Theorem fmss 20613

Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmss	|- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )

Proof of Theorem fmss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 998	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> B e. ( fBas ` Y ) )
2		simprl 754	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> F : Y --> X )
3		simpl1 997	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> X e. A )
4		eqid 2454	. . . . 5 |- ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. B |-> ( F " y ) )
5	4	fbasrn 20551	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
7		simpl3 999	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> C e. ( fBas ` Y ) )
8		eqid 2454	. . . . 5 |- ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. C |-> ( F " y ) )
9	8	fbasrn 20551	. . . 4 |- ( ( C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
10	7, 2, 3, 9	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
11		resmpt 5311	. . . . . 6 |- ( B C_ C -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
12	11	ad2antll 726	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
13		resss 5285	. . . . 5 |- ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) )
14	12, 13	syl6eqssr 3540	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
15		rnss 5220	. . . 4 |- ( ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
16	14, 15	syl 16	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
17		fgss 20540	. . 3 |- ( ( ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
18	6, 10, 16, 17	syl3anc 1226	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
19		fmval 20610	. . 3 |- ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
20	3, 1, 2, 19	syl3anc 1226	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
21		fmval 20610	. . 3 |- ( ( X e. A /\ C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
22	3, 7, 2, 21	syl3anc 1226	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
23	18, 20, 22	3sstr4d 3532	1 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   C_ wss 3461   |-> cmpt 4497   ran crn 4989   |` cres 4990   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   fBascfbas 18601   filGencfg 18602   FilMap cfm 20600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-fm 20605

This theorem is referenced by:  ufldom  20629  cnpfcfi  20707