Theorem fmss 20953

Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmss	|- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )

Proof of Theorem fmss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1010	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> B e. ( fBas ` Y ) )
2		simprl 763	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> F : Y --> X )
3		simpl1 1009	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> X e. A )
4		eqid 2423	. . . . 5 |- ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. B |-> ( F " y ) )
5	4	fbasrn 20891	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1265	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
7		simpl3 1011	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> C e. ( fBas ` Y ) )
8		eqid 2423	. . . . 5 |- ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. C |-> ( F " y ) )
9	8	fbasrn 20891	. . . 4 |- ( ( C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
10	7, 2, 3, 9	syl3anc 1265	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
11		resmpt 5171	. . . . . 6 |- ( B C_ C -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
12	11	ad2antll 734	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
13		resss 5145	. . . . 5 |- ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) )
14	12, 13	syl6eqssr 3516	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
15		rnss 5080	. . . 4 |- ( ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
17		fgss 20880	. . 3 |- ( ( ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
18	6, 10, 16, 17	syl3anc 1265	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
19		fmval 20950	. . 3 |- ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
20	3, 1, 2, 19	syl3anc 1265	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
21		fmval 20950	. . 3 |- ( ( X e. A /\ C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
22	3, 7, 2, 21	syl3anc 1265	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
23	18, 20, 22	3sstr4d 3508	1 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   C_ wss 3437   |-> cmpt 4480   ran crn 4852   |` cres 4853   "cima 4854   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   fBascfbas 18951   filGencfg 18952   FilMap cfm 20940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-fm 20945

This theorem is referenced by:  ufldom  20969  cnpfcfi  21047