Theorem fmfnfmlem4 19528

Description: Lemma for fmfnfm 19529. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.b	|- ( ph -> B e. ( fBas ` Y ) )
fmfnfm.l	|- ( ph -> L e. ( Fil ` X ) )
fmfnfm.f	|- ( ph -> F : Y --> X )
fmfnfm.fm	|- ( ph -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )

Assertion

Ref	Expression
fmfnfmlem4	|- ( ph -> ( t e. L <-> ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )

Distinct variable groups:   t, s, x, B   F, s, t, x   L, s, t, x   ph, s, t, x   X, s, t, x   Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem4

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmfnfm.l	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( Fil ` X ) )
2		filelss 19423	. . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ t e. L ) -> t C_ X )
3	2	ex 434	. . . 4 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> ( t e. L -> t C_ X ) )
4	1, 3	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( t e. L -> t C_ X ) )
5		fmfnfm.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. ( fBas ` Y ) )
6		mptexg 5945	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V )
7		rnexg 6508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V )
8	6, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V )
9	1, 8	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V )
10		unexg 6379	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V ) -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V )
11	5, 9, 10	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V )
12		ssfii 7667	. . . . . . . . 9 |- ( ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
13	12	unssbd 3532	. . . . . . . 8 |- ( ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
14	11, 13	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
15	14	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
16		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " t ) = ( `' F " t )
17		imaeq2 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = t -> ( `' F " x ) = ( `' F " t ) )
18	17	eqeq2d 2452	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( ( `' F " t ) = ( `' F " x ) <-> ( `' F " t ) = ( `' F " t ) ) )
19	18	rspcev 3071	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. L /\ ( `' F " t ) = ( `' F " t ) ) -> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) )
20	16, 19	mpan2 671	. . . . . . . 8 |- ( t e. L -> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) )
21	20	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) )
22		elfvdm 5714	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> Y e. dom fBas )
23	5, 22	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. dom fBas )
24		cnvimass 5187	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F " t ) C_ dom F
25		fmfnfm.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : Y --> X )
26		fdm 5561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Y --> X -> dom F = Y )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = Y )
28	24, 27	syl5sseq 3402	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' F " t ) C_ Y )
29	23, 28	ssexd 4437	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' F " t ) e. _V )
30	29	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( `' F " t ) e. _V )
31		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) = ( x e. L |-> ( `' F " x ) )
32	31	elrnmpt 5084	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F " t ) e. _V -> ( ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) ) )
33	30, 32	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) ) )
34	21, 33	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
35	15, 34	sseldd 3355	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( `' F " t ) e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
36		ffun 5559	. . . . . . . 8 |- ( F : Y --> X -> Fun F )
37		ssid 3373	. . . . . . . 8 |- ( `' F " t ) C_ ( `' F " t )
38		funimass2 5490	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( `' F " t ) C_ ( `' F " t ) ) -> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t )
39	36, 37, 38	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( F : Y --> X -> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t )
40	25, 39	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t )
41	40	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t )
42		imaeq2 5163	. . . . . . 7 |- ( s = ( `' F " t ) -> ( F " s ) = ( F " ( `' F " t ) ) )
43	42	sseq1d 3381	. . . . . 6 |- ( s = ( `' F " t ) -> ( ( F " s ) C_ t <-> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t ) )
44	43	rspcev 3071	. . . . 5 |- ( ( ( `' F " t ) e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) /\ ( F " ( `' F " t ) ) C_ t ) -> E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t )
45	35, 41, 44	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t )
46	45	ex 434	. . 3 |- ( ph -> ( t e. L -> E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) )
47	4, 46	jcad 533	. 2 |- ( ph -> ( t e. L -> ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )
48		elfiun 7678	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V ) -> ( s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) <-> ( s e. ( fi ` B ) \/ s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) \/ E. z e. ( fi ` B ) E. w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) s = ( z i^i w ) ) ) )
49	5, 9, 48	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) <-> ( s e. ( fi ` B ) \/ s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) \/ E. z e. ( fi ` B ) E. w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) s = ( z i^i w ) ) ) )
50		fmfnfm.fm	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )
51	5, 1, 25, 50	fmfnfmlem1 19525	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` B ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
52	5, 1, 25, 50	fmfnfmlem3 19527	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) = ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
53	52	eleq2d 2508	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) )
54		vex 2973	. . . . . . . . . 10 |- s e. _V
55	31	elrnmpt 5084	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. _V -> ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L s = ( `' F " x ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L s = ( `' F " x ) )
57	5, 1, 25, 50	fmfnfmlem2 19526	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. x e. L s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
58	56, 57	syl5bi 217	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
59	53, 58	sylbid 215	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
60	52	eleq2d 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> w e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) )
61		vex 2973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
62	31	elrnmpt 5084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( w e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L w = ( `' F " x ) ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L w = ( `' F " x ) )
64	60, 63	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> E. x e. L w = ( `' F " x ) ) )
65	64	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( fi ` B ) ) -> ( w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> E. x e. L w = ( `' F " x ) ) )
66		fbssfi 19408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ z e. ( fi ` B ) ) -> E. s e. B s C_ z )
67	5, 66	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( fi ` B ) ) -> E. s e. B s C_ z )
68	1	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> L e. ( Fil ` X ) )
69	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> L e. ( Fil ` X ) )
70	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )
71		filtop 19426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> X e. L )
72	1, 71	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> X e. L )
73	72, 5, 25	3jca 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) )
74	73	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) )
75		ssfg 19443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ ( Y filGen B ) )
76	5, 75	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> B C_ ( Y filGen B ) )
77	76	sselda 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s e. ( Y filGen B ) )
78		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Y filGen B ) = ( Y filGen B )
79	78	imaelfm 19522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ s e. ( Y filGen B ) ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
80	74, 77, 79	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
81	70, 80	sseldd 3355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( F " s ) e. L )
82	81	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> ( F " s ) e. L )
83	69, 82	jca 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( F " s ) e. L ) )
84		filin 19425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( F " s ) e. L /\ x e. L ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
85	84	3expa 1187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( F " s ) e. L ) /\ x e. L ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
86	83, 85	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
87	86	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
88		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> t C_ X )
89		elin 3537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( ( F " s ) i^i x ) <-> ( w e. ( F " s ) /\ w e. x ) )
90	25, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> Fun F )
91		fvelima 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Fun F /\ w e. ( F " s ) ) -> E. y e. s ( F ` y ) = w )
92	91	ex 434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Fun F -> ( w e. ( F " s ) -> E. y e. s ( F ` y ) = w ) )
93	90, 92	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( w e. ( F " s ) -> E. y e. s ( F ` y ) = w ) )
94	93	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( w e. ( F " s ) -> E. y e. s ( F ` y ) = w ) )
95	90	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> Fun F )
96		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) -> s C_ z )
97		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) -> y e. s )
98		ssel2 3349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( s C_ z /\ y e. s ) -> y e. z )
99	96, 97, 98	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> y e. z )
100	90	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ y e. s ) -> Fun F )
101		fbelss 19404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ s e. B ) -> s C_ Y )
102	5, 101	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s C_ Y )
103	27	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> dom F = Y )
104	102, 103	sseqtr4d 3391	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s C_ dom F )
105	104	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> s C_ dom F )
106	105	sselda 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ y e. s ) -> y e. dom F )
107		fvimacnv 5816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( ( F ` y ) e. x <-> y e. ( `' F " x ) ) )
108	100, 106, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) e. x <-> y e. ( `' F " x ) ) )
109	108	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) e. x -> y e. ( `' F " x ) ) )
110	109	impr 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) -> y e. ( `' F " x ) )
111	110	ad2ant2rl 748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> y e. ( `' F " x ) )
112	99, 111	elind 3538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> y e. ( z i^i ( `' F " x ) ) )
113		inss2 3569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z i^i ( `' F " x ) ) C_ ( `' F " x )
114		cnvimass 5187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( `' F " x ) C_ dom F
115	113, 114	sstri 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z i^i ( `' F " x ) ) C_ dom F
116		funfvima2 5951	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( Fun F /\ ( z i^i ( `' F " x ) ) C_ dom F ) -> ( y e. ( z i^i ( `' F " x ) ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
117	115, 116	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( Fun F -> ( y e. ( z i^i ( `' F " x ) ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
118	95, 112, 117	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) )
119	118	anassrs 648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) )
120	119	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) e. x -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
121		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) e. x <-> w e. x ) )
122		eleq1 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) <-> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
123	121, 122	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( ( F ` y ) e. x -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) <-> ( w e. x -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) ) )
124	120, 123	syl5ibcom 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) = w -> ( w e. x -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) ) )
125	124	rexlimdva 2839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( E. y e. s ( F ` y ) = w -> ( w e. x -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) ) )
126	94, 125	syld 44	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( w e. ( F " s ) -> ( w e. x -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) ) )
127	126	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( ( w e. ( F " s ) /\ w e. x ) -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
128	89, 127	syl5bi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( w e. ( ( F " s ) i^i x ) -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
129	128	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( w e. ( ( F " s ) i^i x ) -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
130	129	ssrdv 3360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( F " s ) i^i x ) C_ ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) )
131		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t )
132	130, 131	sstrd 3364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( F " s ) i^i x ) C_ t )
133		filss 19424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( ( ( F " s ) i^i x ) e. L /\ t C_ X /\ ( ( F " s ) i^i x ) C_ t ) ) -> t e. L )
134	68, 87, 88, 132, 133	syl13anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> t e. L )
135	134	exp32 605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) -> ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) )
136		ineq2 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( `' F " x ) -> ( z i^i w ) = ( z i^i ( `' F " x ) ) )
137	136	imaeq2d 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( `' F " x ) -> ( F " ( z i^i w ) ) = ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) )
138	137	sseq1d 3381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t <-> ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t ) )
139	138	imbi1d 317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( `' F " x ) -> ( ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) <-> ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
140	135, 139	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) -> ( w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
141	140	rexlimdva 2839	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> ( E. x e. L w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
142	141	rexlimdvaa 2840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. s e. B s C_ z -> ( E. x e. L w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) ) )
143	142	imp 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ E. s e. B s C_ z ) -> ( E. x e. L w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
144	67, 143	syldan 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( fi ` B ) ) -> ( E. x e. L w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
145	65, 144	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( fi ` B ) ) -> ( w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
146	145	impr 619	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) )
147		imaeq2 5163	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( z i^i w ) -> ( F " s ) = ( F " ( z i^i w ) ) )
148	147	sseq1d 3381	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( z i^i w ) -> ( ( F " s ) C_ t <-> ( F " ( z i^i w ) ) C_ t ) )
149	148	imbi1d 317	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( z i^i w ) -> ( ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) <-> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
150	146, 149	syl5ibrcom 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) -> ( s = ( z i^i w ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
151	150	rexlimdvva 2846	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( fi ` B ) E. w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) s = ( z i^i w ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
152	51, 59, 151	3jaod 1282	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( s e. ( fi ` B ) \/ s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) \/ E. z e. ( fi ` B ) E. w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) s = ( z i^i w ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
153	49, 152	sylbid 215	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
154	153	rexlimdv 2838	. . . 4 |- ( ph -> ( E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) )
155	154	com23 78	. . 3 |- ( ph -> ( t C_ X -> ( E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t -> t e. L ) ) )
156	155	impd 431	. 2 |- ( ph -> ( ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) -> t e. L ) )
157	47, 156	impbid 191	1 |- ( ph -> ( t e. L <-> ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 964   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   u. cun 3324   i^i cin 3325   C_ wss 3326   e. cmpt 4348   `'ccnv 4837   dom cdm 4838   ran crn 4839   "cima 4841   Fun wfun 5410   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   ficfi 7658   fBascfbas 17802   filGencfg 17803   Filcfil 19416   FilMap cfm 19504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-fin 7312  df-fi 7659  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-fil 19417  df-fm 19509

This theorem is referenced by:  fmfnfm  19529