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Theorem fmfnfm 19536
Description: A filter finer than an image filter is an image filter of the same function. (Contributed by Jeff Hankins, 13-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fmfnfm.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
fmfnfm.l  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
fmfnfm.f  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
fmfnfm.fm  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
Assertion
Ref Expression
fmfnfm  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( Fil `  Y ) ( B  C_  f  /\  L  =  (
( X  FilMap  F ) `
 f ) ) )
Distinct variable groups:    B, f    f, F    f, L    f, X    f, Y
Allowed substitution hint:    ph( f)

Proof of Theorem fmfnfm
Dummy variables  s 
t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmfnfm.b . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  ( fBas `  Y ) )
2 fbsspw 19410 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ~P Y )
31, 2syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  ~P Y
)
4 elfvdm 5721 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  Y  e.  dom  fBas )
51, 4syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Y  e.  dom  fBas )
6 fmfnfm.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  ( Fil `  X ) )
7 fmfnfm.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : Y --> X )
8 fmfnfm.fm . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) 
C_  L )
9 ffn 5564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
10 dffn4 5631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  Fn  Y  <->  F : Y -onto-> ran  F )
119, 10sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y --> X  ->  F : Y -onto-> ran  F
)
12 foima 5630 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : Y -onto-> ran  F  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
137, 11, 123syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  =  ran  F
)
14 filtop 19433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  L )
156, 14syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  L )
16 fgcl 19456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y ) )
17 filtop 19433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen B )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen B ) )
181, 16, 173syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen B ) )
19 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y
filGen B )  =  ( Y filGen B )
2019imaelfm 19529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  Y  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F " Y )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
2115, 1, 7, 18, 20syl31anc 1221 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F " Y
)  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
2213, 21eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
238, 22sseldd 3362 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  L
)
24 rnelfmlem 19530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Y  e.  dom  fBas  /\  L  e.  ( Fil `  X )  /\  F : Y --> X )  /\  ran  F  e.  L )  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
255, 6, 7, 23, 24syl31anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
26 fbsspw 19410 . . . . . 6  |-  ( ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y
)
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  C_  ~P Y )
283, 27unssd 3537 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ~P Y )
29 ssun1 3524 . . . . 5  |-  B  C_  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )
30 fbasne0 19408 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  =/=  (/) )
311, 30syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
32 ssn0 3675 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  /\  B  =/=  (/) )  -> 
( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =/=  (/) )
3329, 31, 32sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =/=  (/) )
34 vex 2980 . . . . . . . . 9  |-  t  e. 
_V
35 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  =  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )
3635elrnmpt 5091 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  _V  ->  (
t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  t  =  ( `' F " x ) ) )
3734, 36ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  <->  E. x  e.  L  t  =  ( `' F " x ) )
38 0nelfil 19427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( L  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  L
)
396, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  (/)  e.  L )
4039ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  -.  (/) 
e.  L )
416adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  L  e.  ( Fil `  X
) )
428adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 B )  C_  L )
4315, 1, 73jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
4443adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X ) )
45 ssfg 19450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  e.  ( fBas `  Y
)  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
461, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Y filGen B ) )
4746sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  e.  ( Y filGen B ) )
4819imaelfm 19529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  L  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  s  e.  ( Y filGen B ) )  ->  ( F "
s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 B ) )
4944, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  B ) )
5042, 49sseldd 3362 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( F " s )  e.  L )
5141, 50jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F " s )  e.  L ) )
52 filin 19432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F " s )  e.  L  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
53523expa 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( L  e.  ( Fil `  X )  /\  ( F "
s )  e.  L
)  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
5451, 53sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L )
55 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F " s
)  i^i  x )  =  (/)  ->  ( (
( F " s
)  i^i  x )  e.  L  <->  (/)  e.  L ) )
5654, 55syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
( ( F "
s )  i^i  x
)  =  (/)  ->  (/)  e.  L
) )
5740, 56mtod 177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  -.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  =  (/) )
58 neq0 3652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  =  (/)  <->  E. t 
t  e.  ( ( F " s )  i^i  x ) )
59 elin 3544 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  e.  ( ( F
" s )  i^i  x )  <->  ( t  e.  ( F " s
)  /\  t  e.  x ) )
60 ffun 5566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : Y --> X  ->  Fun  F )
61 fvelima 5748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  t  e.  ( F " s
) )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  t )
6261ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Fun 
F  ->  ( t  e.  ( F " s
)  ->  E. y  e.  s  ( F `  y )  =  t ) )
637, 60, 623syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( F " s )  ->  E. y  e.  s  ( F `  y
)  =  t ) )
6463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
t  e.  ( F
" s )  ->  E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  t ) )
657, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  Fun  F )
6665ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  Fun  F )
67 fbelss 19411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
681, 67sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_  Y )
69 fdm 5568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
707, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  dom  F  =  Y )
7170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  dom  F  =  Y )
7268, 71sseqtr4d 3398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  s  C_ 
dom  F )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  s  C_ 
dom  F )
7473sselda 3361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  y  e.  dom  F )
75 fvimacnv 5823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Fun  F  /\  y  e.  dom  F )  -> 
( ( F `  y )  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
7666, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  y  e.  ( `' F " x ) ) )
77 inelcm 3738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  e.  s  /\  y  e.  ( `' F " x ) )  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) )
7877ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  e.  s  ->  (
y  e.  ( `' F " x )  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
7978adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  (
y  e.  ( `' F " x )  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
8076, 79sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  e.  x  -> 
( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) )
81 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  y )  =  t  ->  (
( F `  y
)  e.  x  <->  t  e.  x ) )
8281imbi1d 317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  y )  =  t  ->  (
( ( F `  y )  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) )  <->  ( t  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) ) )
8380, 82syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L
)  /\  y  e.  s )  ->  (
( F `  y
)  =  t  -> 
( t  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) ) )
8483rexlimdva 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  ( E. y  e.  s 
( F `  y
)  =  t  -> 
( t  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) ) )
8564, 84syld 44 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
t  e.  ( F
" s )  -> 
( t  e.  x  ->  ( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) ) )
8685impd 431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
( t  e.  ( F " s )  /\  t  e.  x
)  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
8759, 86syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
t  e.  ( ( F " s )  i^i  x )  -> 
( s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) )
8887exlimdv 1690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  ( E. t  t  e.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  ->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
8958, 88syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  ( -.  ( ( F "
s )  i^i  x
)  =  (/)  ->  (
s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) ) )
9057, 89mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
s  i^i  ( `' F " x ) )  =/=  (/) )
91 ineq2 3551 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( `' F " x )  ->  (
s  i^i  t )  =  ( s  i^i  ( `' F "
x ) ) )
9291neeq1d 2626 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( `' F " x )  ->  (
( s  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  ( s  i^i  ( `' F "
x ) )  =/=  (/) ) )
9390, 92syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  B )  /\  x  e.  L )  ->  (
t  =  ( `' F " x )  ->  ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
9493rexlimdva 2846 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  ( E. x  e.  L  t  =  ( `' F " x )  -> 
( s  i^i  t
)  =/=  (/) ) )
9537, 94syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  s  e.  B )  ->  (
t  e.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) )  ->  ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
9695expimpd 603 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( s  e.  B  /\  t  e. 
ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  ->  ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
9796ralrimivv 2812 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  B  A. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( s  i^i  t )  =/=  (/) )
98 fbunfip 19447 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  <->  A. s  e.  B  A. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
991, 25, 98syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  (/)  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  <->  A. s  e.  B  A. t  e.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ( s  i^i  t )  =/=  (/) ) )
10097, 99mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  (/)  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
101 fsubbas 19445 . . . . 5  |-  ( Y  e.  dom  fBas  ->  ( ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  <->  ( ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  C_  ~P Y  /\  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
1021, 4, 1013syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y )  <->  ( ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  C_  ~P Y  /\  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  =/=  (/)  /\  -.  (/)  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
10328, 33, 100, 102mpbir3and 1171 . . 3  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
) )
104 fgcl 19456 . . 3  |-  ( ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  e.  ( Fil `  Y
) )
105103, 104syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( Y filGen ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  e.  ( Fil `  Y ) )
106 unexg 6386 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) )  e.  ( fBas `  Y
) )  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V )
1071, 25, 106syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) )  e.  _V )
108 ssfii 7674 . . . . 5  |-  ( ( B  u.  ran  (
x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) )  e.  _V  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
109107, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) 
C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
110109unssad 3538 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )
111 ssfg 19450 . . . 4  |-  ( ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) )  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
112103, 111syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) )
113110, 112sstrd 3371 . 2  |-  ( ph  ->  B  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
1141, 6, 7, 8fmfnfmlem4 19535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ( F "
s )  C_  t
) ) )
115 elfm 19525 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  L  /\  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
11615, 103, 7, 115syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( t  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  <->  ( t  C_  X  /\  E. s  e.  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ( F " s ) 
C_  t ) ) )
117114, 116bitr4d 256 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( t  e.  L  <->  t  e.  ( ( X 
FilMap  F ) `  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) )
118117eqrdv 2441 . . 3  |-  ( ph  ->  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) )
119 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Y
filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )
120119fmfg 19527 . . . 4  |-  ( ( X  e.  L  /\  ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
( X  FilMap  F ) `
 ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
12115, 103, 7, 120syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
122118, 121eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) )
123 sseq2 3383 . . . 4  |-  ( f  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( B  C_  f 
<->  B  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) ) ) )
124 fveq2 5696 . . . . 5  |-  ( f  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  f
)  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) )
125124eqeq2d 2454 . . . 4  |-  ( f  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  f )  <-> 
L  =  ( ( X  FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) ) )
126123, 125anbi12d 710 . . 3  |-  ( f  =  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F " x ) ) ) ) )  ->  ( ( B 
C_  f  /\  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  f
) )  <->  ( B  C_  ( Y filGen ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  /\  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) ) ) )
127126rspcev 3078 . 2  |-  ( ( ( Y filGen ( fi
`  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  e.  ( Fil `  Y )  /\  ( B  C_  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) )  /\  L  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  ( Y filGen ( fi `  ( B  u.  ran  ( x  e.  L  |->  ( `' F "
x ) ) ) ) ) ) ) )  ->  E. f  e.  ( Fil `  Y
) ( B  C_  f  /\  L  =  ( ( X  FilMap  F ) `
 f ) ) )
128105, 113, 122, 127syl12anc 1216 1  |-  ( ph  ->  E. f  e.  ( Fil `  Y ) ( B  C_  f  /\  L  =  (
( X  FilMap  F ) `
 f ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977    u. cun 3331    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865    e. cmpt 4355   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   Fun wfun 5417    Fn wfn 5418   -->wf 5419   -onto->wfo 5421   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   ficfi 7665   fBascfbas 17809   filGencfg 17810   Filcfil 19423    FilMap cfm 19511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-fin 7319  df-fi 7666  df-fbas 17819  df-fg 17820  df-fil 19424  df-fm 19516
This theorem is referenced by:  fmufil  19537  cnpfcf  19619
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