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Theorem fmfnfmlem2 19503
Description: Lemma for fmfnfm 19506. (Contributed by Jeff Hankins, 19-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfmlem2  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, B    F, s, t, x    L, s, t, x    ph, s, t, x    X, s, t, x    Y, s, t, x

Proof of Theorem fmfnfmlem2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.l . . . . . 6  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
21ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
3 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  x  e.  L
)
4 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
5 fmfnfm.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
6 ffn 5554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
7 dffn4 5621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
86, 7sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
9 foima 5620 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
105, 8, 93syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
11 filtop 19403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
121, 11syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
13 fmfnfm.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
14 fgcl 19426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 filtop 19403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen B ) )
1613, 14, 153syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen B ) )
17 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
1817imaelfm 19499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
1912, 13, 5, 16, 18syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
2010, 19eqeltrrd 2513 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
214, 20sseldd 3352 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  L
)
2221ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ran  F  e.  L )
23 filin 19402 . . . . . 6  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  L  /\  ran  F  e.  L )  ->  (
x  i^i  ran  F )  e.  L )
242, 3, 22, 23syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( x  i^i 
ran  F )  e.  L )
25 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  C_  X
)
26 elin 3534 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( x  i^i 
ran  F )  <->  ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F ) )
27 fvelrnb 5734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  Fn  Y  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
285, 6, 273syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y ) )
30 ffun 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
315, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  Fun  F )
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  Fun  F )
33 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  z  e.  Y )
34 fdm 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
355, 34syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  dom  F  =  Y )
3733, 36eleqtrrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  z  e.  dom  F )
38 fvimacnv 5813 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
3932, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  x  <->  z  e.  ( `' F " x ) ) )
40 cnvimass 5184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' F " x ) 
C_  dom  F
41 funfvima2 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  F  /\  ( `' F " x ) 
C_  dom  F )  ->  ( z  e.  ( `' F " x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
4232, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) ) ) )
43 ssel 3345 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( ( F `  z
)  e.  ( F
" ( `' F " x ) )  -> 
( F `  z
)  e.  t ) )
4443ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  ( F " ( `' F " x ) )  ->  ( F `  z )  e.  t ) )
4542, 44syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( z  e.  ( `' F "
x )  ->  ( F `  z )  e.  t ) )
4639, 45sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  e.  x  ->  ( F `
 z )  e.  t ) )
47 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  x  <->  y  e.  x ) )
48 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( F `  z
)  e.  t  <->  y  e.  t ) )
4947, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  z )  =  y  ->  (
( ( F `  z )  e.  x  ->  ( F `  z
)  e.  t )  <-> 
( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5046, 49syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  z  e.  Y )
)  ->  ( ( F `  z )  =  y  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5150expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
z  e.  Y  -> 
( ( F `  z )  =  y  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) ) )
5251rexlimdv 2835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  ( E. z  e.  Y  ( F `  z )  =  y  ->  (
y  e.  x  -> 
y  e.  t ) ) )
5329, 52sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  ran  F  ->  ( y  e.  x  ->  y  e.  t ) ) )
5453com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
y  e.  x  -> 
( y  e.  ran  F  ->  y  e.  t ) ) )
5554impd 431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  ( F " ( `' F " x ) )  C_  t )  ->  (
( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F )  ->  y  e.  t ) )
5655adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( ( y  e.  x  /\  y  e.  ran  F )  -> 
y  e.  t ) )
5726, 56syl5bi 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( y  e.  ( x  i^i  ran  F )  ->  y  e.  t ) )
5857ssrdv 3357 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  ( x  i^i 
ran  F )  C_  t )
59 filss 19401 . . . . 5  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  (
( x  i^i  ran  F )  e.  L  /\  t  C_  X  /\  (
x  i^i  ran  F ) 
C_  t ) )  ->  t  e.  L
)
602, 24, 25, 58, 59syl13anc 1220 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  L )  /\  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  /\  t  C_  X ) )  ->  t  e.  L
)
6160exp32 605 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) ) )
62 imaeq2 5160 . . . . 5  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  ( F " s )  =  ( F " ( `' F " x ) ) )
6362sseq1d 3378 . . . 4  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( F " s
)  C_  t  <->  ( F " ( `' F "
x ) )  C_  t ) )
6463imbi1d 317 . . 3  |-  ( s  =  ( `' F " x )  ->  (
( ( F "
s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L ) )  <->  ( ( F
" ( `' F " x ) )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
6561, 64syl5ibrcom 222 . 2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  L )  ->  (
s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
6665rexlimdva 2836 1  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  L  s  =  ( `' F " x )  ->  ( ( F
" s )  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  t  e.  L
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2711    i^i cin 3322    C_ wss 3323   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   ran crn 4836   "cima 4838   Fun wfun 5407    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   fBascfbas 17779   filGencfg 17780   Filcfil 19393    FilMap cfm 19481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-fil 19394  df-fm 19486
This theorem is referenced by:  fmfnfmlem4  19505
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