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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > fmucnd | Structured version Unicode version |
Description: The image of a Cauchy filter base by an uniformly continuous function is a Cauchy filter base. Deduction form. Proposition 3 of [BourbakiTop1] p. II.13. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Nov-2017.) |
Ref | Expression |
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fmucnd.1 |
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fmucnd.2 |
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fmucnd.3 |
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fmucnd.4 |
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fmucnd.5 |
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fmucnd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | fmucnd.1 |
. . . 4
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2 | fmucnd.4 |
. . . 4
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3 | cfilufbas 19995 |
. . . 4
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4 | 1, 2, 3 | syl2anc 661 |
. . 3
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5 | fmucnd.2 |
. . . 4
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6 | fmucnd.3 |
. . . 4
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7 | isucn 19984 |
. . . . 5
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8 | 7 | simprbda 623 |
. . . 4
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9 | 1, 5, 6, 8 | syl21anc 1218 |
. . 3
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10 | 5 | elfvexd 5826 |
. . 3
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11 | fmucnd.5 |
. . . 4
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12 | 11 | fbasrn 19588 |
. . 3
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13 | 4, 9, 10, 12 | syl3anc 1219 |
. 2
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14 | simplr 754 |
. . . . . . . 8
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15 | eqid 2454 |
. . . . . . . 8
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16 | imaeq2 5272 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 16 | eqeq2d 2468 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | rspcev 3177 |
. . . . . . . 8
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19 | 14, 15, 18 | sylancl 662 |
. . . . . . 7
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20 | imaexg 6624 |
. . . . . . . . 9
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21 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | elrnmpt 5193 |
. . . . . . . . 9
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23 | 6, 20, 22 | 3syl 20 |
. . . . . . . 8
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24 | 23 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . 7
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25 | 19, 24 | mpbird 232 |
. . . . . 6
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26 | imaeq2 5272 |
. . . . . . . . 9
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27 | 26 | cbvmptv 4490 |
. . . . . . . 8
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28 | 27 | rneqi 5173 |
. . . . . . 7
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29 | 11, 28 | eqtri 2483 |
. . . . . 6
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30 | 25, 29 | syl6eleqr 2553 |
. . . . 5
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31 | ffn 5666 |
. . . . . . . . 9
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32 | 9, 31 | syl 16 |
. . . . . . . 8
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33 | 32 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . 7
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34 | simplll 757 |
. . . . . . . 8
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35 | fbelss 19537 |
. . . . . . . . 9
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36 | 4, 35 | sylan 471 |
. . . . . . . 8
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37 | 34, 14, 36 | syl2anc 661 |
. . . . . . 7
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38 | fmucndlem 19997 |
. . . . . . 7
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39 | 33, 37, 38 | syl2anc 661 |
. . . . . 6
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40 | eqid 2454 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | mpt2fun 6301 |
. . . . . . . 8
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42 | funimass2 5599 |
. . . . . . . 8
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43 | 41, 42 | mpan 670 |
. . . . . . 7
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44 | 43 | adantl 466 |
. . . . . 6
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45 | 39, 44 | eqsstr3d 3498 |
. . . . 5
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46 | id 22 |
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47 | 46, 46 | xpeq12d 4972 |
. . . . . . 7
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48 | 47 | sseq1d 3490 |
. . . . . 6
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49 | 48 | rspcev 3177 |
. . . . 5
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50 | 30, 45, 49 | syl2anc 661 |
. . . 4
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51 | 1 | adantr 465 |
. . . . 5
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52 | 2 | adantr 465 |
. . . . 5
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53 | 5 | adantr 465 |
. . . . . 6
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54 | 6 | adantr 465 |
. . . . . 6
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55 | simpr 461 |
. . . . . 6
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56 | nfcv 2616 |
. . . . . . 7
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57 | nfcv 2616 |
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58 | nfcv 2616 |
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59 | nfcv 2616 |
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60 | simpl 457 |
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61 | 60 | fveq2d 5802 |
. . . . . . . 8
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62 | simpr 461 |
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63 | 62 | fveq2d 5802 |
. . . . . . . 8
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64 | 61, 63 | opeq12d 4174 |
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65 | 56, 57, 58, 59, 64 | cbvmpt2 6273 |
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66 | 51, 53, 54, 55, 65 | ucnprima 19988 |
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67 | cfiluexsm 19996 |
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68 | 51, 52, 66, 67 | syl3anc 1219 |
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69 | 50, 68 | r19.29a 2966 |
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70 | 69 | ralrimiva 2829 |
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71 | iscfilu 19994 |
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72 | 5, 71 | syl 16 |
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73 | 13, 70, 72 | mpbir2and 913 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4510 ax-sep 4520 ax-nul 4528 ax-pow 4577 ax-pr 4638 ax-un 6481 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2649 df-nel 2650 df-ral 2803 df-rex 2804 df-rab 2807 df-v 3078 df-sbc 3293 df-csb 3395 df-dif 3438 df-un 3440 df-in 3442 df-ss 3449 df-nul 3745 df-if 3899 df-pw 3969 df-sn 3985 df-pr 3987 df-op 3991 df-uni 4199 df-iun 4280 df-br 4400 df-opab 4458 df-mpt 4459 df-id 4743 df-xp 4953 df-rel 4954 df-cnv 4955 df-co 4956 df-dm 4957 df-rn 4958 df-res 4959 df-ima 4960 df-iota 5488 df-fun 5527 df-fn 5528 df-f 5529 df-fv 5533 df-ov 6202 df-oprab 6203 df-mpt2 6204 df-1st 6686 df-2nd 6687 df-map 7325 df-fbas 17938 df-ust 19906 df-ucn 19982 df-cfilu 19993 |
This theorem is referenced by: ucnextcn 20010 |
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