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Theorem fmul01 27812
Description: Multiplying a finite number of values in [ 0 , 1 ] , gives the final product itself a number in [ 0 , 1 ]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01.1  |-  F/_ i B
fmul01.2  |-  F/ i
ph
fmul01.3  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
fmul01.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01.6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( L ... M ) )
fmul01.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01.9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
Assertion
Ref Expression
fmul01  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) )
Distinct variable groups:    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    K( i)

Proof of Theorem fmul01
Dummy variables  j 
k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01.6 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( L ... M ) )
2 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( k  =  L  ->  ( A `  k )  =  ( A `  L ) )
32breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( k  =  L  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  L ) ) )
42breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( k  =  L  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  L )  <_  1
) )
53, 4anbi12d 691 . . . 4  |-  ( k  =  L  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) )
65imbi2d 307 . . 3  |-  ( k  =  L  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) ) )
7 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( A `  k )  =  ( A `  j ) )
87breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  j ) ) )
97breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  j )  <_  1
) )
108, 9anbi12d 691 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )
1110imbi2d 307 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) ) )
12 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
1312breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
1412breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) )
1513, 14anbi12d 691 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) )  /\  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) )
1615imbi2d 307 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) )  /\  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) ) )
17 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A `  k )  =  ( A `  K ) )
1817breq2d 4051 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  K ) ) )
1917breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  K )  <_  1
) )
2018, 19anbi12d 691 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) ) )
2120imbi2d 307 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) ) ) )
22 id 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ph )
23 fmul01.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
24 zre 10044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
26 leid 8932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  RR  ->  L  <_  L )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  <_  L )
28 fmul01.5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
29 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3123, 30jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
32 eluz 10257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  L )  <->  L  <_  M ) )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  L )  <->  L  <_  M ) )
3428, 33mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  <_  M )
3527, 34jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  <_  L  /\  L  <_  M ) )
3623, 23, 303jca 1132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
37 elfz 10804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  ( L ... M )  <->  ( L  <_  L  /\  L  <_  M ) ) )
3836, 37syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( L ... M )  <-> 
( L  <_  L  /\  L  <_  M ) ) )
3935, 38mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  e.  ( L ... M ) )
4022, 39jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) ) )
41 nfcv 2432 . . . . . . . . 9  |-  F/_ i L
42 fmul01.2 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i
ph
43 nfv 1609 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i  L  e.  ( L ... M )
4442, 43nfan 1783 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )
45 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
0
46 nfcv 2432 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i  <_
47 fmul01.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ i B
4847, 41nffv 5548 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( B `  L
)
4945, 46, 48nfbr 4083 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i 0  <_  ( B `  L )
5044, 49nfim 1781 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) )
51 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  L  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  L  e.  ( L ... M ) ) )
5251anbi2d 684 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  L  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) ) ) )
53 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  L  ->  ( B `  i )  =  ( B `  L ) )
5453breq2d 4051 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  L  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  L ) ) )
5552, 54imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  L ) ) ) )
56 fmul01.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
5756a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  i
) ) )
5841, 50, 55, 57vtoclgaf 2861 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  L
) ) )
5939, 58syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) ) )
6022, 40, 59sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  L ) )
61 fmul01.3 . . . . . . . . 9  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
6261fveq1i 5542 . . . . . . . 8  |-  ( A `
 L )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )
6362a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  L
)  =  (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  L
) )
64 seq1 11075 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
6523, 64syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  =  ( B `  L
) )
6663, 65eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  L
)  =  ( B `
 L ) )
6760, 66breqtrrd 4065 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  L ) )
68 nfcv 2432 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
1
6948, 46, 68nfbr 4083 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( B `  L
)  <_  1
7044, 69nfim 1781 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  <_  1 )
7153breq1d 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
( B `  i
)  <_  1  <->  ( B `  L )  <_  1
) )
7252, 71imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  <_  1 )  <-> 
( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  <_  1 ) ) )
73 fmul01.9 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
7473a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  i )  <_  1 ) )
7541, 70, 72, 74vtoclgaf 2861 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  L )  <_  1 ) )
7639, 40, 75sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <_  1 )
7766, 76eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  L
)  <_  1 )
7867, 77jca 518 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) )
7978a1i 10 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) )
80 elfzouz 10895 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  L )
)
81803ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  L ) )
82 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ph )
83 elfzouz2 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  j )
)
84 fzss2 10847 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
8583, 84syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
86853ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
8786adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
88 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  k  e.  ( L ... j
) )
8987, 88jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  (
( L ... j
)  C_  ( L ... M )  /\  k  e.  ( L ... j
) ) )
90 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L ... j
)  C_  ( L ... M )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  k  e.  ( L ... M
) )
9189, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  k  e.  ( L ... M
) )
9282, 91jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) ) )
93 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  ->  k  e.  ( L ... M ) )
94 id 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  ->  ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) ) )
95 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
k
96 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ i  k  e.  ( L ... M )
9742, 96nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( ph  /\  k  e.  ( L ... M
) )
9847, 95nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i
( B `  k
)
99 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ i RR
10098, 99nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( B `  k
)  e.  RR
10197, 100nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR )
102 biidd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  k  ->  ( ph 
<-> 
ph ) )
103 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  k  e.  ( L ... M ) ) )
104102, 103anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  k  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) ) ) )
105 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( i  =  k  ->  ( B `  i )  =  ( B `  k ) )
106105eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  k  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  k )  e.  RR ) )
107104, 106imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR ) ) )
108 fmul01.7 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
109108a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  i )  e.  RR ) )
11095, 101, 107, 109vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  k  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  k )  e.  RR ) )
11193, 94, 110sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
11292, 111syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
113 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( k  x.  l
)  e.  RR )
114113adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  ( k  e.  RR  /\  l  e.  RR ) )  -> 
( k  x.  l
)  e.  RR )
11581, 112, 114seqcl 11082 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  RR )
116 simp2 956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) ) )
117 simp3 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ph )
118116, 117jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) )  /\  ph )
)
119 pm3.35 570 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )
120119ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )
121 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 )  ->  0  <_  ( A `  j
) )
122120, 121syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  j ) )
123118, 122syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  j )
)
12461fveq1i 5542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A `
 j )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 j )
125123, 124syl6breq 4078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j
) )
126115, 125jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )
) )
127 fzofzp1 10932 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )
1281273ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
129117, 128jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) )
130 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )  ->  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
131 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) )
132 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( j  +  1 )
133 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )
13442, 133nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
13547, 132nffv 5548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ i
( B `  (
j  +  1 ) )
136135, 99nfel 2440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( B `  (
j  +  1 ) )  e.  RR
137134, 136nfim 1781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
138 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) ) )
139138anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) ) )
140 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  i )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
141140eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
142139, 141imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
143132, 137, 142, 109vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  e.  RR ) )
144130, 131, 143sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
145129, 144syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
146 simp1 955 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  j  e.  ( L..^ M ) )
147117, 146jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) ) )
148127adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
149 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ph )
150149, 148jca 518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) )
15145, 46, 135nfbr 4083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i 0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) )
152134, 151nfim 1781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
153140breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
154139, 153imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
155132, 152, 154, 57vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
156148, 150, 155sylc 56 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
157147, 156syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
158145, 157jca 518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ( B `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( B `  (
j  +  1 ) ) ) )
159126, 158jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  j )
)  /\  ( ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( B `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
160 mulge0 9307 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  RR  /\  0  <_ 
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  j ) )  /\  ( ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )  ->  0  <_  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
161159, 160syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
162 seqp1 11077 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) ) )
16381, 162syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) ) )
164161, 163breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  (
j  +  1 ) ) )
16561fveq1i 5542 . . . . . 6  |-  ( A `
 ( j  +  1 ) )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 ( j  +  1 ) )
166164, 165syl6breqr 4079 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
167115, 145jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  e.  RR  /\  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
168 remulcl 8838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 j )  e.  RR  /\  ( B `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR )  ->  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
169167, 168syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
170 1re 8853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
171170a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  1  e.  RR )
172169, 115, 1713jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  e.  RR  /\  1  e.  RR ) )
173145, 171, 1263jca 1132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ( B `
 ( j  +  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  j )
) ) )
174135, 46, 68nfbr 4083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ i ( B `  (
j  +  1 ) )  <_  1
175134, 174nfim 1781 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
176140breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( B `  i
)  <_  1  <->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) )
177139, 176imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  <_  1 )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) )
178132, 175, 177, 74vtoclgaf 2861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  <_  1 ) )
179128, 129, 178sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
180173, 179jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ( ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  e.  RR  /\  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  j )
) )  /\  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1 ) )
181 lemul2a 9627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  ( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  RR  /\  0  <_ 
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  j ) ) )  /\  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)  ->  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  1 ) )
182180, 181syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  1 ) )
183 recn 8843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  e.  RR  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 j )  e.  CC )
184115, 183syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  CC )
185 mulid1 8851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  e.  CC  ->  ( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  x.  1 )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j ) )
186184, 185syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  1 )  =  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )
)
187182, 186breqtrd 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )
)
188117, 116jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) ) ) )
189119simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )  ->  ( A `  j )  <_  1 )
190188, 189syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( A `  j )  <_  1
)
191124, 190syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  <_  1 )
192187, 191jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ( (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  j )  /\  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 j )  <_ 
1 ) )
193 letr 8930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  x.  ( B `  (
j  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 j )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
( ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  /\  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 j )  <_ 
1 )  ->  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) )  <_  1 ) )
194172, 192, 193sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  1 )
195163, 194eqbrtrd 4059 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  <_  1 )
196165, 195syl5eqbr 4072 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
197166, 196jca 518 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
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( A `  (
j  +  1 ) )  /\  ( A `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
1 ) )
1981973exp 1150 . . 3  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
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( A `  (
j  +  1 ) )  /\  ( A `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
1 ) ) ) )
1996, 11, 16, 21, 79, 198fzind2 10939 . 2  |-  ( K  e.  ( L ... M )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  K
)  /\  ( A `  K )  <_  1
) ) )
2001, 199mpcom 32 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   F/wnf 1534    = wceq 1632    e. wcel 1696   F/_wnfc 2419    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798  ..^cfzo 10886    seq cseq 11062
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem1  27816  fmul01lt1lem2  27817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063
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