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Theorem fmfnfmlem4 19528
Description: Lemma for fmfnfm 19529. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, B    F, s, t, x    L, s, t, x    ph, s, t, x    X, s, t, x    Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem4
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
2 filelss 19423 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  t  e.  L )  ->  t  C_  X )
32ex 434 . . . 4  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X ) )
41, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  t  C_  X )
)
5 fmfnfm.b . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
6 mptexg 5945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
7 rnexg 6508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  _V )
91, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e. 
_V )
10 unexg 6379 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V )
115, 9, 10syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  e.  _V )
12 ssfii 7667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
1312unssbd 3532 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
16 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( `' F " t )  =  ( `' F " t )
17 imaeq2 5163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  t  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " t ) )
1817eqeq2d 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  (
( `' F "
t )  =  ( `' F " x )  <-> 
( `' F "
t )  =  ( `' F " t ) ) )
1918rspcev 3071 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  L  /\  ( `' F " t )  =  ( `' F " t ) )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F " x ) )
2016, 19mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  L  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) )
22 elfvdm 5714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
235, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  dom  fBas )
24 cnvimass 5187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F " t ) 
C_  dom  F
25 fmfnfm.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
26 fdm 5561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
2824, 27syl5sseq 3402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  C_  Y
)
2923, 28ssexd 4437 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
t )  e.  _V )
3029adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  _V )
31 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
3231elrnmpt 5084 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' F " t )  e.  _V  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  (
( `' F "
t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  <->  E. x  e.  L  ( `' F " t )  =  ( `' F "
x ) ) )
3421, 33mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
3515, 34sseldd 3355 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( `' F " t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
36 ffun 5559 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
37 ssid 3373 . . . . . . . 8  |-  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t )
38 funimass2 5490 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " t ) 
C_  ( `' F " t ) )  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
3936, 37, 38sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( F : Y --> X  -> 
( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4025, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )
42 imaeq2 5163 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " t ) ) )
4342sseq1d 3381 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( `' F " t )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
t ) )  C_  t ) )
4443rspcev 3071 . . . . 5  |-  ( ( ( `' F "
t )  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  /\  ( F " ( `' F " t ) )  C_  t )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4535, 41, 44syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  L )  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )
4645ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) )
474, 46jcad 533 . 2  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  ->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
48 elfiun 7678 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e. 
_V )  ->  (
s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
495, 9, 48syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  <->  ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) ) ) )
50 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
515, 1, 25, 50fmfnfmlem1 19525 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  B )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
525, 1, 25, 50fmfnfmlem3 19527 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )
5352eleq2d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
54 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
5531elrnmpt 5084 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  _V  ->  (
s  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) ) )
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x ) )
575, 1, 25, 50fmfnfmlem2 19526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
5856, 57syl5bi 217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
5953, 58sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  (
( F " s
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
6052eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )
61 vex 2973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
6231elrnmpt 5084 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  _V  ->  (
w  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) )
6460, 63syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  <->  E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x ) ) )
66 fbssfi 19408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  z  e.  ( fi `  B
) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
675, 66sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  E. s  e.  B  s  C_  z )
681ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
691adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
7050adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 B )  C_  L )
71 filtop 19426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
721, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
7372, 5, 253jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
75 ssfg 19443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
765, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
7776sselda 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  ( Y filGen B ) )
78 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
7978imaelfm 19522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
8074, 77, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
8170, 80sseldd 3355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  L )
8281adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( F " s
)  e.  L )
8369, 82jca 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
) )
84 filin 19425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F " s )  e.  L  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
85843expa 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
8683, 85sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " s )  i^i  x )  e.  L
)
8786adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  e.  L
)
88 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
89 elin 3537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  e.  ( ( F
" s )  i^i  x )  <->  ( w  e.  ( F " s
)  /\  w  e.  x ) )
9025, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  Fun  F )
91 fvelima 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  w  e.  ( F " s
) )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w )
9291ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Fun 
F  ->  ( w  e.  ( F " s
)  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  w ) )
9390, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( F " s )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y
)  =  w ) )
9493ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  ->  E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w ) )
9590ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  ->  Fun  F )
96 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  s  C_  z )
97 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) )  ->  y  e.  s )
98 ssel2 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( s  C_  z  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  z )
9996, 97, 98syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  z )
10090ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  Fun  F )
101 fbelss 19404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
1025, 101sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
10327adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  dom  F  =  Y )
104102, 103sseqtr4d 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_ 
dom  F )
105104adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
s  C_  dom  F )
106105sselda 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  dom  F )
107 fvimacnv 5816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
108100, 106, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
109108biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  y  e.  s )  ->  ( ( F `  y )  e.  x  ->  y  e.  ( `' F "
x ) ) )
110109impr 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `
 y )  e.  x ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
111110ad2ant2rl 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( `' F " x ) )
11299, 111elind 3538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )
113 inss2 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  ( `' F " x )
114 cnvimass 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
115113, 114sstri 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  C_  dom  F
116 funfvima2 5951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( Fun  F  /\  (
z  i^i  ( `' F " x ) ) 
C_  dom  F )  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
117115, 116mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( Fun 
F  ->  ( y  e.  ( z  i^i  ( `' F " x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
11895, 112, 117sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
t  C_  X  /\  ( y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x
) ) )  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
119118anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  (
y  e.  s  /\  ( F `  y )  e.  x ) )  ->  ( F `  y )  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
120119expr 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
121 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  w  e.  x ) )
122 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )  <-> 
w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) )
123121, 122imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( F `  y )  =  w  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( F `  y
)  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  ( w  e.  x  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
124120, 123syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
125124rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  ( E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  w  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
12694, 125syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( F
" s )  -> 
( w  e.  x  ->  w  e.  ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
127126impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
( w  e.  ( F " s )  /\  w  e.  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
12889, 127syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  t  C_  X )  ->  (
w  e.  ( ( F " s )  i^i  x )  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
129128adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( w  e.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  ->  w  e.  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) ) ) )
130129ssrdv 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) )
131 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( F "
( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
)
132130, 131sstrd 3364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( F
" s )  i^i  x )  C_  t
)
133 filss 19424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( ( F "
s )  i^i  x
)  e.  L  /\  t  C_  X  /\  (
( F " s
)  i^i  x )  C_  t ) )  -> 
t  e.  L )
13468, 87, 88, 132, 133syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
135134exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( ( F " ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
136 ineq2 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
z  i^i  w )  =  ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) )
137136imaeq2d 5167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  ( F " ( z  i^i  w ) )  =  ( F " (
z  i^i  ( `' F " x ) ) ) )
138137sseq1d 3381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  ( `' F " x ) ) )  C_  t
) )
139138imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
140135, 139syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  /\  x  e.  L
)  ->  ( w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
141140rexlimdva 2839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  B  /\  s  C_  z ) )  -> 
( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
142141rexlimdvaa 2840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  B  s  C_  z  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) ) )
143142imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  E. s  e.  B  s  C_  z )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  -> 
( ( F "
( z  i^i  w
) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14467, 143syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( E. x  e.  L  w  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " (
z  i^i  w )
)  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
14565, 144sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( fi `  B ) )  ->  ( w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
146145impr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) )
147 imaeq2 5163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  ( F " s )  =  ( F " (
z  i^i  w )
) )
148147sseq1d 3381 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( z  i^i  w
) )  C_  t
) )
149148imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( z  i^i  w )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( z  i^i  w ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
150146, 149syl5ibrcom 222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( fi `  B
)  /\  w  e.  ( fi `  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( s  =  ( z  i^i  w
)  ->  ( ( F " s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
151150rexlimdvva 2846 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
15251, 59, 1513jaod 1282 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  ( fi `  B
)  \/  s  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  \/  E. z  e.  ( fi `  B
) E. w  e.  ( fi `  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) s  =  ( z  i^i  w ) )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
15349, 152sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  -> 
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) ) )
154153rexlimdv 2838 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
155154com23 78 . . 3  |-  ( ph  ->  ( t  C_  X  ->  ( E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t  ->  t  e.  L ) ) )
156155impd 431 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t )  -> 
t  e.  L ) )
15747, 156impbid 191 1  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    u. cun 3324    i^i cin 3325    C_ wss 3326    e. cmpt 4348   `'ccnv 4837   dom cdm 4838   ran crn 4839   "cima 4841   Fun wfun 5410   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   ficfi 7658   fBascfbas 17802   filGencfg 17803   Filcfil 19416    FilMap cfm 19504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-en 7309  df-fin 7312  df-fi 7659  df-fbas 17812  df-fg 17813  df-fil 19417  df-fm 19509
This theorem is referenced by:  fmfnfm  19529
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