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Theorem fmul01 27577
Description: Multiplying a finite number of values in [ 0 , 1 ] , gives the final product itself a number in [ 0 , 1 ]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01.1  |-  F/_ i B
fmul01.2  |-  F/ i
ph
fmul01.3  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
fmul01.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01.6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( L ... M ) )
fmul01.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01.9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
Assertion
Ref Expression
fmul01  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) )
Distinct variable groups:    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    K( i)

Proof of Theorem fmul01
Dummy variables  j 
k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01.6 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( L ... M ) )
2 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( k  =  L  ->  ( A `  k )  =  ( A `  L ) )
32breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( k  =  L  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  L ) ) )
42breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( k  =  L  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  L )  <_  1
) )
53, 4anbi12d 692 . . . 4  |-  ( k  =  L  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) )
65imbi2d 308 . . 3  |-  ( k  =  L  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) ) )
7 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( A `  k )  =  ( A `  j ) )
87breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  j ) ) )
97breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  j )  <_  1
) )
108, 9anbi12d 692 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )
1110imbi2d 308 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) ) )
12 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
1312breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
1412breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) )
1513, 14anbi12d 692 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) )  /\  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) )
1615imbi2d 308 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) )  /\  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) ) )
17 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A `  k )  =  ( A `  K ) )
1817breq2d 4184 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  K ) ) )
1917breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  K )  <_  1
) )
2018, 19anbi12d 692 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) ) )
2120imbi2d 308 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) ) ) )
22 fmul01.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
2322zred 10331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
2423leidd 9549 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  <_  L )
25 fmul01.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
26 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
28 eluz 10455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  L )  <->  L  <_  M ) )
2922, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  L )  <->  L  <_  M ) )
3025, 29mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  <_  M )
31 elfz 11005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  ( L ... M )  <->  ( L  <_  L  /\  L  <_  M ) ) )
3222, 22, 27, 31syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( L ... M )  <-> 
( L  <_  L  /\  L  <_  M ) ) )
3324, 30, 32mpbir2and 889 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( L ... M ) )
34 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ph )
3534, 33jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) ) )
36 nfcv 2540 . . . . . . . 8  |-  F/_ i L
37 fmul01.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i
ph
38 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  L  e.  ( L ... M )
3937, 38nfan 1842 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )
40 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
0
41 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i  <_
42 fmul01.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i B
4342, 36nffv 5694 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( B `  L
)
4440, 41, 43nfbr 4216 . . . . . . . . 9  |-  F/ i 0  <_  ( B `  L )
4539, 44nfim 1828 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) )
46 eleq1 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  L  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  L  e.  ( L ... M ) ) )
4746anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) ) ) )
48 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  L  ->  ( B `  i )  =  ( B `  L ) )
4948breq2d 4184 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  L ) ) )
5047, 49imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  L ) ) ) )
51 fmul01.8 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
5236, 45, 50, 51vtoclgf 2970 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  L
) ) )
5333, 35, 52sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  L ) )
54 fmul01.3 . . . . . . . 8  |-  A  =  seq  L (  x.  ,  B )
5554fveq1i 5688 . . . . . . 7  |-  ( A `
 L )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )
56 seq1 11291 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
5722, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 L )  =  ( B `  L
) )
5855, 57syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  L
)  =  ( B `
 L ) )
5953, 58breqtrrd 4198 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  L ) )
60 nfcv 2540 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
1
6143, 41, 60nfbr 4216 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( B `  L
)  <_  1
6239, 61nfim 1828 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  <_  1 )
6348breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
( B `  i
)  <_  1  <->  ( B `  L )  <_  1
) )
6447, 63imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  <_  1 )  <-> 
( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  <_  1 ) ) )
65 fmul01.9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
6636, 62, 64, 65vtoclgf 2970 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  L )  <_  1 ) )
6733, 35, 66sylc 58 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <_  1 )
6858, 67eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  L
)  <_  1 )
6959, 68jca 519 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) )
7069a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) )
71 elfzouz 11099 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  L )
)
72713ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  L ) )
73 simpl3 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ph )
74 elfzouz2 11108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  j )
)
75 fzss2 11048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
77763ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
7877sselda 3308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  k  e.  ( L ... M
) )
79 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  k  e.  ( L ... M )
8037, 79nfan 1842 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  k  e.  ( L ... M
) )
81 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
k
8242, 81nffv 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  k
)
8382nfel1 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  k
)  e.  RR
8480, 83nfim 1828 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR )
85 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  k  e.  ( L ... M ) ) )
8685anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) ) ) )
87 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  ( B `  i )  =  ( B `  k ) )
8887eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  k )  e.  RR ) )
8986, 88imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR ) ) )
90 fmul01.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
9184, 89, 90chvar 2039 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
9273, 78, 91syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
93 remulcl 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( k  x.  l
)  e.  RR )
9493adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  ( k  e.  RR  /\  l  e.  RR ) )  -> 
( k  x.  l
)  e.  RR )
9572, 92, 94seqcl 11298 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  RR )
96 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ph )
97 fzofzp1 11144 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )
98973ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
99 nfcv 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i
( j  +  1 )
100 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )
10137, 100nfan 1842 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
10242, 99nffv 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  (
j  +  1 ) )
103102nfel1 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  (
j  +  1 ) )  e.  RR
104101, 103nfim 1828 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
105 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) ) )
106105anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) ) )
107 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  i )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
108107eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
109106, 108imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
11099, 104, 109, 90vtoclgf 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  e.  RR ) )
111110anabsi7 793 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
11296, 98, 111syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
113 pm3.35 571 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )
114113ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )
115 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 )  ->  0  <_  ( A `  j
) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  j ) )
1171163adant1 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  j )
)
11854fveq1i 5688 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 j )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 j )
119117, 118syl6breq 4211 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  j
) )
120 simp1 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  j  e.  ( L..^ M ) )
12197adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
122 simpl 444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ph )
123122, 121jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) )
12440, 41, 102nfbr 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i 0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) )
125101, 124nfim 1828 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
126107breq2d 4184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
127106, 126imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
12899, 125, 127, 51vtoclgf 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
129121, 123, 128sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
13096, 120, 129syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
13195, 112, 119, 130mulge0d 9559 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (
(  seq  L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
132 seqp1 11293 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  (  seq  L (  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) ) )
13372, 132syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) ) )
134131, 133breqtrrd 4198 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (  seq  L (  x.  ,  B ) `  (
j  +  1 ) ) )
13554fveq1i 5688 . . . . . 6  |-  ( A `
 ( j  +  1 ) )  =  (  seq  L (  x.  ,  B ) `
 ( j  +  1 ) )
136134, 135syl6breqr 4212 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
13795, 112remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
138 1re 9046 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
139138a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  1  e.  RR )
14096, 98jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) )
141102, 41, 60nfbr 4216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( B `  (
j  +  1 ) )  <_  1
142101, 141nfim 1828 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
143107breq1d 4182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( B `  i
)  <_  1  <->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) )
144106, 143imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  <_  1 )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) )
14599, 142, 144, 65vtoclgf 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  <_  1 ) )
14698, 140, 145sylc 58 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
147112, 139, 95, 119, 146lemul2ad 9907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  1 ) )
14895recnd 9070 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  CC )
149148mulid1d 9061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  1 )  =  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )
)
150147, 149breqtrd 4196 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )
)
151 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) ) )
152113simprd 450 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )  ->  ( A `  j )  <_  1 )
15396, 151, 152syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( A `  j )  <_  1
)
154118, 153syl5eqbrr 4206 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  j )  <_  1 )
155137, 95, 139, 150, 154letrd 9183 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq 
L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  1 )
156133, 155eqbrtrd 4192 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq  L
(  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  <_  1 )
157135, 156syl5eqbr 4205 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
158136, 157jca 519 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( 0  <_ 
( A `  (
j  +  1 ) )  /\  ( A `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
1 ) )
1591583exp 1152 . . 3  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  (
j  +  1 ) )  /\  ( A `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
1 ) ) ) )
1606, 11, 16, 21, 70, 159fzind2 11153 . 2  |-  ( K  e.  ( L ... M )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  K
)  /\  ( A `  K )  <_  1
) ) )
1611, 160mpcom 34 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1550    = wceq 1649    e. wcel 1721   F/_wnfc 2527    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   ...cfz 10999  ..^cfzo 11090    seq cseq 11278
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem1  27581  fmul01lt1lem2  27582
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279
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