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Theorem fmfnfm 21051
 Description: A filter finer than an image filter is an image filter of the same function. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b
fmfnfm.l
fmfnfm.f
fmfnfm.fm
Assertion
Ref Expression
fmfnfm
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem fmfnfm
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.b . . . . . 6
2 fbsspw 20925 . . . . . 6
31, 2syl 17 . . . . 5
4 elfvdm 5905 . . . . . . . 8
51, 4syl 17 . . . . . . 7
6 fmfnfm.l . . . . . . 7
7 fmfnfm.f . . . . . . 7
8 fmfnfm.fm . . . . . . . 8
9 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11
10 dffn4 5812 . . . . . . . . . . 11
119, 10sylib 201 . . . . . . . . . 10
12 foima 5811 . . . . . . . . . 10
137, 11, 123syl 18 . . . . . . . . 9
14 filtop 20948 . . . . . . . . . . 11
156, 14syl 17 . . . . . . . . . 10
16 fgcl 20971 . . . . . . . . . . 11
17 filtop 20948 . . . . . . . . . . 11
181, 16, 173syl 18 . . . . . . . . . 10
19 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11
2019imaelfm 21044 . . . . . . . . . 10
2115, 1, 7, 18, 20syl31anc 1295 . . . . . . . . 9
2213, 21eqeltrrd 2550 . . . . . . . 8
238, 22sseldd 3419 . . . . . . 7
24 rnelfmlem 21045 . . . . . . 7
255, 6, 7, 23, 24syl31anc 1295 . . . . . 6
26 fbsspw 20925 . . . . . 6
2725, 26syl 17 . . . . 5
283, 27unssd 3601 . . . 4
29 ssun1 3588 . . . . 5
30 fbasne0 20923 . . . . . 6
311, 30syl 17 . . . . 5
32 ssn0 3770 . . . . 5
3329, 31, 32sylancr 676 . . . 4
34 vex 3034 . . . . . . . . 9
35 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
3635elrnmpt 5087 . . . . . . . . 9
3734, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8
38 0nelfil 20942 . . . . . . . . . . . . . 14
396, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
4039ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
416adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
428adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4315, 1, 73jca 1210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
45 ssfg 20965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
461, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4746sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4819imaelfm 21044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4944, 47, 48syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5042, 49sseldd 3419 . . . . . . . . . . . . . . 15
5141, 50jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14
52 filin 20947 . . . . . . . . . . . . . . 15
53523expa 1231 . . . . . . . . . . . . . 14
5451, 53sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13
55 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . 13
5654, 55syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . 12
5740, 56mtod 182 . . . . . . . . . . 11
58 neq0 3733 . . . . . . . . . . . 12
59 elin 3608 . . . . . . . . . . . . . 14
60 ffun 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 fvelima 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6261ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
637, 60, 623syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6463ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16
657, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6665ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
67 fbelss 20926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
681, 67sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
69 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
707, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7268, 71sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7372adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7473sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
75 fvimacnv 6012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7666, 74, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
77 inelcm 3823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7877ex 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8076, 79sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
81 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8281imbi1d 324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8380, 82syl5ibcom 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8483rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8564, 84syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15
8685impd 438 . . . . . . . . . . . . . 14
8759, 86syl5bi 225 . . . . . . . . . . . . 13
8887exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . 12
8958, 88syl5bi 225 . . . . . . . . . . 11
9057, 89mpd 15 . . . . . . . . . 10
91 ineq2 3619 . . . . . . . . . . 11
9291neeq1d 2702 . . . . . . . . . 10
9390, 92syl5ibrcom 230 . . . . . . . . 9
9493rexlimdva 2871 . . . . . . . 8
9537, 94syl5bi 225 . . . . . . 7
9695expimpd 614 . . . . . 6
9796ralrimivv 2813 . . . . 5
98 fbunfip 20962 . . . . . 6
991, 25, 98syl2anc 673 . . . . 5
10097, 99mpbird 240 . . . 4
101 fsubbas 20960 . . . . 5
1021, 4, 1013syl 18 . . . 4
10328, 33, 100, 102mpbir3and 1213 . . 3
104 fgcl 20971 . . 3
105103, 104syl 17 . 2
106 unexg 6611 . . . . . 6
1071, 25, 106syl2anc 673 . . . . 5
108 ssfii 7951 . . . . 5
109107, 108syl 17 . . . 4
111 ssfg 20965 . . . 4
112103, 111syl 17 . . 3
113110, 112sstrd 3428 . 2
1141, 6, 7, 8fmfnfmlem4 21050 . . . . 5
115 elfm 21040 . . . . . 6
11615, 103, 7, 115syl3anc 1292 . . . . 5
117114, 116bitr4d 264 . . . 4
118117eqrdv 2469 . . 3
119 eqid 2471 . . . . 5
120119fmfg 21042 . . . 4
12115, 103, 7, 120syl3anc 1292 . . 3
122118, 121eqtrd 2505 . 2
123 sseq2 3440 . . . 4
124 fveq2 5879 . . . . 5
125124eqeq2d 2481 . . . 4
126123, 125anbi12d 725 . . 3
127126rspcev 3136 . 2
128105, 113, 122, 127syl12anc 1290 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   cun 3388   cin 3389   wss 3390  c0 3722  cpw 3942   cmpt 4454  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840  cima 4842   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  wfo 5587  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfi 7942  cfbas 19035  cfg 19036  cfil 20938   cfm 21026 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-fi 7943  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-fil 20939  df-fm 21031 This theorem is referenced by:  fmufil  21052  cnpfcf  21134
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