Theorem fmptcof2 24029

Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptcof2.1	|- F/_ x A
fmptcof2.2	|- F/_ x B
fmptcof2.3	|- F/ x ph
fmptcof2.4	|- ( ph -> A. x e. A R e. B )
fmptcof2.5	|- ( ph -> F = ( x e. A |-> R ) )
fmptcof2.6	|- ( ph -> G = ( y e. B |-> S ) )
fmptcof2.7	|- ( y = R -> S = T )

Assertion

Ref	Expression
fmptcof2	|- ( ph -> ( G o. F ) = ( x e. A |-> T ) )

Distinct variable groups:   x, y   y, B   y, R   x, S   y, T

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)   B( x)   R( x)   S( y)   T( x)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem fmptcof2

Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5327	. 2 |- Rel ( G o. F )
2		funmpt 5448	. . 3 |- Fun ( x e. A |-> T )
3		funrel 5430	. . 3 |- ( Fun ( x e. A |-> T ) -> Rel ( x e. A |-> T ) )
4	2, 3	ax-mp 8	. 2 |- Rel ( x e. A |-> T )
5		fmptcof2.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ph
6		fmptcof2.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x A
7		fmptcof2.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x B
8		fmptcof2.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. x e. A R e. B )
9	8	r19.21bi 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. B )
10		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
11	5, 6, 7, 9, 10	fmptdF 24022	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> B )
12		fmptcof2.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> R ) )
13	12	feq1d 5539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F : A --> B <-> ( x e. A |-> R ) : A --> B ) )
14	11, 13	mpbird 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> B )
15		ffun 5552	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> Fun F )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun F )
17		funbrfv 5724	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z F u -> ( F ` z ) = u ) )
18	17	imp 419	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z F u ) -> ( F ` z ) = u )
19	16, 18	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z F u ) -> ( F ` z ) = u )
20	19	eqcomd 2409	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z F u ) -> u = ( F ` z ) )
21	20	a1d 23	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z F u ) -> ( u G w -> u = ( F ` z ) ) )
22	21	expimpd 587	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z F u /\ u G w ) -> u = ( F ` z ) ) )
23	22	pm4.71rd 617	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z F u /\ u G w ) <-> ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) ) )
24	23	exbidv 1633	. . . 4 |- ( ph -> ( E. u ( z F u /\ u G w ) <-> E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) ) )
25		fvex 5701	. . . . . 6 |- ( F ` z ) e. _V
26		breq2 4176	. . . . . . 7 |- ( u = ( F ` z ) -> ( z F u <-> z F ( F ` z ) ) )
27		breq1 4175	. . . . . . 7 |- ( u = ( F ` z ) -> ( u G w <-> ( F ` z ) G w ) )
28	26, 27	anbi12d 692	. . . . . 6 |- ( u = ( F ` z ) -> ( ( z F u /\ u G w ) <-> ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) ) )
29	25, 28	ceqsexv 2951	. . . . 5 |- ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) )
30		funfvbrb 5802	. . . . . . . . 9 |- ( Fun F -> ( z e. dom F <-> z F ( F ` z ) ) )
31	16, 30	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. dom F <-> z F ( F ` z ) ) )
32		fdm 5554	. . . . . . . . . 10 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
33	14, 32	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = A )
34	33	eleq2d 2471	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( z e. dom F <-> z e. A ) )
35	31, 34	bitr3d 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z F ( F ` z ) <-> z e. A ) )
36	12	fveq1d 5689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` z ) = ( ( x e. A |-> R ) ` z ) )
37		fmptcof2.6	. . . . . . . 8 |- ( ph -> G = ( y e. B |-> S ) )
38		eqidd 2405	. . . . . . . 8 |- ( ph -> w = w )
39	36, 37, 38	breq123d 4186	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F ` z ) G w <-> ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) )
40	35, 39	anbi12d 692	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) <-> ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) ) )
41	6	nfcri 2534	. . . . . . . . . 10 |- F/ x z e. A
42		nffvmpt1 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` z )
43		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x S
44	7, 43	nfmpt 4257	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x ( y e. B |-> S )
45		nfcv 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x w
46	42, 44, 45	nfbr 4216	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w
47		nfcsb1v 3243	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x [_ z / x ]_ T
48	47	nfeq2 2551	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x w = [_ z / x ]_ T
49	46, 48	nfbi 1852	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T )
50	5, 49	nfim 1828	. . . . . . . . . 10 |- F/ x ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
51	41, 50	nfim 1828	. . . . . . . . 9 |- F/ x ( z e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
52		eleq1 2464	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
53		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = ( ( x e. A |-> R ) ` z ) )
54	53	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) )
55		csbeq1a 3219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> T = [_ z / x ]_ T )
56	55	eqeq2d 2415	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( w = T <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
57	54, 56	bibi12d 313	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) <-> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
58	57	imbi2d 308	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) <-> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) ) )
59	52, 58	imbi12d 312	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( x e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) ) <-> ( z e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) ) ) )
60		vex 2919	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
61		simpl 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> y = R )
62	61	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( y e. B <-> R e. B ) )
63		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> u = w )
64		fmptcof2.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = R -> S = T )
65	64	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> S = T )
66	63, 65	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( u = S <-> w = T ) )
67	62, 66	anbi12d 692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( ( y e. B /\ u = S ) <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
68		df-mpt 4228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. B |-> S ) = { <. y , u >. | ( y e. B /\ u = S ) }
69	67, 68	brabga 4429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. B /\ w e. _V ) -> ( R ( y e. B |-> S ) w <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
70	9, 60, 69	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R ( y e. B |-> S ) w <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
71		simpr 448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
72	6	fvmpt2f 24025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. A /\ R e. B ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
73	71, 9, 72	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
74	73	breq1d 4182	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> R ( y e. B |-> S ) w ) )
75	9	biantrurd 495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( w = T <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
76	70, 74, 75	3bitr4d 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) )
77	76	expcom 425	. . . . . . . . 9 |- ( x e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) )
78	51, 59, 77	chvar 2039	. . . . . . . 8 |- ( z e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
79	78	impcom 420	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
80	79	pm5.32da 623	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
81	40, 80	bitrd 245	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
82	29, 81	syl5bb 249	. . . 4 |- ( ph -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
83	24, 82	bitrd 245	. . 3 |- ( ph -> ( E. u ( z F u /\ u G w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
84		vex 2919	. . . 4 |- z e. _V
85	84, 60	opelco 5003	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( G o. F ) <-> E. u ( z F u /\ u G w ) )
86		df-mpt 4228	. . . . 5 |- ( x e. A |-> T ) = { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) }
87	86	eleq2i 2468	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) <-> <. z , w >. e. { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) } )
88	47	nfeq2 2551	. . . . . 6 |- F/ x v = [_ z / x ]_ T
89	41, 88	nfan 1842	. . . . 5 |- F/ x ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T )
90		nfv 1626	. . . . 5 |- F/ v ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T )
91	55	eqeq2d 2415	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( v = T <-> v = [_ z / x ]_ T ) )
92	52, 91	anbi12d 692	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( x e. A /\ v = T ) <-> ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T ) ) )
93		eqeq1 2410	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( v = [_ z / x ]_ T <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
94	93	anbi2d 685	. . . . 5 |- ( v = w -> ( ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
95	89, 90, 84, 60, 92, 94	opelopabf 4439	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) } <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) )
96	87, 95	bitri 241	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) )
97	83, 85, 96	3bitr4g 280	. 2 |- ( ph -> ( <. z , w >. e. ( G o. F ) <-> <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) ) )
98	1, 4, 97	eqrelrdv 4931	1 |- ( ph -> ( G o. F ) = ( x e. A |-> T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   E.wex 1547   F/wnf 1550   = wceq 1649   e. wcel 1721   F/_wnfc 2527   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211   <.cop 3777   class class class wbr 4172   {copab 4225   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   o. ccom 4841   Rel wrel 4842   Fun wfun 5407   -->wf 5409   ` cfv 5413

This theorem is referenced by:  esumf1o  24398

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421