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Theorem fmul01 31502
Description: Multiplying a finite number of values in [ 0 , 1 ] , gives the final product itself a number in [ 0 , 1 ]. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmul01.1  |-  F/_ i B
fmul01.2  |-  F/ i
ph
fmul01.3  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
fmul01.4  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
fmul01.5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
fmul01.6  |-  ( ph  ->  K  e.  ( L ... M ) )
fmul01.7  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
fmul01.8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
fmul01.9  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
Assertion
Ref Expression
fmul01  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) )
Distinct variable groups:    i, L    i, M
Allowed substitution hints:    ph( i)    A( i)    B( i)    K( i)

Proof of Theorem fmul01
Dummy variables  j 
k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmul01.6 . 2  |-  ( ph  ->  K  e.  ( L ... M ) )
2 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( k  =  L  ->  ( A `  k )  =  ( A `  L ) )
32breq2d 4449 . . . . 5  |-  ( k  =  L  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  L ) ) )
42breq1d 4447 . . . . 5  |-  ( k  =  L  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  L )  <_  1
) )
53, 4anbi12d 710 . . . 4  |-  ( k  =  L  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) )
65imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  L  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) ) )
7 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( k  =  j  ->  ( A `  k )  =  ( A `  j ) )
87breq2d 4449 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  j ) ) )
97breq1d 4447 . . . . 5  |-  ( k  =  j  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  j )  <_  1
) )
108, 9anbi12d 710 . . . 4  |-  ( k  =  j  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )
1110imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  j  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) ) )
12 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  k )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
1312breq2d 4449 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
1412breq1d 4447 . . . . 5  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) )
1513, 14anbi12d 710 . . . 4  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) )  /\  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) )
1615imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) )  /\  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) ) )
17 fveq2 5856 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A `  k )  =  ( A `  K ) )
1817breq2d 4449 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
0  <_  ( A `  k )  <->  0  <_  ( A `  K ) ) )
1917breq1d 4447 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( A `  k
)  <_  1  <->  ( A `  K )  <_  1
) )
2018, 19anbi12d 710 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  (
( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k
)  <_  1 )  <-> 
( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) ) )
2120imbi2d 316 . . 3  |-  ( k  =  K  ->  (
( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  k )  /\  ( A `  k )  <_  1 ) )  <->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) ) ) )
22 fmul01.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  L  e.  ZZ )
2322zred 10974 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  L  e.  RR )
2423leidd 10125 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  <_  L )
25 fmul01.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  L ) )
26 eluzelz 11099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  M  e.  ZZ )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
28 eluz 11103 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  L )  <->  L  <_  M ) )
2922, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  e.  (
ZZ>= `  L )  <->  L  <_  M ) )
3025, 29mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  L  <_  M )
31 elfz 11687 . . . . . . . . 9  |-  ( ( L  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( L  e.  ( L ... M )  <->  ( L  <_  L  /\  L  <_  M ) ) )
3222, 22, 27, 31syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( L  e.  ( L ... M )  <-> 
( L  <_  L  /\  L  <_  M ) ) )
3324, 30, 32mpbir2and 922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( L ... M ) )
3433ancli 551 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) ) )
35 fmul01.2 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i
ph
36 nfv 1694 . . . . . . . . . 10  |-  F/ i  L  e.  ( L ... M )
3735, 36nfan 1914 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )
38 nfcv 2605 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
0
39 nfcv 2605 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i  <_
40 fmul01.1 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i B
41 nfcv 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ i L
4240, 41nffv 5863 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
( B `  L
)
4338, 39, 42nfbr 4481 . . . . . . . . 9  |-  F/ i 0  <_  ( B `  L )
4437, 43nfim 1906 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  L ) )
45 eleq1 2515 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  L  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  L  e.  ( L ... M ) ) )
4645anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) ) ) )
47 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  =  L  ->  ( B `  i )  =  ( B `  L ) )
4847breq2d 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  L ) ) )
4946, 48imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  L ) ) ) )
50 fmul01.8 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  i ) )
5144, 49, 50vtoclg1f 3152 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  0  <_  ( B `  L
) ) )
5233, 34, 51sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  ( B `  L ) )
53 fmul01.3 . . . . . . . 8  |-  A  =  seq L (  x.  ,  B )
5453fveq1i 5857 . . . . . . 7  |-  ( A `
 L )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )
55 seq1 12099 . . . . . . . 8  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  L
)  =  ( B `
 L ) )
5622, 55syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 L )  =  ( B `  L
) )
5754, 56syl5eq 2496 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A `  L
)  =  ( B `
 L ) )
5852, 57breqtrrd 4463 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <_  ( A `  L ) )
59 nfcv 2605 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ i
1
6042, 39, 59nfbr 4481 . . . . . . . . 9  |-  F/ i ( B `  L
)  <_  1
6137, 60nfim 1906 . . . . . . . 8  |-  F/ i ( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  <_  1 )
6247breq1d 4447 . . . . . . . . 9  |-  ( i  =  L  ->  (
( B `  i
)  <_  1  <->  ( B `  L )  <_  1
) )
6346, 62imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  L  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  <_  1 )  <-> 
( ( ph  /\  L  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  L
)  <_  1 ) ) )
64 fmul01.9 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  <_  1
)
6561, 63, 64vtoclg1f 3152 . . . . . . 7  |-  ( L  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  L  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  L )  <_  1 ) )
6633, 34, 65sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B `  L
)  <_  1 )
6757, 66eqbrtrd 4457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  L
)  <_  1 )
6858, 67jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) )
6968a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  L )  /\  ( A `  L
)  <_  1 ) ) )
70 elfzouz 11812 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  L )
)
71703ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  j  e.  (
ZZ>= `  L ) )
72 simpl3 1002 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ph )
73 elfzouz2 11821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  M  e.  ( ZZ>= `  j )
)
74 fzss2 11732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
76753ad2ant1 1018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( L ... j )  C_  ( L ... M ) )
7776sselda 3489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  k  e.  ( L ... M
) )
78 nfv 1694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i  k  e.  ( L ... M )
7935, 78nfan 1914 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  k  e.  ( L ... M
) )
80 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
k
8140, 80nffv 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  k
)
8281nfel1 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  k
)  e.  RR
8379, 82nfim 1906 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR )
84 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  k  e.  ( L ... M ) ) )
8584anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) ) ) )
86 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  k  ->  ( B `  i )  =  ( B `  k ) )
8786eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  k  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  k )  e.  RR ) )
8885, 87imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  k  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  k
)  e.  RR ) ) )
89 fmul01.7 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  i )  e.  RR )
9083, 88, 89chvar 1999 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
9172, 77, 90syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  k  e.  ( L ... j
) )  ->  ( B `  k )  e.  RR )
92 remulcl 9580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  e.  RR  /\  l  e.  RR )  ->  ( k  x.  l
)  e.  RR )
9392adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  /\  ( k  e.  RR  /\  l  e.  RR ) )  -> 
( k  x.  l
)  e.  RR )
9471, 91, 93seqcl 12106 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  RR )
95 simp3 999 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ph )
96 fzofzp1 11888 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )
97963ad2ant1 1018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
98 nfv 1694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )
9935, 98nfan 1914 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
100 nfcv 2605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ i
( j  +  1 )
10140, 100nffv 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ i
( B `  (
j  +  1 ) )
102101nfel1 2621 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( B `  (
j  +  1 ) )  e.  RR
10399, 102nfim 1906 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
104 eleq1 2515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
i  e.  ( L ... M )  <->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) ) )
105104anbi2d 703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ph  /\  i  e.  ( L ... M
) )  <->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) ) )
106 fveq2 5856 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  ( B `  i )  =  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
107106eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( B `  i
)  e.  RR  <->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) )
108105, 107imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  e.  RR )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR ) ) )
109103, 108, 89vtoclg1f 3152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  e.  RR ) )
110109anabsi7 819 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M
) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
11195, 97, 110syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  e.  RR )
112 pm3.35 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )
113112ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )
114 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 )  ->  0  <_  ( A `  j
) )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  ->  (
0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  j ) )
1161153adant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  j )
)
11753fveq1i 5857 . . . . . . . . 9  |-  ( A `
 j )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 j )
118116, 117syl6breq 4476 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
) )
119 simp1 997 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  j  e.  ( L..^ M ) )
12096adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )
121 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ph )
122121, 120jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) )
12338, 39, 101nfbr 4481 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i 0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) )
12499, 123nfim 1906 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
125106breq2d 4449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
0  <_  ( B `  i )  <->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
126105, 125imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  i ) )  <->  ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
127124, 126, 50vtoclg1f 3152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
128120, 122, 127sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( L..^ M ) )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
12995, 119, 128syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( B `  ( j  +  1 ) ) )
13094, 111, 118, 129mulge0d 10135 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (
(  seq L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
131 seqp1 12101 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  L
)  ->  (  seq L (  x.  ,  B ) `  (
j  +  1 ) )  =  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j )  x.  ( B `  ( j  +  1 ) ) ) )
13271, 131syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  =  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) ) )
133130, 132breqtrrd 4463 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  (  seq L (  x.  ,  B ) `  (
j  +  1 ) ) )
13453fveq1i 5857 . . . . . 6  |-  ( A `
 ( j  +  1 ) )  =  (  seq L (  x.  ,  B ) `
 ( j  +  1 ) )
135133, 134syl6breqr 4477 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  0  <_  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
13694, 111remulcld 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  e.  RR )
137 1red 9614 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  1  e.  RR )
13895, 97jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) ) )
139101, 39, 59nfbr 4481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ i ( B `  (
j  +  1 ) )  <_  1
14099, 139nfim 1906 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ i ( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
141106breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( B `  i
)  <_  1  <->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) )
142105, 141imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  ( j  +  1 )  ->  (
( ( ph  /\  i  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  i
)  <_  1 )  <-> 
( ( ph  /\  ( j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
) ) )
143140, 142, 64vtoclg1f 3152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  +  1 )  e.  ( L ... M )  ->  (
( ph  /\  (
j  +  1 )  e.  ( L ... M ) )  -> 
( B `  (
j  +  1 ) )  <_  1 ) )
14497, 138, 143sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( B `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
145111, 137, 94, 118, 144lemul2ad 10492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  1 ) )
14694recnd 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )  e.  CC )
147146mulid1d 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  1 )  =  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )
)
148145, 147breqtrd 4461 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )
)
149 simp2 998 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j )  <_  1 ) ) )
150112simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  j )  /\  ( A `  j
)  <_  1 ) ) )  ->  ( A `  j )  <_  1 )
15195, 149, 150syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( A `  j )  <_  1
)
152117, 151syl5eqbrr 4471 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  j )  <_  1 )
153136, 94, 137, 148, 152letrd 9742 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( (  seq L (  x.  ,  B ) `  j
)  x.  ( B `
 ( j  +  1 ) ) )  <_  1 )
154132, 153eqbrtrd 4457 . . . . . 6  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  (  seq L
(  x.  ,  B
) `  ( j  +  1 ) )  <_  1 )
155134, 154syl5eqbr 4470 . . . . 5  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( A `  ( j  +  1 ) )  <_  1
)
156135, 155jca 532 . . . 4  |-  ( ( j  e.  ( L..^ M )  /\  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  /\  ph )  ->  ( 0  <_ 
( A `  (
j  +  1 ) )  /\  ( A `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
1 ) )
1571563exp 1196 . . 3  |-  ( j  e.  ( L..^ M
)  ->  ( ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  j
)  /\  ( A `  j )  <_  1
) )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  (
j  +  1 ) )  /\  ( A `
 ( j  +  1 ) )  <_ 
1 ) ) ) )
1586, 11, 16, 21, 69, 157fzind2 11903 . 2  |-  ( K  e.  ( L ... M )  ->  ( ph  ->  ( 0  <_ 
( A `  K
)  /\  ( A `  K )  <_  1
) ) )
1591, 158mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( A `  K )  /\  ( A `  K
)  <_  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383   F/wnf 1603    e. wcel 1804   F/_wnfc 2591    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    <_ cle 9632   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090   ...cfz 11681  ..^cfzo 11803    seqcseq 12086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087
This theorem is referenced by:  fmul01lt1lem1  31506  fmul01lt1lem2  31507
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