Theorem fmptcof2 27174

Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptcof2.1	|- F/_ x A
fmptcof2.2	|- F/_ x B
fmptcof2.3	|- F/ x ph
fmptcof2.4	|- ( ph -> A. x e. A R e. B )
fmptcof2.5	|- ( ph -> F = ( x e. A |-> R ) )
fmptcof2.6	|- ( ph -> G = ( y e. B |-> S ) )
fmptcof2.7	|- ( y = R -> S = T )

Assertion

Ref	Expression
fmptcof2	|- ( ph -> ( G o. F ) = ( x e. A |-> T ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, B   y, R   x, S   y, T

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x)   R( x)   S( y)   T( x)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem fmptcof2

Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5503	. 2 |- Rel ( G o. F )
2		funmpt 5622	. . 3 |- Fun ( x e. A |-> T )
3		funrel 5603	. . 3 |- ( Fun ( x e. A |-> T ) -> Rel ( x e. A |-> T ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- Rel ( x e. A |-> T )
5		fmptcof2.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ph
6		fmptcof2.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x A
7		fmptcof2.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x B
8		fmptcof2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A R e. B )
9	8	r19.21bi 2833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. B )
10		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
11	5, 6, 7, 9, 10	fmptdF 27167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> B )
12		fmptcof2.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> R ) )
13	12	feq1d 5715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F : A --> B <-> ( x e. A |-> R ) : A --> B ) )
14	11, 13	mpbird 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> B )
15		ffun 5731	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> Fun F )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun F )
17		funbrfv 5904	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z F u -> ( F ` z ) = u ) )
18	17	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z F u ) -> ( F ` z ) = u )
19	16, 18	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z F u ) -> ( F ` z ) = u )
20	19	eqcomd 2475	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z F u ) -> u = ( F ` z ) )
21	20	a1d 25	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z F u ) -> ( u G w -> u = ( F ` z ) ) )
22	21	expimpd 603	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z F u /\ u G w ) -> u = ( F ` z ) ) )
23	22	pm4.71rd 635	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z F u /\ u G w ) <-> ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) ) )
24	23	exbidv 1690	. . . 4 |- ( ph -> ( E. u ( z F u /\ u G w ) <-> E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) ) )
25		fvex 5874	. . . . . 6 |- ( F ` z ) e. _V
26		breq2 4451	. . . . . . 7 |- ( u = ( F ` z ) -> ( z F u <-> z F ( F ` z ) ) )
27		breq1 4450	. . . . . . 7 |- ( u = ( F ` z ) -> ( u G w <-> ( F ` z ) G w ) )
28	26, 27	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( u = ( F ` z ) -> ( ( z F u /\ u G w ) <-> ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) ) )
29	25, 28	ceqsexv 3150	. . . . 5 |- ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) )
30		funfvbrb 5992	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( z e. dom F <-> z F ( F ` z ) ) )
31	16, 30	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. dom F <-> z F ( F ` z ) ) )
32		fdm 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
33	14, 32	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = A )
34	33	eleq2d 2537	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. dom F <-> z e. A ) )
35	31, 34	bitr3d 255	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z F ( F ` z ) <-> z e. A ) )
36	12	fveq1d 5866	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` z ) = ( ( x e. A |-> R ) ` z ) )
37		fmptcof2.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G = ( y e. B |-> S ) )
38		eqidd 2468	. . . . . . . 8 |- ( ph -> w = w )
39	36, 37, 38	breq123d 4461	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` z ) G w <-> ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) )
40	35, 39	anbi12d 710	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) <-> ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) ) )
41	6	nfcri 2622	. . . . . . . . . 10 |- F/ x z e. A
42		nffvmpt1 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` z )
43		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x S
44	7, 43	nfmpt 4535	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( y e. B |-> S )
45		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x w
46	42, 44, 45	nfbr 4491	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w
47		nfcsb1v 3451	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x [_ z / x ]_ T
48	47	nfeq2 2646	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x w = [_ z / x ]_ T
49	46, 48	nfbi 1881	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T )
50	5, 49	nfim 1867	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
51	41, 50	nfim 1867	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( z e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
52		eleq1 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
53		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = ( ( x e. A |-> R ) ` z ) )
54	53	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) )
55		csbeq1a 3444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> T = [_ z / x ]_ T )
56	55	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( w = T <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
57	54, 56	bibi12d 321	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) <-> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
58	57	imbi2d 316	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) <-> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) ) )
59	52, 58	imbi12d 320	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( x e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) ) <-> ( z e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) ) ) )
60		vex 3116	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
61		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> y = R )
62	61	eleq1d 2536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( y e. B <-> R e. B ) )
63		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> u = w )
64		fmptcof2.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = R -> S = T )
65	64	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> S = T )
66	63, 65	eqeq12d 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( u = S <-> w = T ) )
67	62, 66	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( ( y e. B /\ u = S ) <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
68		df-mpt 4507	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. B |-> S ) = { <. y , u >. | ( y e. B /\ u = S ) }
69	67, 68	brabga 4761	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. B /\ w e. _V ) -> ( R ( y e. B |-> S ) w <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
70	9, 60, 69	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R ( y e. B |-> S ) w <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
71		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
72	6	fvmpt2f 27170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ R e. B ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
73	71, 9, 72	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
74	73	breq1d 4457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> R ( y e. B |-> S ) w ) )
75	9	biantrurd 508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( w = T <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
76	70, 74, 75	3bitr4d 285	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) )
77	76	expcom 435	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) )
78	51, 59, 77	chvar 1982	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
79	78	impcom 430	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
80	79	pm5.32da 641	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
81	40, 80	bitrd 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
82	29, 81	syl5bb 257	. . . 4 |- ( ph -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
83	24, 82	bitrd 253	. . 3 |- ( ph -> ( E. u ( z F u /\ u G w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
84		vex 3116	. . . 4 |- z e. _V
85	84, 60	opelco 5172	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( G o. F ) <-> E. u ( z F u /\ u G w ) )
86		df-mpt 4507	. . . . 5 |- ( x e. A |-> T ) = { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) }
87	86	eleq2i 2545	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) <-> <. z , w >. e. { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) } )
88	47	nfeq2 2646	. . . . . 6 |- F/ x v = [_ z / x ]_ T
89	41, 88	nfan 1875	. . . . 5 |- F/ x ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T )
90		nfv 1683	. . . . 5 |- F/ v ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T )
91	55	eqeq2d 2481	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( v = T <-> v = [_ z / x ]_ T ) )
92	52, 91	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( x e. A /\ v = T ) <-> ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T ) ) )
93		eqeq1 2471	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( v = [_ z / x ]_ T <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
94	93	anbi2d 703	. . . . 5 |- ( v = w -> ( ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
95	89, 90, 84, 60, 92, 94	opelopabf 4772	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) } <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) )
96	87, 95	bitri 249	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) )
97	83, 85, 96	3bitr4g 288	. 2 |- ( ph -> ( <. z , w >. e. ( G o. F ) <-> <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) ) )
98	1, 4, 97	eqrelrdv 5097	1 |- ( ph -> ( G o. F ) = ( x e. A |-> T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   E.wex 1596   F/wnf 1599   e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   o. ccom 5003   Rel wrel 5004   Fun wfun 5580   -->wf 5582   ` cfv 5586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594

This theorem is referenced by:  esumf1o  27701