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Theorem fmptcof2 28259
 Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Thierry Arnoux, 10-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptcof2.x
fmptcof2.y
fmptcof2.1
fmptcof2.2
fmptcof2.3
fmptcof2.4
fmptcof2.5
fmptcof2.6
fmptcof2.7
Assertion
Ref Expression
fmptcof2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   ()   ()   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem fmptcof2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5333 . 2
2 funmpt 5618 . . 3
3 funrel 5599 . . 3
42, 3ax-mp 5 . 2
5 fmptcof2.3 . . . . . . . . . . . . 13
6 fmptcof2.1 . . . . . . . . . . . . 13
7 fmptcof2.2 . . . . . . . . . . . . 13
8 fmptcof2.4 . . . . . . . . . . . . . 14
98r19.21bi 2757 . . . . . . . . . . . . 13
10 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
115, 6, 7, 9, 10fmptdF 28255 . . . . . . . . . . . 12
12 fmptcof2.5 . . . . . . . . . . . . 13
1312feq1d 5714 . . . . . . . . . . . 12
1411, 13mpbird 236 . . . . . . . . . . 11
15 ffun 5731 . . . . . . . . . . 11
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . 10
17 funbrfv 5903 . . . . . . . . . . 11
1817imp 431 . . . . . . . . . 10
1916, 18sylan 474 . . . . . . . . 9
2019eqcomd 2457 . . . . . . . 8
2120a1d 26 . . . . . . 7
2221expimpd 608 . . . . . 6
2322pm4.71rd 641 . . . . 5
2423exbidv 1768 . . . 4
25 fvex 5875 . . . . . 6
26 breq2 4406 . . . . . . 7
27 breq1 4405 . . . . . . 7
2826, 27anbi12d 717 . . . . . 6
2925, 28ceqsexv 3084 . . . . 5
30 funfvbrb 5995 . . . . . . . . 9
3116, 30syl 17 . . . . . . . 8
32 fdm 5733 . . . . . . . . . 10
3314, 32syl 17 . . . . . . . . 9
3433eleq2d 2514 . . . . . . . 8
3531, 34bitr3d 259 . . . . . . 7
3612fveq1d 5867 . . . . . . . 8
37 fmptcof2.6 . . . . . . . 8
38 eqidd 2452 . . . . . . . 8
3936, 37, 38breq123d 4416 . . . . . . 7
4035, 39anbi12d 717 . . . . . 6
416nfcri 2586 . . . . . . . . . 10
42 nffvmpt1 5873 . . . . . . . . . . . . 13
43 fmptcof2.x . . . . . . . . . . . . . 14
447, 43nfmpt 4491 . . . . . . . . . . . . 13
45 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13
4642, 44, 45nfbr 4447 . . . . . . . . . . . 12
47 nfcsb1v 3379 . . . . . . . . . . . . 13
4847nfeq2 2607 . . . . . . . . . . . 12
4946, 48nfbi 2017 . . . . . . . . . . 11
505, 49nfim 2003 . . . . . . . . . 10
5141, 50nfim 2003 . . . . . . . . 9
52 eleq1 2517 . . . . . . . . . 10
53 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13
5453breq1d 4412 . . . . . . . . . . . 12
55 csbeq1a 3372 . . . . . . . . . . . . 13
5655eqeq2d 2461 . . . . . . . . . . . 12
5754, 56bibi12d 323 . . . . . . . . . . 11
5857imbi2d 318 . . . . . . . . . 10
5952, 58imbi12d 322 . . . . . . . . 9
60 vex 3048 . . . . . . . . . . . 12
61 nfv 1761 . . . . . . . . . . . . . 14
62 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 fmptcof2.y . . . . . . . . . . . . . . 15
6462, 63nfeq 2603 . . . . . . . . . . . . . 14
6561, 64nfan 2011 . . . . . . . . . . . . 13
66 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15
6766eleq1d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14
68 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15
69 fmptcof2.7 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7069adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
7168, 70eqeq12d 2466 . . . . . . . . . . . . . 14
7267, 71anbi12d 717 . . . . . . . . . . . . 13
73 df-mpt 4463 . . . . . . . . . . . . 13
7465, 72, 73brabgaf 28216 . . . . . . . . . . . 12
759, 60, 74sylancl 668 . . . . . . . . . . 11
76 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13
776fvmpt2f 5949 . . . . . . . . . . . . 13
7876, 9, 77syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12
7978breq1d 4412 . . . . . . . . . . 11
809biantrurd 511 . . . . . . . . . . 11
8175, 79, 803bitr4d 289 . . . . . . . . . 10
8281expcom 437 . . . . . . . . 9
8351, 59, 82chvar 2106 . . . . . . . 8
8483impcom 432 . . . . . . 7
8584pm5.32da 647 . . . . . 6
8640, 85bitrd 257 . . . . 5
8729, 86syl5bb 261 . . . 4
8824, 87bitrd 257 . . 3
89 vex 3048 . . . 4
9089, 60opelco 5006 . . 3
91 df-mpt 4463 . . . . 5
9291eleq2i 2521 . . . 4
9347nfeq2 2607 . . . . . 6
9441, 93nfan 2011 . . . . 5
95 nfv 1761 . . . . 5
9655eqeq2d 2461 . . . . . 6
9752, 96anbi12d 717 . . . . 5
98 eqeq1 2455 . . . . . 6
9998anbi2d 710 . . . . 5
10094, 95, 89, 60, 97, 99opelopabf 4726 . . . 4
10192, 100bitri 253 . . 3
10288, 90, 1013bitr4g 292 . 2
1031, 4, 102eqrelrdv 4931 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1444  wex 1663  wnf 1667   wcel 1887  wnfc 2579  wral 2737  cvv 3045  csb 3363  cop 3974   class class class wbr 4402  copab 4460   cmpt 4461   cdm 4834   ccom 4838   wrel 4839   wfun 5576  wf 5578  cfv 5582 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590 This theorem is referenced by:  esumf1o  28871
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