Theorem fmufil 15599

Description: An image filter of an ultrafilter is an ultrafilter.

Hypothesis

Ref	Expression
fmufil.1	|- Y = U.L

Assertion

Ref	Expression
fmufil	|- ((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) -> ((X FilMap L)` F) e. UFil)

Proof of Theorem fmufil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . 3 |- U.((X FilMap L)` F) = U.((X FilMap L)` F)
2	1	isufil2 15565	. 2 |- (((X FilMap L)` F) e. UFil <-> (((X FilMap L)` F) e. Fil /\ A.f e. Fil ((U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f) -> ((X FilMap L)` F) = f)))
3		fmufil.1	. . . 4 |- Y = U.L
4	3	fmf 10310	. . 3 |- ((X e. A /\ L e. fBas /\ F:Y-->X) -> ((X FilMap L)` F) e. Fil)
5		ufilfil 15566	. . . 4 |- (L e. UFil -> L e. Fil)
6		filfbas 10276	. . . 4 |- (L e. Fil -> L e. fBas)
7	5, 6	syl 12	. . 3 |- (L e. UFil -> L e. fBas)
8	4, 7	syl3an2 1131	. 2 |- ((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) -> ((X FilMap L)` F) e. Fil)
9	7	3ad2ant2 898	. . . . . . . 8 |- ((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) -> L e. fBas)
10	9	adantr 425	. . . . . . 7 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> L e. fBas)
11		simpr1 882	. . . . . . 7 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> f e. Fil)
12		simpl3 881	. . . . . . 7 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> F:Y-->X)
13		simpr3 884	. . . . . . 7 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> ((X FilMap L)` F) C_ f)
14		simpl1 879	. . . . . . . . 9 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> X e. A)
15	3	fmbas 10311	. . . . . . . . 9 |- ((X e. A /\ L e. fBas /\ F:Y-->X) -> U.((X FilMap L)` F) = X)
16	14, 10, 12, 15	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> U.((X FilMap L)` F) = X)
17		simpr2 883	. . . . . . . 8 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> U.((X FilMap L)` F) = U.f)
18	16, 17	eqtr3d 1927	. . . . . . 7 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> X = U.f)
19		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- U.f = U.f
20	3, 19	fmfnfm 15598	. . . . . . 7 |- (((L e. fBas /\ f e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap L)` F) C_ f /\ X = U.f) -> E.b e. fBas (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))
21	10, 11, 12, 13, 18, 20	syl311anc 1114	. . . . . 6 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> E.b e. fBas (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))
22		simpll1 915	. . . . . . . . . 10 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> X e. A)
23		simprl 450	. . . . . . . . . 10 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> b e. fBas)
24		simpll3 917	. . . . . . . . . . 11 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> F:Y-->X)
25		simprr1 924	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> Y = U.b)
26	25	feq2d 4557	. . . . . . . . . . 11 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> (F:Y-->X <-> F:U.b-->X))
27	24, 26	mpbid 212	. . . . . . . . . 10 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> F:U.b-->X)
28		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- U.b = U.b
29		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (filGen` b) = (filGen` b)
30	28, 29	fbfgfmeq 10315	. . . . . . . . . 10 |- ((X e. A /\ b e. fBas /\ F:U.b-->X) -> ((X FilMap b)` F) = ((X FilMap (filGen` b))` F))
31	22, 23, 27, 30	syl111anc 1100	. . . . . . . . 9 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> ((X FilMap b)` F) = ((X FilMap (filGen` b))` F))
32		simprr3 926	. . . . . . . . 9 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> f = ((X FilMap b)` F))
33		simpll2 916	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> L e. UFil)
34		fgfil 10290	. . . . . . . . . . . . 13 |- (b e. fBas -> (filGen` b) e. Fil)
35	34	ad2antrl 442	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> (filGen` b) e. Fil)
36		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((b e. fBas /\ Y = U.b) -> Y = U.b)
37	28	fgbas 10286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (b e. fBas -> U.b = U.(filGen` b))
38	37	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((b e. fBas /\ Y = U.b) -> U.b = U.(filGen` b))
39	36, 38	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((b e. fBas /\ Y = U.b) -> Y = U.(filGen` b))
40	39	3ad2antr1 1041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F))) -> Y = U.(filGen` b))
41	40	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> Y = U.(filGen` b))
42		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((b e. fBas /\ L C_ b) -> L C_ b)
43		fbssfg 10285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (b e. fBas -> b C_ (filGen` b))
44	43	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((b e. fBas /\ L C_ b) -> b C_ (filGen` b))
45	42, 44	sstrd 2627	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((b e. fBas /\ L C_ b) -> L C_ (filGen` b))
46	45	3ad2antr2 1042	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F))) -> L C_ (filGen` b))
47	46	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> L C_ (filGen` b))
48		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . 13 |- U.(filGen` b) = U.(filGen` b)
49	3, 48	ufilmax 15568	. . . . . . . . . . . 12 |- (((L e. UFil /\ (filGen` b) e. Fil) /\ (Y = U.(filGen` b) /\ L C_ (filGen` b))) -> L = (filGen` b))
50	33, 35, 41, 47, 49	syl22anc 1101	. . . . . . . . . . 11 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> L = (filGen` b))
51	50	opreq2d 4898	. . . . . . . . . 10 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> (X FilMap L) = (X FilMap (filGen` b)))
52	51	fveq1d 4683	. . . . . . . . 9 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> ((X FilMap L)` F) = ((X FilMap (filGen` b))` F))
53	31, 32, 52	3eqtr4rd 1939	. . . . . . . 8 |- ((((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) /\ (b e. fBas /\ (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)))) -> ((X FilMap L)` F) = f)
54	53	exp32 408	. . . . . . 7 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> (b e. fBas -> ((Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)) -> ((X FilMap L)` F) = f)))
55	54	r19.23adv 2215	. . . . . 6 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> (E.b e. fBas (Y = U.b /\ L C_ b /\ f = ((X FilMap b)` F)) -> ((X FilMap L)` F) = f))
56	21, 55	mpd 29	. . . . 5 |- (((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) /\ (f e. Fil /\ U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f)) -> ((X FilMap L)` F) = f)
57	56	3exp2 1086	. . . 4 |- ((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) -> (f e. Fil -> (U.((X FilMap L)` F) = U.f -> (((X FilMap L)` F) C_ f -> ((X FilMap L)` F) = f))))
58	57	imp4a 391	. . 3 |- ((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) -> (f e. Fil -> ((U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f) -> ((X FilMap L)` F) = f)))
59	58	r19.21aiv 2175	. 2 |- ((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) -> A.f e. Fil ((U.((X FilMap L)` F) = U.f /\ ((X FilMap L)` F) C_ f) -> ((X FilMap L)` F) = f))
60	2, 8, 59	sylanbrc 527	1 |- ((X e. A /\ L e. UFil /\ F:Y-->X) -> ((X FilMap L)` F) e. UFil)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593  U.cuni 3177  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264   FilMap cfilmap 10304  UFilcufil 15562

This theorem is referenced by:  uffcfflf 15630

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-map 5383  df-en 5427  df-fin 5430  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-filmap 10306  df-ufil 15563

Copyright terms: Public domain