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Theorem fmfnfmlem4 20972
Description: Lemma for fmfnfm 20973. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, B    F, s, t, x    L, s, t, x    ph, s, t, x    X, s, t, x    Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem4
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
2 filelss 20867 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  t  e.  L )  ->  t  C_  X )
32ex 436 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X ) )
41, 3syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X )
)
5 fmfnfm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
6 mptexg 6135 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
7 rnexg 6725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )
86, 7syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e. 
_V )
10 unexg 6592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V )
115, 9, 10syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  e.  _V )
12 ssfii 7933 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
1312unssbd 3612 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1411, 13syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1514adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
16 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " t )  =  ( `' F " t )
17 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " t ) )
1817eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
( `' F "
t )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) ) )
1918rspcev 3150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  L  /\  ( `' F " t )  =  ( `' F " t ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
2016, 19mpan2 677 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  L  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
2120adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
22 elfvdm 5891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
235, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  dom  fBas )
24 cnvimass 5188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " t ) 
C_  dom  F
25 fmfnfm.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
26 fdm 5733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
2824, 27syl5sseq 3480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  C_  Y
)
2923, 28ssexd 4550 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  e.  _V )
3029adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
31 eqid 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
3231elrnmpt 5081 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3330, 32syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3421, 33mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
3515, 34sseldd 3433 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
36 ffun 5731 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
37 ssid 3451 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t )
38 funimass2 5657 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t ) )  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
3936, 37, 38sylancl 668 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4025, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4140adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
42 imaeq2 5164 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " t ) ) )
4342sseq1d 3459 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
t ) )  C_  t ) )
4443rspcev 3150 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  /\  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4535, 41, 44syl2anc 667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4645ex 436 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) )
474, 46jcad 536 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
48 elfiun 7944 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  (
s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
495, 9, 48syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
50 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
515, 1, 25, 50fmfnfmlem1 20969 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  B )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
525, 1, 25, 50fmfnfmlem3 20971 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
5352eleq2d 2514 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
54 vex 3048 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
5531elrnmpt 5081 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
575, 1, 25, 50fmfnfmlem2 20970 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
5856, 57syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
5953, 58sylbid 219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  (
( F " s
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
6052eleq2d 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
61 vex 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
6231elrnmpt 5081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) )
6460, 63syl6bb 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6564adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
66 fbssfi 20852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  z  e.  ( fi `  B
) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
675, 66sylan 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
681ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
691adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
7050adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 B )  C_  L )
71 filtop 20870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
721, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
7372, 5, 253jca 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
7473adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
75 ssfg 20887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
765, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
7776sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  ( Y filGen B ) )
78 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
7978imaelfm 20966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
8074, 77, 79syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
8170, 80sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  L )
8281adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( F " s
)  e.  L )
8369, 82jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
) )
84 filin 20869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F " s )  e.  L  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
85843expa 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
8683, 85sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " s )  i^i  x )  e.  L
)
8786adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  e.  L
)
88 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
89 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( ( F
" s )  i^i  x )  <->  ( w  e.  ( F " s
)  /\  w  e.  x ) )
9025, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Fun  F )
91 fvelima 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " s
) )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w )
9291ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Fun 
F  ->  ( w  e.  ( F " s
)  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w ) )
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( F " s )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y
)  =  w ) )
9493ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  ->  E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w ) )
9590ad3antrrr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  ->  Fun  F )
96 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  s  C_  z )
97 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) )  ->  y  e.  s )
98 ssel2 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( s  C_  z  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  z )
9996, 97, 98syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  z )
10090ad2antrr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  Fun  F )
101 fbelss 20848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
1025, 101sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
10327adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  dom  F  =  Y )
104102, 103sseqtr4d 3469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_ 
dom  F )
105104adantrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
s  C_  dom  F )
106105sselda 3432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  dom  F )
107 fvimacnv 5997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
108100, 106, 107syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
109108biimpd 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  ->  y  e.  ( `' F "
x ) ) )
110109impr 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `
 y )  e.  x ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
111110ad2ant2rl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
11299, 111elind 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )
113 inss2 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  ( `' F " x )
114 cnvimass 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
115113, 114sstri 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  dom  F
116 funfvima2 6141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  (
z  i^i  ( `' F " x ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
117115, 116mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun 
F  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
11895, 112, 117sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
119118anassrs 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  (
y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
120119expr 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
121 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  w  e.  x ) )
122 eleq1 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
123121, 122imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( w  e.  x  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
124120, 123syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
125124rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  ( E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
12694, 125syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
127126impd 433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
( w  e.  ( F " s )  /\  w  e.  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
12889, 127syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( ( F " s )  i^i  x )  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
129128adantrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( w  e.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
130129ssrdv 3438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
131 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
)
132130, 131sstrd 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  t
)
133 filss 20868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( ( F "
s )  i^i  x
)  e.  L  /\  t  C_  X  /\  (
( F " s
)  i^i  x )  C_  t ) )  -> 
t  e.  L )
13468, 87, 88, 132, 133syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
135134exp32 610 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
136 ineq2 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )
137136imaeq2d 5168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  ( F " ( z  i^i  w ) )  =  ( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
138137sseq1d 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
) )
139138imbi1d 319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
140135, 139syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
141140rexlimdva 2879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
142141rexlimdvaa 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  z  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) ) )
143142imp 431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  E. s  e.  B  s  C_  z )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  -> 
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14467, 143syldan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14565, 144sylbid 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
146145impr 625 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) )
147 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  ( F " s )  =  ( F " (
z  i^i  w )
) )
148147sseq1d 3459 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  w
) )  C_  t
) )
149148imbi1d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
150146, 149syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( s  =  ( z  i^i  w
)  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
151150rexlimdvva 2886 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
15251, 59, 1513jaod 1332 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
15349, 152sylbid 219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
154153rexlimdv 2877 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
155154com23 81 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  C_  X  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  t  e.  L ) ) )
156155impd 433 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )  -> 
t  e.  L ) )
15747, 156impbid 194 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    \/ w3o 984    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    u. cun 3402    i^i cin 3403    C_ wss 3404    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   ficfi 7924   fBascfbas 18958   filGencfg 18959   Filcfil 20860    FilMap cfm 20948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-fin 7573  df-fi 7925  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-fil 20861  df-fm 20953
This theorem is referenced by:  fmfnfm  20973
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