Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmul01 Structured version   Unicode version

Theorem fmul01 29773
Description: Multiplying a finite number of values in [ 0 , 1 ] , gives the final product itself a number in [ 0 , 1 ]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01.1  |-  F/_ i B
fmul01.2  |-  F/ i
ph
fmul01.3  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
fmul01.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01.6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( L ... M ) )
fmul01.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01.9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
Assertion
Ref Expression
fmul01  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) )
Distinct variable groups:    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    K( i)

Proof of Theorem fmul01
Dummy variables  j 
k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01.6 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( L ... M ) )
2 fveq2 5703 . . . . . 6  |-  ( k  =  L  ->  ( A `  k )  =  ( A `  L ) )
32breq2d 4316 . . . . 5  |-  ( k  =  L  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  L ) ) )
42breq1d 4314 . . . . 5  |-  ( k  =  L  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  L )  <_  1
) )
53, 4anbi12d 710 . . . 4  |-  ( k  =  L  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  L  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) ) )
7 fveq2 5703 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( A `  k )  =  ( A `  j ) )
87breq2d 4316 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  j ) ) )
97breq1d 4314 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  j )  <_  1
) )
108, 9anbi12d 710 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )
1110imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) ) )
12 fveq2 5703 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
1312breq2d 4316 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
1412breq1d 4314 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) )
1513, 14anbi12d 710 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) )  /\  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) )
1615imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) )  /\  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) ) )
17 fveq2 5703 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A `  k )  =  ( A `  K ) )
1817breq2d 4316 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  K ) ) )
1917breq1d 4314 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  K )  <_  1
) )
2018, 19anbi12d 710 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) ) )
2120imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) ) ) )
22 fmul01.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
2322zred 10759 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
2423leidd 9918 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  <_  L )
25 fmul01.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
26 eluzelz 10882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
28 eluz 10886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  L )  <->  L  <_  M ) )
2922, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  L )  <->  L  <_  M ) )
3025, 29mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  <_  M )
31 elfz 11455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  ( L ... M )  <->  ( L  <_  L  /\  L  <_  M ) ) )
3222, 22, 27, 31syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( L ... M )  <-> 
( L  <_  L  /\  L  <_  M ) ) )
3324, 30, 32mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( L ... M ) )
34 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ph )
3534, 33jca 532 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) ) )
36 fmul01.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i
ph
37 nfv 1673 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  L  e.  ( L ... M )
3836, 37nfan 1861 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )
39 nfcv 2589 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
0
40 nfcv 2589 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i  <_
41 fmul01.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i B
42 nfcv 2589 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i L
4341, 42nffv 5710 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( B `  L
)
4439, 40, 43nfbr 4348 . . . . . . . . 9  |-  F/ i 0  <_  ( B `  L )
4538, 44nfim 1853 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) )
46 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  L  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  L  e.  ( L ... M ) ) )
4746anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) ) ) )
48 fveq2 5703 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  L  ->  ( B `  i )  =  ( B `  L ) )
4948breq2d 4316 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  L ) ) )
5047, 49imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  L ) ) ) )
51 fmul01.8 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
5245, 50, 51vtoclg1f 3041 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  L
) ) )
5333, 35, 52sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  L ) )
54 fmul01.3 . . . . . . . 8  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
5554fveq1i 5704 . . . . . . 7  |-  ( A `
 L )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )
56 seq1 11831 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
5722, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  =  ( B `  L
) )
5855, 57syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  L
)  =  ( B `
 L ) )
5953, 58breqtrrd 4330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  L ) )
60 nfcv 2589 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
1
6143, 40, 60nfbr 4348 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( B `  L
)  <_  1
6238, 61nfim 1853 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  <_  1 )
6348breq1d 4314 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
( B `  i
)  <_  1  <->  ( B `  L )  <_  1
) )
6447, 63imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  <_  1 )  <-> 
( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  <_  1 ) ) )
65 fmul01.9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
6662, 64, 65vtoclg1f 3041 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  L )  <_  1 ) )
6733, 35, 66sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <_  1 )
6858, 67eqbrtrd 4324 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  L
)  <_  1 )
6959, 68jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) )
7069a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) )
71 elfzouz 11569 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  L )
)
72713ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  L ) )
73 simpl3 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ph )
74 elfzouz2 11578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  j )
)
75 fzss2 11510 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
77763ad2ant1 1009 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
7877sselda 3368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  k  e.  ( L ... M
) )
79 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  k  e.  ( L ... M )
8036, 79nfan 1861 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  k  e.  ( L ... M
) )
81 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
k
8241, 81nffv 5710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  k
)
8382nfel1 2604 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  k
)  e.  RR
8480, 83nfim 1853 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR )
85 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  k  e.  ( L ... M ) ) )
8685anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) ) ) )
87 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  ( B `  i )  =  ( B `  k ) )
8887eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  k )  e.  RR ) )
8986, 88imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR ) ) )
90 fmul01.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
9184, 89, 90chvar 1957 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
9273, 78, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
93 remulcl 9379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( k  x.  l
)  e.  RR )
9493adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  ( k  e.  RR  /\  l  e.  RR ) )  -> 
( k  x.  l
)  e.  RR )
9572, 92, 94seqcl 11838 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  RR )
96 simp3 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ph )
97 fzofzp1 11636 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )
98973ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
99 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )
10036, 99nfan 1861 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
101 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( j  +  1 )
10241, 101nffv 5710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  (
j  +  1 ) )
103102nfel1 2604 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  (
j  +  1 ) )  e.  RR
104100, 103nfim 1853 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
105 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) ) )
106105anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) ) )
107 fveq2 5703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  i )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
108107eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
109106, 108imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
110104, 109, 90vtoclg1f 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  e.  RR ) )
111110anabsi7 815 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
11296, 98, 111syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
113 pm3.35 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )
114113ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )
115 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 )  ->  0  <_  ( A `  j
) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  j ) )
1171163adant1 1006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  j )
)
11854fveq1i 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 j )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 j )
119117, 118syl6breq 4343 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
) )
120 simp1 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  j  e.  ( L..^ M ) )
12197adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
122 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ph )
123122, 121jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) )
12439, 40, 102nfbr 4348 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i 0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) )
125100, 124nfim 1853 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
126107breq2d 4316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
127106, 126imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
128125, 127, 51vtoclg1f 3041 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
129121, 123, 128sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
13096, 120, 129syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
13195, 112, 119, 130mulge0d 9928 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (
(  seq L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
132 seqp1 11833 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
13372, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) ) )
134131, 133breqtrrd 4330 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  (
j  +  1 ) ) )
13554fveq1i 5704 . . . . . 6  |-  ( A `
 ( j  +  1 ) )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 ( j  +  1 ) )
136134, 135syl6breqr 4344 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
13795, 112remulcld 9426 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
138 1re 9397 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  1  e.  RR )
14096, 98jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) )
141102, 40, 60nfbr 4348 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( B `  (
j  +  1 ) )  <_  1
142100, 141nfim 1853 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
143107breq1d 4314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( B `  i
)  <_  1  <->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) )
144106, 143imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  <_  1 )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) )
145142, 144, 65vtoclg1f 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  <_  1 ) )
14698, 140, 145sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
147112, 139, 95, 119, 146lemul2ad 10285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  1 ) )
14895recnd 9424 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  CC )
149148mulid1d 9415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  1 )  =  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )
)
150147, 149breqtrd 4328 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )
)
151 simp2 989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) ) )
152113simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )  ->  ( A `  j )  <_  1 )
15396, 151, 152syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( A `  j )  <_  1
)
154118, 153syl5eqbrr 4338 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )  <_  1 )
155137, 95, 139, 150, 154letrd 9540 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  1 )
156133, 155eqbrtrd 4324 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  <_  1 )
157135, 156syl5eqbr 4337 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
158136, 157jca 532 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( 0  <_ 
( A `  (
j  +  1 ) )  /\  ( A `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
1 ) )
1591583exp 1186 . . 3  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  (
j  +  1 ) )  /\  ( A `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
1 ) ) ) )
1606, 11, 16, 21, 70, 159fzind2 11649 . 2  |-  ( K  e.  ( L ... M )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  K
)  /\  ( A `  K )  <_  1
) ) )
1611, 160mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   F/wnf 1589    e. wcel 1756   F/_wnfc 2575    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    <_ cle 9431   ZZcz 10658   ZZ>=cuz 10873   ...cfz 11449  ..^cfzo 11560    seqcseq 11818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-seq 11819
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem1  29777  fmul01lt1lem2  29778
  Copyright terms: Public domain W3C validator