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Theorem fmss 20953
Description: A finer filter produces a finer image filter. (Contributed by Jeff Hankins, 16-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmss  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )

Proof of Theorem fmss
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1010 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  B  e.  (
fBas `  Y )
)
2 simprl 763 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  F : Y --> X )
3 simpl1 1009 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  X  e.  A
)
4 eqid 2423 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
54fbasrn 20891 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
61, 2, 3, 5syl3anc 1265 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
7 simpl3 1011 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  C  e.  (
fBas `  Y )
)
8 eqid 2423 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  C  |->  ( F " y ) )
98fbasrn 20891 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
107, 2, 3, 9syl3anc 1265 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
11 resmpt 5171 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  C  ->  (
( y  e.  C  |->  ( F " y
) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )
1211ad2antll 734 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  |`  B )  =  ( y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )
13 resss 5145 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  C  |->  ( F " y ) )  |`  B )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) )
1412, 13syl6eqssr 3516 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) )
15 rnss 5080 . . . 4  |-  ( ( y  e.  B  |->  ( F " y ) )  C_  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
1614, 15syl 17 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )
17 fgss 20880 . . 3  |-  ( ( ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
)  /\  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) ) 
C_  ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) 
C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
186, 10, 16, 17syl3anc 1265 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) )  C_  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F
" y ) ) ) )
19 fmval 20950 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) ) )
203, 1, 2, 19syl3anc 1265 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
21 fmval 20950 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  C  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  C )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F " y
) ) ) )
223, 7, 2, 21syl3anc 1265 . 2  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  C
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  C  |->  ( F "
y ) ) ) )
2318, 20, 223sstr4d 3508 1  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  C  e.  ( fBas `  Y ) )  /\  ( F : Y --> X  /\  B  C_  C ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  C_  ( ( X  FilMap  F ) `  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    C_ wss 3437    |-> cmpt 4480   ran crn 4852    |` cres 4853   "cima 4854   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   fBascfbas 18951   filGencfg 18952    FilMap cfm 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-fm 20945
This theorem is referenced by:  ufldom  20969  cnpfcfi  21047
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