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( A ` k ) = ( A ` K ) )
18	17	breq2d 4316	. . . . 5 |- ( k = K -> ( 0 <_ ( A ` k ) <-> 0 <_ ( A ` K ) ) )
19	17	breq1d 4314	. . . . 5 |- ( k = K -> ( ( A ` k ) <_ 1 <-> ( A ` K ) <_ 1 ) )
20	18, 19	anbi12d 710	. . . 4 |- ( k = K -> ( ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) <-> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) )
21	20	imbi2d 316	. . 3 |- ( k = K -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` k ) /\ ( A ` k ) <_ 1 ) ) <-> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) ) )
22		fmul01.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> L e. ZZ )
23	22	zred 10759	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> L e. RR )
24	23	leidd 9918	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L <_ L )
25		fmul01.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` L ) )
26		eluzelz 10882	. . . . . . . . . . 11 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> M e. ZZ )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. ZZ )
28		eluz 10886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( M e. ( ZZ>= ` L ) <-> L <_ M ) )
29	22, 27, 28	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M e. ( ZZ>= ` L ) <-> L <_ M ) )
30	25, 29	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ph -> L <_ M )
31		elfz 11455	. . . . . . . . 9 |- ( ( L e. ZZ /\ L e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( L e. ( L ... M ) <-> ( L <_ L /\ L <_ M ) ) )
32	22, 22, 27, 31	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( L e. ( L ... M ) <-> ( L <_ L /\ L <_ M ) ) )
33	24, 30, 32	mpbir2and 913	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. ( L ... M ) )
34		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ph )
35	34, 33	jca 532	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) )
36		fmul01.2	. . . . . . . . . 10 |- F/ i ph
37		nfv 1673	. . . . . . . . . 10 |- F/ i L e. ( L ... M )
38	36, 37	nfan 1861	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( ph /\ L e. ( L ... M ) )
39		nfcv 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i 0
40		nfcv 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i <_
41		fmul01.1	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i B
42		nfcv 2589	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ i L
43	41, 42	nffv 5710	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i ( B ` L )
44	39, 40, 43	nfbr 4348	. . . . . . . . 9 |- F/ i 0 <_ ( B ` L )
45	38, 44	nfim 1853	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) )
46		eleq1 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( i = L -> ( i e. ( L ... M ) <-> L e. ( L ... M ) ) )
47	46	anbi2d 703	. . . . . . . . 9 |- ( i = L -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) ) )
48		fveq2 5703	. . . . . . . . . 10 |- ( i = L -> ( B ` i ) = ( B ` L ) )
49	48	breq2d 4316	. . . . . . . . 9 |- ( i = L -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` L ) ) )
50	47, 49	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) ) )
51		fmul01.8	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) )
52	45, 50, 51	vtoclg1f 3041	. . . . . . 7 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` L ) ) )
53	33, 35, 52	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( B ` L ) )
54		fmul01.3	. . . . . . . 8 |- A = seq L ( x. , B )
55	54	fveq1i 5704	. . . . . . 7 |- ( A ` L ) = ( seq L ( x. , B ) ` L )
56		seq1 11831	. . . . . . . 8 |- ( L e. ZZ -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
57	22, 56	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( seq L ( x. , B ) ` L ) = ( B ` L ) )
58	55, 57	syl5eq 2487	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A ` L ) = ( B ` L ) )
59	53, 58	breqtrrd 4330	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( A ` L ) )
60		nfcv 2589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ i 1
61	43, 40, 60	nfbr 4348	. . . . . . . . 9 |- F/ i ( B ` L ) <_ 1
62	38, 61	nfim 1853	. . . . . . . 8 |- F/ i ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) <_ 1 )
63	48	breq1d 4314	. . . . . . . . 9 |- ( i = L -> ( ( B ` i ) <_ 1 <-> ( B ` L ) <_ 1 ) )
64	47, 63	imbi12d 320	. . . . . . . 8 |- ( i = L -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 ) <-> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) <_ 1 ) ) )
65		fmul01.9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 )
66	62, 64, 65	vtoclg1f 3041	. . . . . . 7 |- ( L e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ L e. ( L ... M ) ) -> ( B ` L ) <_ 1 ) )
67	33, 35, 66	sylc 60	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B ` L ) <_ 1 )
68	58, 67	eqbrtrd 4324	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` L ) <_ 1 )
69	59, 68	jca 532	. . . 4 |- ( ph -> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) )
70	69	a1i 11	. . 3 |- ( M e. ( ZZ>= ` L ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` L ) /\ ( A ` L ) <_ 1 ) ) )
71		elfzouz 11569	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( L..^ M ) -> j e. ( ZZ>= ` L ) )
72	71	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> j e. ( ZZ>= ` L ) )
73		simpl3 993	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ k e. ( L ... j ) ) -> ph )
74		elfzouz2 11578	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( L..^ M ) -> M e. ( ZZ>= ` j ) )
75		fzss2 11510	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` j ) -> ( L ... j ) C_ ( L ... M ) )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( L..^ M ) -> ( L ... j ) C_ ( L ... M ) )
77	76	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( L ... j ) C_ ( L ... M ) )
78	77	sselda 3368	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ k e. ( L ... j ) ) -> k e. ( L ... M ) )
79		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i k e. ( L ... M )
80	36, 79	nfan 1861	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ph /\ k e. ( L ... M ) )
81		nfcv 2589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i k
82	41, 81	nffv 5710	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( B ` k )
83	82	nfel1 2604	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( B ` k ) e. RR
84	80, 83	nfim 1853	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
85		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( i e. ( L ... M ) <-> k e. ( L ... M ) ) )
86	85	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) ) )
87		fveq2 5703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = k -> ( B ` i ) = ( B ` k ) )
88	87	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = k -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` k ) e. RR ) )
89	86, 88	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = k -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) -> ( B ` k ) e. RR ) ) )
90		fmul01.7	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR )
91	84, 89, 90	chvar 1957	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( L ... M ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
92	73, 78, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ k e. ( L ... j ) ) -> ( B ` k ) e. RR )
93		remulcl 9379	. . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. RR /\ l e. RR ) -> ( k x. l ) e. RR )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) /\ ( k e. RR /\ l e. RR ) ) -> ( k x. l ) e. RR )
95	72, 92, 94	seqcl 11838	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` j ) e. RR )
96		simp3 990	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ph )
97		fzofzp1 11636	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( L..^ M ) -> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) )
98	97	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) )
99		nfv 1673	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i ( j + 1 ) e. ( L ... M )
100	36, 99	nfan 1861	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) )
101		nfcv 2589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ i ( j + 1 )
102	41, 101	nffv 5710	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ i ( B ` ( j + 1 ) )
103	102	nfel1 2604	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR
104	100, 103	nfim 1853	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
105		eleq1 2503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( i e. ( L ... M ) <-> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) )
106	105	anbi2d 703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) <-> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) ) )
107		fveq2 5703	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( B ` i ) = ( B ` ( j + 1 ) ) )
108	107	eleq1d 2509	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( B ` i ) e. RR <-> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) )
109	106, 108	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) e. RR ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) ) )
110	104, 109, 90	vtoclg1f 3041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j + 1 ) e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR ) )
111	110	anabsi7 815	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
112	96, 98, 111	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
113		pm3.35 587	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) )
114	113	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) )
115		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) -> 0 <_ ( A ` j ) )
116	114, 115	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ` j ) )
117	116	3adant1 1006	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ` j ) )
118	54	fveq1i 5704	. . . . . . . . 9 |- ( A ` j ) = ( seq L ( x. , B ) ` j )
119	117, 118	syl6breq 4343	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` j ) )
120		simp1 988	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> j e. ( L..^ M ) )
121	97	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( L..^ M ) ) -> ( j + 1 ) e. ( L ... M ) )
122		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( L..^ M ) ) -> ph )
123	122, 121	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( L..^ M ) ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) )
124	39, 40, 102	nfbr 4348	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) )
125	100, 124	nfim 1853	. . . . . . . . . . 11 |- F/ i ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) )
126	107	breq2d 4316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( 0 <_ ( B ` i ) <-> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
127	106, 126	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` i ) ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) ) )
128	125, 127, 51	vtoclg1f 3041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j + 1 ) e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
129	121, 123, 128	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( L..^ M ) ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) )
130	96, 120, 129	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( B ` ( j + 1 ) ) )
131	95, 112, 119, 130	mulge0d 9928	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
132		seqp1 11833	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( ZZ>= ` L ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
133	72, 132	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
134	131, 133	breqtrrd 4330	. . . . . 6 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) )
135	54	fveq1i 5704	. . . . . 6 |- ( A ` ( j + 1 ) ) = ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) )
136	134, 135	syl6breqr 4344	. . . . 5 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) )
137	95, 112	remulcld 9426	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
138		1re 9397	. . . . . . . . 9 |- 1 e. RR
139	138	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> 1 e. RR )
140	96, 98	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) )
141	102, 40, 60	nfbr 4348	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ i ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1
142	100, 141	nfim 1853	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ i ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 )
143	107	breq1d 4314	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( B ` i ) <_ 1 <-> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) )
144	106, 143	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = ( j + 1 ) -> ( ( ( ph /\ i e. ( L ... M ) ) -> ( B ` i ) <_ 1 ) <-> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) )
145	142, 144, 65	vtoclg1f 3041	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j + 1 ) e. ( L ... M ) -> ( ( ph /\ ( j + 1 ) e. ( L ... M ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) )
146	98, 140, 145	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) <_ 1 )
147	112, 139, 95, 119, 146	lemul2ad 10285	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. 1 ) )
148	95	recnd 9424	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` j ) e. CC )
149	148	mulid1d 9415	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. 1 ) = ( seq L ( x. , B ) ` j ) )
150	147, 149	breqtrd 4328	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( seq L ( x. , B ) ` j ) )
151		simp2 989	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) )
152	113	simprd 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) ) -> ( A ` j ) <_ 1 )
153	96, 151, 152	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( A ` j ) <_ 1 )
154	118, 153	syl5eqbrr 4338	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` j ) <_ 1 )
155	137, 95, 139, 150, 154	letrd 9540	. . . . . . 7 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( ( seq L ( x. , B ) ` j ) x. ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ 1 )
156	133, 155	eqbrtrd 4324	. . . . . 6 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( seq L ( x. , B ) ` ( j + 1 ) ) <_ 1 )
157	135, 156	syl5eqbr 4337	. . . . 5 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 )
158	136, 157	jca 532	. . . 4 |- ( ( j e. ( L..^ M ) /\ ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) /\ ph ) -> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) )
159	158	3exp 1186	. . 3 |- ( j e. ( L..^ M ) -> ( ( ph -> ( 0 <_ ( A ` j ) /\ ( A ` j ) <_ 1 ) ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` ( j + 1 ) ) /\ ( A ` ( j + 1 ) ) <_ 1 ) ) ) )
160	6, 11, 16, 21, 70, 159	fzind2 11649	. 2 |- ( K e. ( L ... M ) -> ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) ) )
161	1, 160	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( 0 <_ ( A ` K ) /\ ( A ` K ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   F/wnf 1589   e. wcel 1756   F/_wnfc 2575   C_ wss 3340   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   + caddc 9297   x. cmul 9299   <_ cle 9431   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449  ..^cfzo 11560   seqcseq 11818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819

This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem1  29777  fmul01lt1lem2  29778