Theorem fmfnfmlem4 20972

Description: Lemma for fmfnfm 20973. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.b	|- ( ph -> B e. ( fBas ` Y ) )
fmfnfm.l	|- ( ph -> L e. ( Fil ` X ) )
fmfnfm.f	|- ( ph -> F : Y --> X )
fmfnfm.fm	|- ( ph -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )

Assertion

Ref	Expression
fmfnfmlem4	|- ( ph -> ( t e. L <-> ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )

Distinct variable groups:   t, s, x, B   F, s, t, x   L, s, t, x   ph, s, t, x   X, s, t, x   Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem4

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmfnfm.l	. . . 4 |- ( ph -> L e. ( Fil ` X ) )
2		filelss 20867	. . . . 5 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ t e. L ) -> t C_ X )
3	2	ex 436	. . . 4 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> ( t e. L -> t C_ X ) )
4	1, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( t e. L -> t C_ X ) )
5		fmfnfm.b	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B e. ( fBas ` Y ) )
6		mptexg 6135	. . . . . . . . . . 11 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V )
7		rnexg 6725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V )
8	6, 7	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V )
9	1, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V )
10		unexg 6592	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V ) -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V )
11	5, 9, 10	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V )
12		ssfii 7933	. . . . . . . . 9 |- ( ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V -> ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
13	12	unssbd 3612	. . . . . . . 8 |- ( ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) e. _V -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
14	11, 13	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
15	14	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) C_ ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
16		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( `' F " t ) = ( `' F " t )
17		imaeq2 5164	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = t -> ( `' F " x ) = ( `' F " t ) )
18	17	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( ( `' F " t ) = ( `' F " x ) <-> ( `' F " t ) = ( `' F " t ) ) )
19	18	rspcev 3150	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. L /\ ( `' F " t ) = ( `' F " t ) ) -> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) )
20	16, 19	mpan2 677	. . . . . . . 8 |- ( t e. L -> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) )
21	20	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) )
22		elfvdm 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> Y e. dom fBas )
23	5, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. dom fBas )
24		cnvimass 5188	. . . . . . . . . . 11 |- ( `' F " t ) C_ dom F
25		fmfnfm.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F : Y --> X )
26		fdm 5733	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F : Y --> X -> dom F = Y )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> dom F = Y )
28	24, 27	syl5sseq 3480	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( `' F " t ) C_ Y )
29	23, 28	ssexd 4550	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( `' F " t ) e. _V )
30	29	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( `' F " t ) e. _V )
31		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) = ( x e. L |-> ( `' F " x ) )
32	31	elrnmpt 5081	. . . . . . . 8 |- ( ( `' F " t ) e. _V -> ( ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) ) )
33	30, 32	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L ( `' F " t ) = ( `' F " x ) ) )
34	21, 33	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( `' F " t ) e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
35	15, 34	sseldd 3433	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( `' F " t ) e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) )
36		ffun 5731	. . . . . . . 8 |- ( F : Y --> X -> Fun F )
37		ssid 3451	. . . . . . . 8 |- ( `' F " t ) C_ ( `' F " t )
38		funimass2 5657	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ ( `' F " t ) C_ ( `' F " t ) ) -> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t )
39	36, 37, 38	sylancl 668	. . . . . . 7 |- ( F : Y --> X -> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t )
40	25, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t )
41	40	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t )
42		imaeq2 5164	. . . . . . 7 |- ( s = ( `' F " t ) -> ( F " s ) = ( F " ( `' F " t ) ) )
43	42	sseq1d 3459	. . . . . 6 |- ( s = ( `' F " t ) -> ( ( F " s ) C_ t <-> ( F " ( `' F " t ) ) C_ t ) )
44	43	rspcev 3150	. . . . 5 |- ( ( ( `' F " t ) e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) /\ ( F " ( `' F " t ) ) C_ t ) -> E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t )
45	35, 41, 44	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( ph /\ t e. L ) -> E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t )
46	45	ex 436	. . 3 |- ( ph -> ( t e. L -> E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) )
47	4, 46	jcad 536	. 2 |- ( ph -> ( t e. L -> ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )
48		elfiun 7944	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) e. _V ) -> ( s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) <-> ( s e. ( fi ` B ) \/ s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) \/ E. z e. ( fi ` B ) E. w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) s = ( z i^i w ) ) ) )
49	5, 9, 48	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) <-> ( s e. ( fi ` B ) \/ s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) \/ E. z e. ( fi ` B ) E. w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) s = ( z i^i w ) ) ) )
50		fmfnfm.fm	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )
51	5, 1, 25, 50	fmfnfmlem1 20969	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` B ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
52	5, 1, 25, 50	fmfnfmlem3 20971	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) = ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) )
53	52	eleq2d 2514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) )
54		vex 3048	. . . . . . . . . 10 |- s e. _V
55	31	elrnmpt 5081	. . . . . . . . . 10 |- ( s e. _V -> ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L s = ( `' F " x ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L s = ( `' F " x ) )
57	5, 1, 25, 50	fmfnfmlem2 20970	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. x e. L s = ( `' F " x ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
58	56, 57	syl5bi 221	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( s e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
59	53, 58	sylbid 219	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
60	52	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> w e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) )
61		vex 3048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
62	31	elrnmpt 5081	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. _V -> ( w e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L w = ( `' F " x ) ) )
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) <-> E. x e. L w = ( `' F " x ) )
64	60, 63	syl6bb 265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> E. x e. L w = ( `' F " x ) ) )
65	64	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( fi ` B ) ) -> ( w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) <-> E. x e. L w = ( `' F " x ) ) )
66		fbssfi 20852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ z e. ( fi ` B ) ) -> E. s e. B s C_ z )
67	5, 66	sylan 474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( fi ` B ) ) -> E. s e. B s C_ z )
68	1	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> L e. ( Fil ` X ) )
69	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> L e. ( Fil ` X ) )
70	50	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( ( X FilMap F ) ` B ) C_ L )
71		filtop 20870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( L e. ( Fil ` X ) -> X e. L )
72	1, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> X e. L )
73	72, 5, 25	3jca 1188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) )
74	73	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) )
75		ssfg 20887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( B e. ( fBas ` Y ) -> B C_ ( Y filGen B ) )
76	5, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> B C_ ( Y filGen B ) )
77	76	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s e. ( Y filGen B ) )
78		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Y filGen B ) = ( Y filGen B )
79	78	imaelfm 20966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( X e. L /\ B e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) /\ s e. ( Y filGen B ) ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
80	74, 77, 79	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( F " s ) e. ( ( X FilMap F ) ` B ) )
81	70, 80	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> ( F " s ) e. L )
82	81	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> ( F " s ) e. L )
83	69, 82	jca 535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( F " s ) e. L ) )
84		filin 20869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( F " s ) e. L /\ x e. L ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
85	84	3expa 1208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( F " s ) e. L ) /\ x e. L ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
86	83, 85	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
87	86	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( F " s ) i^i x ) e. L )
88		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> t C_ X )
89		elin 3617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w e. ( ( F " s ) i^i x ) <-> ( w e. ( F " s ) /\ w e. x ) )
90	25, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> Fun F )
91		fvelima 5917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( Fun F /\ w e. ( F " s ) ) -> E. y e. s ( F ` y ) = w )
92	91	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Fun F -> ( w e. ( F " s ) -> E. y e. s ( F ` y ) = w ) )
93	90, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( w e. ( F " s ) -> E. y e. s ( F ` y ) = w ) )
94	93	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( w e. ( F " s ) -> E. y e. s ( F ` y ) = w ) )
95	90	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> Fun F )
96		simplrr 771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) -> s C_ z )
97		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) -> y e. s )
98		ssel2 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( s C_ z /\ y e. s ) -> y e. z )
99	96, 97, 98	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> y e. z )
100	90	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ y e. s ) -> Fun F )
101		fbelss 20848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 |- ( ( B e. ( fBas ` Y ) /\ s e. B ) -> s C_ Y )
102	5, 101	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s C_ Y )
103	27	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> dom F = Y )
104	102, 103	sseqtr4d 3469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 |- ( ( ph /\ s e. B ) -> s C_ dom F )
105	104	adantrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> s C_ dom F )
106	105	sselda 3432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ y e. s ) -> y e. dom F )
107		fvimacnv 5997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 |- ( ( Fun F /\ y e. dom F ) -> ( ( F ` y ) e. x <-> y e. ( `' F " x ) ) )
108	100, 106, 107	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) e. x <-> y e. ( `' F " x ) ) )
109	108	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) e. x -> y e. ( `' F " x ) ) )
110	109	impr 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) -> y e. ( `' F " x ) )
111	110	ad2ant2rl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> y e. ( `' F " x ) )
112	99, 111	elind 3618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> y e. ( z i^i ( `' F " x ) ) )
113		inss2 3653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( z i^i ( `' F " x ) ) C_ ( `' F " x )
114		cnvimass 5188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( `' F " x ) C_ dom F
115	113, 114	sstri 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( z i^i ( `' F " x ) ) C_ dom F
116		funfvima2 6141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( Fun F /\ ( z i^i ( `' F " x ) ) C_ dom F ) -> ( y e. ( z i^i ( `' F " x ) ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
117	115, 116	mpan2 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( Fun F -> ( y e. ( z i^i ( `' F " x ) ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
118	95, 112, 117	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( t C_ X /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) )
119	118	anassrs 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) /\ ( y e. s /\ ( F ` y ) e. x ) ) -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) )
120	119	expr 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) e. x -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
121		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) e. x <-> w e. x ) )
122		eleq1 2517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) <-> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
123	121, 122	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( F ` y ) = w -> ( ( ( F ` y ) e. x -> ( F ` y ) e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) <-> ( w e. x -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) ) )
124	120, 123	syl5ibcom 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) /\ y e. s ) -> ( ( F ` y ) = w -> ( w e. x -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) ) )
125	124	rexlimdva 2879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( E. y e. s ( F ` y ) = w -> ( w e. x -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) ) )
126	94, 125	syld 45	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( w e. ( F " s ) -> ( w e. x -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) ) )
127	126	impd 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( ( w e. ( F " s ) /\ w e. x ) -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
128	89, 127	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ t C_ X ) -> ( w e. ( ( F " s ) i^i x ) -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
129	128	adantrl 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( w e. ( ( F " s ) i^i x ) -> w e. ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) ) )
130	129	ssrdv 3438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( F " s ) i^i x ) C_ ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) )
131		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t )
132	130, 131	sstrd 3442	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> ( ( F " s ) i^i x ) C_ t )
133		filss 20868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( L e. ( Fil ` X ) /\ ( ( ( F " s ) i^i x ) e. L /\ t C_ X /\ ( ( F " s ) i^i x ) C_ t ) ) -> t e. L )
134	68, 87, 88, 132, 133	syl13anc 1270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) /\ ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t /\ t C_ X ) ) -> t e. L )
135	134	exp32 610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) -> ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) )
136		ineq2 3628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w = ( `' F " x ) -> ( z i^i w ) = ( z i^i ( `' F " x ) ) )
137	136	imaeq2d 5168	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w = ( `' F " x ) -> ( F " ( z i^i w ) ) = ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) )
138	137	sseq1d 3459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t <-> ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t ) )
139	138	imbi1d 319	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( w = ( `' F " x ) -> ( ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) <-> ( ( F " ( z i^i ( `' F " x ) ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
140	135, 139	syl5ibrcom 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) /\ x e. L ) -> ( w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
141	140	rexlimdva 2879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( s e. B /\ s C_ z ) ) -> ( E. x e. L w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
142	141	rexlimdvaa 2880	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( E. s e. B s C_ z -> ( E. x e. L w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) ) )
143	142	imp 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ E. s e. B s C_ z ) -> ( E. x e. L w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
144	67, 143	syldan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( fi ` B ) ) -> ( E. x e. L w = ( `' F " x ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
145	65, 144	sylbid 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( fi ` B ) ) -> ( w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
146	145	impr 625	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) -> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) )
147		imaeq2 5164	. . . . . . . . . . 11 |- ( s = ( z i^i w ) -> ( F " s ) = ( F " ( z i^i w ) ) )
148	147	sseq1d 3459	. . . . . . . . . 10 |- ( s = ( z i^i w ) -> ( ( F " s ) C_ t <-> ( F " ( z i^i w ) ) C_ t ) )
149	148	imbi1d 319	. . . . . . . . 9 |- ( s = ( z i^i w ) -> ( ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) <-> ( ( F " ( z i^i w ) ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
150	146, 149	syl5ibrcom 226	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. ( fi ` B ) /\ w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ) -> ( s = ( z i^i w ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
151	150	rexlimdvva 2886	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. z e. ( fi ` B ) E. w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) s = ( z i^i w ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
152	51, 59, 151	3jaod 1332	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( s e. ( fi ` B ) \/ s e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) \/ E. z e. ( fi ` B ) E. w e. ( fi ` ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) s = ( z i^i w ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
153	49, 152	sylbid 219	. . . . 5 |- ( ph -> ( s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) -> ( ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) ) )
154	153	rexlimdv 2877	. . . 4 |- ( ph -> ( E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t -> ( t C_ X -> t e. L ) ) )
155	154	com23 81	. . 3 |- ( ph -> ( t C_ X -> ( E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t -> t e. L ) ) )
156	155	impd 433	. 2 |- ( ph -> ( ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) -> t e. L ) )
157	47, 156	impbid 194	1 |- ( ph -> ( t e. L <-> ( t C_ X /\ E. s e. ( fi ` ( B u. ran ( x e. L |-> ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) C_ t ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   \/ w3o 984   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   E.wrex 2738   _Vcvv 3045   u. cun 3402   i^i cin 3403   C_ wss 3404   |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ficfi 7924   fBascfbas 18958   filGencfg 18959   Filcfil 20860   FilMap cfm 20948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-fil 20861  df-fm 20953

This theorem is referenced by:  fmfnfm  20973