MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfnfmlem4 Structured version   Unicode version

Theorem fmfnfmlem4 20221
Description: Lemma for fmfnfm 20222. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, B    F, s, t, x    L, s, t, x    ph, s, t, x    X, s, t, x    Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem4
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
2 filelss 20116 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  t  e.  L )  ->  t  C_  X )
32ex 434 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X ) )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X )
)
5 fmfnfm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
6 mptexg 6130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
7 rnexg 6716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
91, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e. 
_V )
10 unexg 6585 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V )
115, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  e.  _V )
12 ssfii 7879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
1312unssbd 3682 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
16 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " t )  =  ( `' F " t )
17 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " t ) )
1817eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
( `' F "
t )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) ) )
1918rspcev 3214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  L  /\  ( `' F " t )  =  ( `' F " t ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
2016, 19mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  L  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
22 elfvdm 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
235, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  dom  fBas )
24 cnvimass 5357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " t ) 
C_  dom  F
25 fmfnfm.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
26 fdm 5735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
2824, 27syl5sseq 3552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  C_  Y
)
2923, 28ssexd 4594 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  e.  _V )
3029adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
31 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
3231elrnmpt 5249 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3421, 33mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
3515, 34sseldd 3505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
36 ffun 5733 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
37 ssid 3523 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t )
38 funimass2 5662 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t ) )  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
3936, 37, 38sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4025, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
42 imaeq2 5333 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " t ) ) )
4342sseq1d 3531 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
t ) )  C_  t ) )
4443rspcev 3214 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  /\  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4535, 41, 44syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4645ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) )
474, 46jcad 533 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
48 elfiun 7890 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  (
s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
495, 9, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
50 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
515, 1, 25, 50fmfnfmlem1 20218 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  B )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
525, 1, 25, 50fmfnfmlem3 20220 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
5352eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
54 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
5531elrnmpt 5249 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
575, 1, 25, 50fmfnfmlem2 20219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
5856, 57syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
5953, 58sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  (
( F " s
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
6052eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
61 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
6231elrnmpt 5249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) )
6460, 63syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
66 fbssfi 20101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  z  e.  ( fi `  B
) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
675, 66sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
681ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
691adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
7050adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 B )  C_  L )
71 filtop 20119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
721, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
7372, 5, 253jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
75 ssfg 20136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
765, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
7776sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  ( Y filGen B ) )
78 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
7978imaelfm 20215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
8074, 77, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
8170, 80sseldd 3505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  L )
8281adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( F " s
)  e.  L )
8369, 82jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
) )
84 filin 20118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F " s )  e.  L  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
85843expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
8683, 85sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " s )  i^i  x )  e.  L
)
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  e.  L
)
88 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
89 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( ( F
" s )  i^i  x )  <->  ( w  e.  ( F " s
)  /\  w  e.  x ) )
9025, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Fun  F )
91 fvelima 5919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " s
) )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w )
9291ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Fun 
F  ->  ( w  e.  ( F " s
)  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w ) )
9390, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( F " s )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y
)  =  w ) )
9493ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  ->  E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w ) )
9590ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  ->  Fun  F )
96 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  s  C_  z )
97 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) )  ->  y  e.  s )
98 ssel2 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( s  C_  z  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  z )
9996, 97, 98syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  z )
10090ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  Fun  F )
101 fbelss 20097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
1025, 101sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
10327adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  dom  F  =  Y )
104102, 103sseqtr4d 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_ 
dom  F )
105104adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
s  C_  dom  F )
106105sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  dom  F )
107 fvimacnv 5996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
108100, 106, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
109108biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  ->  y  e.  ( `' F "
x ) ) )
110109impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `
 y )  e.  x ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
111110ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
11299, 111elind 3688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )
113 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  ( `' F " x )
114 cnvimass 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
115113, 114sstri 3513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  dom  F
116 funfvima2 6136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  (
z  i^i  ( `' F " x ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
117115, 116mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun 
F  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
11895, 112, 117sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
119118anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  (
y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
120119expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
121 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  w  e.  x ) )
122 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
123121, 122imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( w  e.  x  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
124120, 123syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
125124rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  ( E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
12694, 125syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
127126impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
( w  e.  ( F " s )  /\  w  e.  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
12889, 127syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( ( F " s )  i^i  x )  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
129128adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( w  e.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
130129ssrdv 3510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
131 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
)
132130, 131sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  t
)
133 filss 20117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( ( F "
s )  i^i  x
)  e.  L  /\  t  C_  X  /\  (
( F " s
)  i^i  x )  C_  t ) )  -> 
t  e.  L )
13468, 87, 88, 132, 133syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
135134exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
136 ineq2 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )
137136imaeq2d 5337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  ( F " ( z  i^i  w ) )  =  ( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
138137sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
) )
139138imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
140135, 139syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
141140rexlimdva 2955 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
142141rexlimdvaa 2956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  z  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) ) )
143142imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  E. s  e.  B  s  C_  z )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  -> 
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14467, 143syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14565, 144sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
146145impr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) )
147 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  ( F " s )  =  ( F " (
z  i^i  w )
) )
148147sseq1d 3531 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  w
) )  C_  t
) )
149148imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
150146, 149syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( s  =  ( z  i^i  w
)  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
151150rexlimdvva 2962 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
15251, 59, 1513jaod 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
15349, 152sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
154153rexlimdv 2953 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
155154com23 78 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  C_  X  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  t  e.  L ) ) )
156155impd 431 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )  -> 
t  e.  L ) )
15747, 156impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 972    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   ficfi 7870   fBascfbas 18205   filGencfg 18206   Filcfil 20109    FilMap cfm 20197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-fin 7520  df-fi 7871  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-fil 20110  df-fm 20202
This theorem is referenced by:  fmfnfm  20222
  Copyright terms: Public domain W3C validator