Theorem fmss 21009

Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmss	|- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )

Proof of Theorem fmss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1018	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> B e. ( fBas ` Y ) )
2		simprl 769	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> F : Y --> X )
3		simpl1 1017	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> X e. A )
4		eqid 2461	. . . . 5 |- ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. B |-> ( F " y ) )
5	4	fbasrn 20947	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1276	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
7		simpl3 1019	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> C e. ( fBas ` Y ) )
8		eqid 2461	. . . . 5 |- ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. C |-> ( F " y ) )
9	8	fbasrn 20947	. . . 4 |- ( ( C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
10	7, 2, 3, 9	syl3anc 1276	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
11		resmpt 5172	. . . . . 6 |- ( B C_ C -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
12	11	ad2antll 740	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
13		resss 5146	. . . . 5 |- ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) )
14	12, 13	syl6eqssr 3494	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
15		rnss 5081	. . . 4 |- ( ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
17		fgss 20936	. . 3 |- ( ( ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
18	6, 10, 16, 17	syl3anc 1276	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
19		fmval 21006	. . 3 |- ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
20	3, 1, 2, 19	syl3anc 1276	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
21		fmval 21006	. . 3 |- ( ( X e. A /\ C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
22	3, 7, 2, 21	syl3anc 1276	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
23	18, 20, 22	3sstr4d 3486	1 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   C_ wss 3415   |-> cmpt 4474   ran crn 4853   |` cres 4854   "cima 4855   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   fBascfbas 19006   filGencfg 19007   FilMap cfm 20996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-fm 21001

This theorem is referenced by:  ufldom  21025  cnpfcfi  21103