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Theorem fmptcof2 28259
Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptcof2.x  |-  F/_ x S
fmptcof2.y  |-  F/_ y T
fmptcof2.1  |-  F/_ x A
fmptcof2.2  |-  F/_ x B
fmptcof2.3  |-  F/ x ph
fmptcof2.4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  B )
fmptcof2.5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
fmptcof2.6  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
fmptcof2.7  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
Assertion
Ref Expression
fmptcof2  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Distinct variable groups:    x, y    y, B    y, R
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x)    R( x)    S( x, y)    T( x, y)    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem fmptcof2
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5333 . 2  |-  Rel  ( G  o.  F )
2 funmpt 5618 . . 3  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  T )
3 funrel 5599 . . 3  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  T )  ->  Rel  ( x  e.  A  |->  T ) )
42, 3ax-mp 5 . 2  |-  Rel  (
x  e.  A  |->  T )
5 fmptcof2.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x ph
6 fmptcof2.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x A
7 fmptcof2.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x B
8 fmptcof2.4 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  R  e.  B )
98r19.21bi 2757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  B )
10 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
115, 6, 7, 9, 10fmptdF 28255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B )
12 fmptcof2.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
1312feq1d 5714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B ) )
1411, 13mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
15 ffun 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  F )
17 funbrfv 5903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z F u  ->  ( F `
 z )  =  u ) )
1817imp 431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z F u )  -> 
( F `  z
)  =  u )
1916, 18sylan 474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  ( F `  z )  =  u )
2019eqcomd 2457 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  u  =  ( F `  z ) )
2120a1d 26 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  (
u G w  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
2221expimpd 608 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
2322pm4.71rd 641 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  <->  ( u  =  ( F `  z )  /\  (
z F u  /\  u G w ) ) ) )
2423exbidv 1768 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  E. u
( u  =  ( F `  z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) ) ) )
25 fvex 5875 . . . . . 6  |-  ( F `
 z )  e. 
_V
26 breq2 4406 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
z F u  <->  z F
( F `  z
) ) )
27 breq1 4405 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
u G w  <->  ( F `  z ) G w ) )
2826, 27anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
( z F u  /\  u G w )  <->  ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w ) ) )
2925, 28ceqsexv 3084 . . . . 5  |-  ( E. u ( u  =  ( F `  z
)  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <-> 
( z F ( F `  z )  /\  ( F `  z ) G w ) )
30 funfvbrb 5995 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  dom  F  <->  z F
( F `  z
) ) )
3116, 30syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z F ( F `
 z ) ) )
32 fdm 5733 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
3314, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
3433eleq2d 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
3531, 34bitr3d 259 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( z F ( F `  z )  <-> 
z  e.  A ) )
3612fveq1d 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
37 fmptcof2.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
38 eqidd 2452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  w  =  w )
3936, 37, 38breq123d 4416 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( F `  z ) G w  <-> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
4035, 39anbi12d 717 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) ) )
416nfcri 2586 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  z  e.  A
42 nffvmpt1 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z )
43 fmptcof2.x . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x S
447, 43nfmpt 4491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( y  e.  B  |->  S )
45 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x w
4642, 44, 45nfbr 4447 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w
47 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ T
4847nfeq2 2607 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  w  =  [_ z  /  x ]_ T
4946, 48nfbi 2017 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
505, 49nfim 2003 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
5141, 50nfim 2003 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( z  e.  A  ->  ( ph  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
52 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
53 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
5453breq1d 4412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
55 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  T  =  [_ z  /  x ]_ T )
5655eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
w  =  T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
5754, 56bibi12d 323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
5857imbi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  T ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) )
5952, 58imbi12d 322 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  ->  ( ph  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T
) ) )  <->  ( z  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) ) )
60 vex 3048 . . . . . . . . . . . 12  |-  w  e. 
_V
61 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  R  e.  B
62 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y
w
63 fmptcof2.y . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ y T
6462, 63nfeq 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  w  =  T
6561, 64nfan 2011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y ( R  e.  B  /\  w  =  T
)
66 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  y  =  R )
6766eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( y  e.  B  <->  R  e.  B ) )
68 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  u  =  w )
69 fmptcof2.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
7069adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  S  =  T )
7168, 70eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( u  =  S  <-> 
w  =  T ) )
7267, 71anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( ( y  e.  B  /\  u  =  S )  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
73 df-mpt 4463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  { <. y ,  u >.  |  (
y  e.  B  /\  u  =  S ) }
7465, 72, 73brabgaf 28216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  B  /\  w  e.  _V )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
759, 60, 74sylancl 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
( R  e.  B  /\  w  =  T
) ) )
76 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
776fvmpt2f 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  A  /\  R  e.  B )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x )  =  R )
7876, 9, 77syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  R )
7978breq1d 4412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  R ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
809biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
w  =  T  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
8175, 79, 803bitr4d 289 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T
) )
8281expcom 437 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T ) ) )
8351, 59, 82chvar 2106 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8483impcom 432 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
8584pm5.32da 647 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8640, 85bitrd 257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
8729, 86syl5bb 261 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( u  =  ( F `
 z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8824, 87bitrd 257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
89 vex 3048 . . . 4  |-  z  e. 
_V
9089, 60opelco 5006 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( G  o.  F
)  <->  E. u ( z F u  /\  u G w ) )
91 df-mpt 4463 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  T )  =  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }
9291eleq2i 2521 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) } )
9347nfeq2 2607 . . . . . 6  |-  F/ x  v  =  [_ z  /  x ]_ T
9441, 93nfan 2011 . . . . 5  |-  F/ x
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )
95 nfv 1761 . . . . 5  |-  F/ v ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
9655eqeq2d 2461 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
v  =  T  <->  v  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9752, 96anbi12d 717 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  /\  v  =  T
)  <->  ( z  e.  A  /\  v  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
98 eqeq1 2455 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  (
v  =  [_ z  /  x ]_ T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9998anbi2d 710 . . . . 5  |-  ( v  =  w  ->  (
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
10094, 95, 89, 60, 97, 99opelopabf 4726 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  v
>.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10192, 100bitri 253 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10288, 90, 1013bitr4g 292 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( G  o.  F )  <->  <. z ,  w >.  e.  (
x  e.  A  |->  T ) ) )
1031, 4, 102eqrelrdv 4931 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444   E.wex 1663   F/wnf 1667    e. wcel 1887   F/_wnfc 2579   A.wral 2737   _Vcvv 3045   [_csb 3363   <.cop 3974   class class class wbr 4402   {copab 4460    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834    o. ccom 4838   Rel wrel 4839   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590
This theorem is referenced by:  esumf1o  28871
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