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Theorem fmss 19644
Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmss  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )

Proof of Theorem fmss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 992 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  B  e.  (
fBas `  Y )
)
2 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  F : Y --> X )
3 simpl1 991 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  X  e.  A
)
4 eqid 2451 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
54fbasrn 19582 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
61, 2, 3, 5syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
7 simpl3 993 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  C  e.  (
fBas `  Y )
)
8 eqid 2451 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )
98fbasrn 19582 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
107, 2, 3, 9syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
11 resmpt 5257 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  (
( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )
1211ad2antll 728 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )
13 resss 5235 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  C  |->  ( F " y ) )  |`  B )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )
1412, 13syl6eqssr 3508 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) )
15 rnss 5169 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( F " y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
17 fgss 19571 . . 3  |-  ( ( ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) 
C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
186, 10, 16, 17syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) )  C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) ) )
19 fmval 19641 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) ) )
203, 1, 2, 19syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
21 fmval 19641 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  C )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
223, 7, 2, 21syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  C
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F "
y ) ) ) )
2318, 20, 223sstr4d 3500 1  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3429    |-> cmpt 4451   ran crn 4942    |` cres 4943   "cima 4944   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   fBascfbas 17922   filGencfg 17923    FilMap cfm 19631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-id 4737  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-fm 19636
This theorem is referenced by:  ufldom  19660  cnpfcfi  19738
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