Theorem fmss 20182

Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmss	|- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )

Proof of Theorem fmss

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1000	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> B e. ( fBas ` Y ) )
2		simprl 755	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> F : Y --> X )
3		simpl1 999	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> X e. A )
4		eqid 2467	. . . . 5 |- ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. B |-> ( F " y ) )
5	4	fbasrn 20120	. . . 4 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
7		simpl3 1001	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> C e. ( fBas ` Y ) )
8		eqid 2467	. . . . 5 |- ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) = ran ( y e. C |-> ( F " y ) )
9	8	fbasrn 20120	. . . 4 |- ( ( C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X /\ X e. A ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
10	7, 2, 3, 9	syl3anc 1228	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) )
11		resmpt 5321	. . . . . 6 |- ( B C_ C -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
12	11	ad2antll 728	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) = ( y e. B |-> ( F " y ) ) )
13		resss 5295	. . . . 5 |- ( ( y e. C |-> ( F " y ) ) |` B ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) )
14	12, 13	syl6eqssr 3555	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
15		rnss 5229	. . . 4 |- ( ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ( y e. C |-> ( F " y ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
16	14, 15	syl 16	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) )
17		fgss 20109	. . 3 |- ( ( ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) e. ( fBas ` X ) /\ ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) C_ ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
18	6, 10, 16, 17	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) C_ ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
19		fmval 20179	. . 3 |- ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
20	3, 1, 2, 19	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) = ( X filGen ran ( y e. B |-> ( F " y ) ) ) )
21		fmval 20179	. . 3 |- ( ( X e. A /\ C e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
22	3, 7, 2, 21	syl3anc 1228	. 2 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` C ) = ( X filGen ran ( y e. C |-> ( F " y ) ) ) )
23	18, 20, 22	3sstr4d 3547	1 |- ( ( ( X e. A /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ C e. ( fBas ` Y ) ) /\ ( F : Y --> X /\ B C_ C ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ ( ( X FilMap F ) ` C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   C_ wss 3476   |-> cmpt 4505   ran crn 5000   |` cres 5001   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   fBascfbas 18177   filGencfg 18178   FilMap cfm 20169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-fm 20174

This theorem is referenced by:  ufldom  20198  cnpfcfi  20276