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Theorem fmss 21009
Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmss  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )

Proof of Theorem fmss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1018 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  B  e.  (
fBas `  Y )
)
2 simprl 769 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  F : Y --> X )
3 simpl1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  X  e.  A
)
4 eqid 2461 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
54fbasrn 20947 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
61, 2, 3, 5syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
7 simpl3 1019 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  C  e.  (
fBas `  Y )
)
8 eqid 2461 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )
98fbasrn 20947 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
107, 2, 3, 9syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
11 resmpt 5172 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  (
( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )
1211ad2antll 740 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )
13 resss 5146 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  C  |->  ( F " y ) )  |`  B )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )
1412, 13syl6eqssr 3494 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) )
15 rnss 5081 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( F " y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
17 fgss 20936 . . 3  |-  ( ( ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) 
C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
186, 10, 16, 17syl3anc 1276 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) )  C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) ) )
19 fmval 21006 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) ) )
203, 1, 2, 19syl3anc 1276 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
21 fmval 21006 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  C )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
223, 7, 2, 21syl3anc 1276 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  C
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F "
y ) ) ) )
2318, 20, 223sstr4d 3486 1  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1454    e. wcel 1897    C_ wss 3415    |-> cmpt 4474   ran crn 4853    |` cres 4854   "cima 4855   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   fBascfbas 19006   filGencfg 19007    FilMap cfm 20996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-id 4767  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-fm 21001
This theorem is referenced by:  ufldom  21025  cnpfcfi  21103
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