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Theorem fmfnfmlem2 20963
Description: Lemma for fmfnfm 20966. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, B    F, s, t, x    L, s, t, x    ph, s, t, x    X, s, t, x    Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
21ad2antrr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
3 simplr 761 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  x  e.  L
)
4 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
5 fmfnfm.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
6 ffn 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
7 dffn4 5797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
86, 7sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
9 foima 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
105, 8, 93syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
11 filtop 20863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
121, 11syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
13 fmfnfm.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
14 fgcl 20886 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 filtop 20863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen B ) )
1613, 14, 153syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen B ) )
17 eqid 2450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
1817imaelfm 20959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
1912, 13, 5, 16, 18syl31anc 1270 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
2010, 19eqeltrrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
214, 20sseldd 3432 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  L
)
2221ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ran  F  e.  L )
23 filin 20862 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
242, 3, 22, 23syl3anc 1267 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( x  i^i 
ran  F )  e.  L )
25 simprr 765 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
26 elin 3616 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
27 fvelrnb 5910 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
285, 6, 273syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
2928ad2antrr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
30 ffun 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
315, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  F )
3231ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  Fun  F )
33 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  z  e.  Y )
34 fdm 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
355, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
3635ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  dom  F  =  Y )
3733, 36eleqtrrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  z  e.  dom  F )
38 fvimacnv 5995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
40 cnvimass 5187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
41 funfvima2 6139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
4232, 40, 41sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
43 ssel 3425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( ( F `  z
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) )  -> 
( F `  z
)  e.  t ) )
4443ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) )  ->  ( F `  z )  e.  t ) )
4542, 44syld 45 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
x )  ->  ( F `  z )  e.  t ) )
4639, 45sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  x  ->  ( F `
 z )  e.  t ) )
47 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  x  <->  y  e.  x ) )
48 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  t  <->  y  e.  t ) )
4947, 48imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( ( F `  z )  e.  x  ->  ( F `  z
)  e.  t )  <-> 
( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5046, 49syl5ibcom 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  =  y  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5150expr 619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
z  e.  Y  -> 
( ( F `  z )  =  y  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) ) )
5251rexlimdv 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  ( E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  t ) ) )
5329, 52sylbid 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  ran  F  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5453com23 81 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  e.  ran  F  ->  y  e.  t ) ) )
5554impd 433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F )  ->  y  e.  t ) )
5655adantrr 722 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  t ) )
5726, 56syl5bi 221 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( y  e.  ( x  i^i  ran  F )  ->  y  e.  t ) )
5857ssrdv 3437 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( x  i^i 
ran  F )  C_  t )
59 filss 20861 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x  i^i  ran  F )  e.  L  /\  t  C_  X  /\  (
x  i^i  ran  F ) 
C_  t ) )  ->  t  e.  L
)
602, 24, 25, 58, 59syl13anc 1269 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
6160exp32 609 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
62 imaeq2 5163 . . . . 5  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " x ) ) )
6362sseq1d 3458 . . . 4  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  C_  t ) )
6463imbi1d 319 . . 3  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
6561, 64syl5ibrcom 226 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  L )  ->  (
s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
6665rexlimdva 2878 1  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   E.wrex 2737    i^i cin 3402    C_ wss 3403   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   ran crn 4834   "cima 4836   Fun wfun 5575    Fn wfn 5576   -->wf 5577   -onto->wfo 5579   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   fBascfbas 18951   filGencfg 18952   Filcfil 20853    FilMap cfm 20941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-fil 20854  df-fm 20946
This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  20965
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