MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmptpr Structured version   Unicode version

Theorem fmptpr 5998
Description: Express a pair function in maps-to notation. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptpr.1  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
fmptpr.2  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
fmptpr.3  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
fmptpr.4  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
fmptpr.5  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  E  =  C )
fmptpr.6  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  E  =  D )
Assertion
Ref Expression
fmptpr  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( x  e.  { A ,  B }  |->  E ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, C    x, D    ph, x
Allowed substitution hints:    E( x)    V( x)    W( x)    X( x)    Y( x)

Proof of Theorem fmptpr
StepHypRef Expression
1 df-pr 3947 . . 3  |-  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )
21a1i 11 . 2  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( {
<. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } ) )
3 fmptpr.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  =  A )  ->  E  =  C )
4 fmptpr.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  V )
5 fmptpr.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  X )
63, 4, 5fmptsnd 5995 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  E ) )
76uneq1d 3571 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. A ,  C >. }  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( ( x  e.  { A }  |->  E )  u. 
{ <. B ,  D >. } ) )
8 fmptpr.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  W )
9 elex 3043 . . . 4  |-  ( B  e.  W  ->  B  e.  _V )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
11 fmptpr.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  Y )
12 elex 3043 . . . 4  |-  ( D  e.  Y  ->  D  e.  _V )
1311, 12syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
14 df-pr 3947 . . . . 5  |-  { A ,  B }  =  ( { A }  u.  { B } )
1514eqcomi 2395 . . . 4  |-  ( { A }  u.  { B } )  =  { A ,  B }
1615a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( { A }  u.  { B } )  =  { A ,  B } )
17 fmptpr.6 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  =  B )  ->  E  =  D )
1810, 13, 16, 17fmptapd 5997 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e. 
{ A }  |->  E )  u.  { <. B ,  D >. } )  =  ( x  e. 
{ A ,  B }  |->  E ) )
192, 7, 183eqtrd 2427 1  |-  ( ph  ->  { <. A ,  C >. ,  <. B ,  D >. }  =  ( x  e.  { A ,  B }  |->  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    u. cun 3387   {csn 3944   {cpr 3946   <.cop 3950    |-> cmpt 4425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-opab 4426  df-mpt 4427
This theorem is referenced by:  pmtrprfvalrn  16630  esumsnf  28212  zlmodzxzscm  33146  zlmodzxzadd  33147
  Copyright terms: Public domain W3C validator