MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmptap Structured version   Unicode version

Theorem fmptap 5888
Description: Append an additional value to a function. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptap.0a  |-  A  e. 
_V
fmptap.0b  |-  B  e. 
_V
fmptap.1  |-  ( R  u.  { A }
)  =  S
fmptap.2  |-  ( x  =  A  ->  C  =  B )
Assertion
Ref Expression
fmptap  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, R    x, S
Allowed substitution hint:    C( x)

Proof of Theorem fmptap
StepHypRef Expression
1 fmptap.0a . . . . 5  |-  A  e. 
_V
2 fmptap.0b . . . . 5  |-  B  e. 
_V
3 fmptsn 5886 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B ) )
41, 2, 3mp2an 665 . . . 4  |-  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  B )
5 elsni 3890 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { A }  ->  x  =  A )
6 fmptap.2 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  C  =  B )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( x  e.  { A }  ->  C  =  B )
87mpteq2ia 4362 . . . 4  |-  ( x  e.  { A }  |->  C )  =  ( x  e.  { A }  |->  B )
94, 8eqtr4i 2456 . . 3  |-  { <. A ,  B >. }  =  ( x  e.  { A }  |->  C )
109uneq2i 3495 . 2  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e. 
{ A }  |->  C ) )
11 mptun 5529 . 2  |-  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  ( x  e.  { A }  |->  C ) )
12 fmptap.1 . . 3  |-  ( R  u.  { A }
)  =  S
13 mpteq1 4360 . . 3  |-  ( ( R  u.  { A } )  =  S  ->  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( x  e.  S  |->  C ) )
1412, 13ax-mp 5 . 2  |-  ( x  e.  ( R  u.  { A } )  |->  C )  =  ( x  e.  S  |->  C )
1510, 11, 143eqtr2i 2459 1  |-  ( ( x  e.  R  |->  C )  u.  { <. A ,  B >. } )  =  ( x  e.  S  |->  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1362    e. wcel 1755   _Vcvv 2962    u. cun 3314   {csn 3865   <.cop 3871    e. cmpt 4338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator