Theorem fmfnfm 15598

Description: A filter finer than an image filter is an image filter of the same function.

Hypotheses

Ref	Expression
fmfnfm.1	|- Y = U.B
fmfnfm.2	|- Z = U.L

Assertion

Ref	Expression
fmfnfm	|- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> E.b e. fBas (Y = U.b /\ B C_ b /\ L = ((X FilMap b)` F)))

Distinct variable groups:   B,b   F,b   L,b   X,b   Y,b   Z,b

Proof of Theorem fmfnfm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unexg 3798	. . . . . . 7 |- ((B e. fBas /\ {y | E.x e. L y = (`'F"x)} e. _V) -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) e. _V)
2		abrexexg 4837	. . . . . . 7 |- (L e. Fil -> {y | E.x e. L y = (`'F"x)} e. _V)
3	1, 2	sylan2 500	. . . . . 6 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil) -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) e. _V)
4		fsubbas 10281	. . . . . 6 |- ((B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) e. _V -> (( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) e. fBas <-> ((B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))))
5	3, 4	syl 12	. . . . 5 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil) -> (( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) e. fBas <-> ((B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))))
6	5	3adant3 896	. . . 4 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> (( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) e. fBas <-> ((B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))))
7	6	3ad2ant1 897	. . 3 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) e. fBas <-> ((B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) =/= (/) /\ (/) e/ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))))
8		fbasne0 10262	. . . . . 6 |- (B e. fBas -> B =/= (/))
9		ssun1 2767	. . . . . . 7 |- B C_ (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})
10		ssn0 2905	. . . . . . 7 |- ((B C_ (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) /\ B =/= (/)) -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) =/= (/))
11	9, 10	mpan 759	. . . . . 6 |- (B =/= (/) -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) =/= (/))
12	8, 11	syl 12	. . . . 5 |- (B e. fBas -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) =/= (/))
13	12	3ad2ant1 897	. . . 4 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) =/= (/))
14	13	3ad2ant1 897	. . 3 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) =/= (/))
15		filesn 10268	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (L e. Fil -> -. (/) e. L)
16	15	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> -. (/) e. L)
17	16	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> -. (/) e. L)
18	17	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> -. (/) e. L)
19		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F"u) i^i x) = (/) -> (((F"u) i^i x) e. L <-> (/) e. L))
20		simpl12 952	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> L e. Fil)
21		simpl2 880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> ((X FilMap B)` F) C_ L)
22		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((L e. Fil /\ X = Z) -> X = Z)
23		fmfnfm.2	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- Z = U.L
24	23	filusb 10267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (L e. Fil -> Z e. L)
25	24	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((L e. Fil /\ X = Z) -> Z e. L)
26	22, 25	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((L e. Fil /\ X = Z) -> X e. L)
27	26	3ad2antl2 1039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ X = Z) -> X e. L)
28	27	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> X e. L)
29		simp1 876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> B e. fBas)
30	29	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> B e. fBas)
31		simp3 878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> F:Y-->X)
32	31	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> F:Y-->X)
33	28, 30, 32	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (X e. L /\ B e. fBas /\ F:Y-->X))
34	33	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (X e. L /\ B e. fBas /\ F:Y-->X))
35		fbssfg 10285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (B e. fBas -> B C_ (filGen` B))
36	35	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> B C_ (filGen` B))
37	36	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> B C_ (filGen` B))
38	37	sseld 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (u e. B -> u e. (filGen` B)))
39	38	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ u e. B) -> u e. (filGen` B))
40	39	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> u e. (filGen` B))
41		fmfnfm.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- Y = U.B
42		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (filGen` B) = (filGen` B)
43	41, 42	imaelfm 15591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((X e. L /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) /\ u e. (filGen` B)) -> (F"u) e. ((X FilMap B)` F))
44	34, 40, 43	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (F"u) e. ((X FilMap B)` F))
45	21, 44	sseldd 2620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (F"u) e. L)
46		simprll 456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> x e. L)
47		filint 10269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((L e. Fil /\ (F"u) e. L /\ x e. L) -> ((F"u) i^i x) e. L)
48	20, 45, 46, 47	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> ((F"u) i^i x) e. L)
49	19, 48	syl5cbi 226	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (((F"u) i^i x) = (/) -> (/) e. L))
50	18, 49	mtod 123	. . . . . . . . . . 11 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> -. ((F"u) i^i x) = (/))
51		ffun 4565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (F:Y-->X -> Fun F)
52		fvelima 4723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((Fun F /\ t e. (F"u)) -> E.y e. u (F` y) = t)
53	52	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (Fun F -> (t e. (F"u) -> E.y e. u (F` y) = t))
54	51, 53	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F:Y-->X -> (t e. (F"u) -> E.y e. u (F` y) = t))
55	54	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> (t e. (F"u) -> E.y e. u (F` y) = t))
56	55	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (t e. (F"u) -> E.y e. u (F` y) = t))
57	56	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (t e. (F"u) -> E.y e. u (F` y) = t))
58		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((F` y) = t -> ((F` y) e. x <-> t e. x))
59	58	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` y) = t -> (((F` y) e. x -> (u i^i v) =/= (/)) <-> (t e. x -> (u i^i v) =/= (/))))
60		ax-1 4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (y e. u -> ((F` y) e. x -> y e. u))
61	60	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> ((F` y) e. x -> y e. u))
62	51	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> Fun F)
63	62	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Fun F)
64	63	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> Fun F)
65		elunii 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ((y e. u /\ u e. B) -> y e. U.B)
66	65	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ((u e. B /\ y e. u) -> y e. U.B)
67	66, 41	syl6eleqr 1982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((u e. B /\ y e. u) -> y e. Y)
68	67	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ((((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B) /\ y e. u) -> y e. Y)
69	68	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> y e. Y)
70		fdm 4567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- (F:Y-->X -> dom F = Y)
71	70	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> dom F = Y)
72	71	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> dom F = Y)
73	72	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> dom F = Y)
74	69, 73	eleqtrrd 1974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> y e. dom F)
75		fvimacnv 4778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ((Fun F /\ y e. dom F) -> ((F` y) e. x <-> y e. (`'F"x)))
76	64, 74, 75	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> ((F` y) e. x <-> y e. (`'F"x)))
77	76	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> ((F` y) e. x -> y e. (`'F"x)))
78		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B) -> v = (`'F"x))
79	78	ad2antlr 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> v = (`'F"x))
80	79	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> (y e. v <-> y e. (`'F"x)))
81	77, 80	sylibrd 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> ((F` y) e. x -> y e. v))
82	61, 81	jcad 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> ((F` y) e. x -> (y e. u /\ y e. v)))
83		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (y e. (u i^i v) <-> (y e. u /\ y e. v))
84	82, 83	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> ((F` y) e. x -> y e. (u i^i v)))
85		ne0i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (y e. (u i^i v) -> (u i^i v) =/= (/))
86	84, 85	syl6 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> ((F` y) e. x -> (u i^i v) =/= (/)))
87	59, 86	syl5cbi 226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) /\ y e. u) -> ((F` y) = t -> (t e. x -> (u i^i v) =/= (/))))
88	87	r19.23adva 2216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (E.y e. u (F` y) = t -> (t e. x -> (u i^i v) =/= (/))))
89	57, 88	syld 30	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (t e. (F"u) -> (t e. x -> (u i^i v) =/= (/))))
90	89	imp3a 388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> ((t e. (F"u) /\ t e. x) -> (u i^i v) =/= (/)))
91		elin 2786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (t e. ((F"u) i^i x) <-> (t e. (F"u) /\ t e. x))
92	90, 91	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (t e. ((F"u) i^i x) -> (u i^i v) =/= (/)))
93	92	19.23adv 1584	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (E.t t e. ((F"u) i^i x) -> (u i^i v) =/= (/)))
94		neq0 2885	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. ((F"u) i^i x) = (/) <-> E.t t e. ((F"u) i^i x))
95	93, 94	syl5ib 223	. . . . . . . . . . 11 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (-. ((F"u) i^i x) = (/) -> (u i^i v) =/= (/)))
96	50, 95	mpd 29	. . . . . . . . . 10 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ ((x e. L /\ v = (`'F"x)) /\ u e. B)) -> (u i^i v) =/= (/))
97	96	exp44 416	. . . . . . . . 9 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (x e. L -> (v = (`'F"x) -> (u e. B -> (u i^i v) =/= (/)))))
98	97	r19.23adv 2215	. . . . . . . 8 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (E.x e. L v = (`'F"x) -> (u e. B -> (u i^i v) =/= (/))))
99	98	com23 36	. . . . . . 7 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (u e. B -> (E.x e. L v = (`'F"x) -> (u i^i v) =/= (/))))
100	99	imp3a 388	. . . . . 6 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> ((u e. B /\ E.x e. L v = (`'F"x)) -> (u i^i v) =/= (/)))
101		visset 2295	. . . . . . . 8 |- v e. _V
102		eqeq1 1890	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> (y = (`'F"x) <-> v = (`'F"x)))
103	102	rexbidv 2124	. . . . . . . 8 |- (y = v -> (E.x e. L y = (`'F"x) <-> E.x e. L v = (`'F"x)))
104	101, 103	elab 2403	. . . . . . 7 |- (v e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} <-> E.x e. L v = (`'F"x))
105	104	anbi2i 538	. . . . . 6 |- ((u e. B /\ v e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) <-> (u e. B /\ E.x e. L v = (`'F"x)))
106	100, 105	syl5ib 223	. . . . 5 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> ((u e. B /\ v e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) -> (u i^i v) =/= (/)))
107	106	r19.21aivv 2183	. . . 4 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> A.u e. B A.v e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} (u i^i v) =/= (/))
108		uniexg 3795	. . . . . . . . 9 |- (B e. fBas -> U.B e. _V)
109	108, 41	syl5eqel 1975	. . . . . . . 8 |- (B e. fBas -> Y e. _V)
110	109	3ad2ant1 897	. . . . . . 7 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> Y e. _V)
111	110	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Y e. _V)
112		simp2 877	. . . . . . 7 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> L e. Fil)
113	112	3ad2ant1 897	. . . . . 6 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> L e. Fil)
114		feq3 4553	. . . . . . . . 9 |- (X = Z -> (F:Y-->X <-> F:Y-->Z))
115	114	biimpac 462	. . . . . . . 8 |- ((F:Y-->X /\ X = Z) -> F:Y-->Z)
116	115	3ad2antl3 1040	. . . . . . 7 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ X = Z) -> F:Y-->Z)
117	116	3adant2 895	. . . . . 6 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> F:Y-->Z)
118		simp2 877	. . . . . . 7 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> ((X FilMap B)` F) C_ L)
119		ffn 4562	. . . . . . . . . . . 12 |- (F:Y-->X -> F Fn Y)
120		dffn4 4623	. . . . . . . . . . . 12 |- (F Fn Y <-> F:Y-onto->ran F)
121	119, 120	sylib 215	. . . . . . . . . . 11 |- (F:Y-->X -> F:Y-onto->ran F)
122		foima 4622	. . . . . . . . . . 11 |- (F:Y-onto->ran F -> (F"Y) = ran F)
123	121, 122	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (F:Y-->X -> (F"Y) = ran F)
124	123	3ad2ant3 899	. . . . . . . . 9 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> (F"Y) = ran F)
125	124	3ad2ant1 897	. . . . . . . 8 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (F"Y) = ran F)
126	41	fgbas 10286	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. fBas -> Y = U.(filGen` B))
127		fgfil 10290	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. fBas -> (filGen` B) e. Fil)
128		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U.(filGen` B) = U.(filGen` B)
129	128	filusb 10267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((filGen` B) e. Fil -> U.(filGen` B) e. (filGen` B))
130	127, 129	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. fBas -> U.(filGen` B) e. (filGen` B))
131	126, 130	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. fBas -> Y e. (filGen` B))
132	131	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> Y e. (filGen` B))
133	132	3ad2ant1 897	. . . . . . . . 9 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Y e. (filGen` B))
134	41, 42	imaelfm 15591	. . . . . . . . 9 |- (((X e. L /\ B e. fBas /\ F:Y-->X) /\ Y e. (filGen` B)) -> (F"Y) e. ((X FilMap B)` F))
135	28, 30, 32, 133, 134	syl31anc 1103	. . . . . . . 8 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (F"Y) e. ((X FilMap B)` F))
136	125, 135	eqeltrrd 1972	. . . . . . 7 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> ran F e. ((X FilMap B)` F))
137	118, 136	sseldd 2620	. . . . . 6 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> ran F e. L)
138	23	rnelfmlem 15592	. . . . . 6 |- (((Y e. _V /\ L e. Fil /\ F:Y-->Z) /\ ran F e. L) -> {y | E.x e. L y = (`'F"x)} e. fBas)
139	111, 113, 117, 137, 138	syl31anc 1103	. . . . 5 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> {y | E.x e. L y = (`'F"x)} e. fBas)
140		fbunfip 10282	. . . . 5 |- ((B e. fBas /\ {y | E.x e. L y = (`'F"x)} e. fBas) -> ((/) e/ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) <-> A.u e. B A.v e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} (u i^i v) =/= (/)))
141	30, 139, 140	syl11anc 524	. . . 4 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> ((/) e/ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) <-> A.u e. B A.v e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} (u i^i v) =/= (/)))
142	107, 141	mpbird 213	. . 3 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (/) e/ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
143	7, 14, 142	mpbir2and 802	. 2 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) e. fBas)
144		3anass 862	. . . 4 |- ((B C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F)) <-> (B C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ (Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F))))
145	9	a1i 8	. . . . 5 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> B C_ (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))
146	2	3ad2ant2 898	. . . . . . . 8 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> {y | E.x e. L y = (`'F"x)} e. _V)
147	146	3ad2ant1 897	. . . . . . 7 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> {y | E.x e. L y = (`'F"x)} e. _V)
148	30, 147, 1	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) e. _V)
149		abfi2 10216	. . . . . 6 |- ((B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) e. _V -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
150	148, 149	syl 12	. . . . 5 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
151	145, 150	sstrd 2627	. . . 4 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> B C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
152		ssun2 2768	. . . . . . . . . 10 |- {y | E.x e. L y = (`'F"x)} C_ (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})
153	152	a1i 8	. . . . . . . . 9 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> {y | E.x e. L y = (`'F"x)} C_ (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))
154	153, 150	sstrd 2627	. . . . . . . 8 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> {y | E.x e. L y = (`'F"x)} C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
155	24	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . 11 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> Z e. L)
156	155	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . 10 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Z e. L)
157		fimacnv 4783	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F:Y-->X -> (`'F"X) = Y)
158	157	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . 13 |- (F:Y-->X -> Y = (`'F"X))
159	158	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . 12 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> Y = (`'F"X))
160	159	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . 11 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Y = (`'F"X))
161		imaeq2 4260	. . . . . . . . . . . . 13 |- (X = Z -> (`'F"X) = (`'F"Z))
162	161	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . . 12 |- (X = Z -> (Y = (`'F"X) <-> Y = (`'F"Z)))
163	162	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . 11 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (Y = (`'F"X) <-> Y = (`'F"Z)))
164	160, 163	mpbid 212	. . . . . . . . . 10 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Y = (`'F"Z))
165		imaeq2 4260	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = Z -> (`'F"x) = (`'F"Z))
166	165	eqeq2d 1895	. . . . . . . . . . 11 |- (x = Z -> (Y = (`'F"x) <-> Y = (`'F"Z)))
167	166	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . 10 |- ((Z e. L /\ Y = (`'F"Z)) -> E.x e. L Y = (`'F"x))
168	156, 164, 167	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> E.x e. L Y = (`'F"x))
169		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = Y -> (y = (`'F"x) <-> Y = (`'F"x)))
170	169	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = Y -> (E.x e. L y = (`'F"x) <-> E.x e. L Y = (`'F"x)))
171	170	elabg 2405	. . . . . . . . . . . 12 |- (Y e. _V -> (Y e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} <-> E.x e. L Y = (`'F"x)))
172	109, 171	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (B e. fBas -> (Y e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} <-> E.x e. L Y = (`'F"x)))
173	172	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> (Y e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} <-> E.x e. L Y = (`'F"x)))
174	173	3ad2ant1 897	. . . . . . . . 9 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (Y e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} <-> E.x e. L Y = (`'F"x)))
175	168, 174	mpbird 213	. . . . . . . 8 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Y e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})
176	154, 175	sseldd 2620	. . . . . . 7 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Y e. ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
177		elssuni 3206	. . . . . . 7 |- (Y e. ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> Y C_ U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
178	176, 177	syl 12	. . . . . 6 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Y C_ U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
179		fiuni 10219	. . . . . . . 8 |- ((B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) e. _V -> U.(B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
180	148, 179	syl 12	. . . . . . 7 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> U.(B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
181		sseq1 2637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (z = (`'F"x) -> (z C_ Y <-> (`'F"x) C_ Y))
182		cnvimass 4286	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (`'F"x) C_ dom F
183	182	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (F:Y-->X -> (`'F"x) C_ dom F)
184	183, 70	sseqtrd 2653	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (F:Y-->X -> (`'F"x) C_ Y)
185	184	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) -> (`'F"x) C_ Y)
186	185	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (`'F"x) C_ Y)
187	181, 186	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (z = (`'F"x) -> z C_ Y))
188	187	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (x e. L -> (z = (`'F"x) -> z C_ Y)))
189	188	r19.23adv 2215	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (E.x e. L z = (`'F"x) -> z C_ Y))
190		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . 14 |- z e. _V
191		eqeq1 1890	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = z -> (y = (`'F"x) <-> z = (`'F"x)))
192	191	rexbidv 2124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> (E.x e. L y = (`'F"x) <-> E.x e. L z = (`'F"x)))
193	190, 192	elab 2403	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} <-> E.x e. L z = (`'F"x))
194	189, 193	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . 12 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (z e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)} -> z C_ Y))
195	194	r19.21aiv 2175	. . . . . . . . . . 11 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> A.z e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}z C_ Y)
196		unissb 3208	. . . . . . . . . . 11 |- (U.{y | E.x e. L y = (`'F"x)} C_ Y <-> A.z e. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}z C_ Y)
197	195, 196	sylibr 217	. . . . . . . . . 10 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> U.{y | E.x e. L y = (`'F"x)} C_ Y)
198	41	eqimss2i 2669	. . . . . . . . . 10 |- U.B C_ Y
199	197, 198	jctil 316	. . . . . . . . 9 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (U.B C_ Y /\ U.{y | E.x e. L y = (`'F"x)} C_ Y))
200		unss 2780	. . . . . . . . 9 |- ((U.B C_ Y /\ U.{y | E.x e. L y = (`'F"x)} C_ Y) <-> (U.B u. U.{y | E.x e. L y = (`'F"x)}) C_ Y)
201	199, 200	sylib 215	. . . . . . . 8 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (U.B u. U.{y | E.x e. L y = (`'F"x)}) C_ Y)
202		uniun 3196	. . . . . . . 8 |- U.(B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) = (U.B u. U.{y | E.x e. L y = (`'F"x)})
203	201, 202	syl5ss 2661	. . . . . . 7 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> U.(B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}) C_ Y)
204	180, 203	eqsstr3d 2652	. . . . . 6 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) C_ Y)
205	178, 204	eqssd 2633	. . . . 5 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
206	41, 23	fmfnfmlem4 15597	. . . . . . . 8 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))) -> (t e. L <-> (t C_ X /\ E.s e. ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))(F"s) C_ t)))
207	28	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))) -> X e. L)
208	143	adantr 425	. . . . . . . . 9 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))) -> ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) e. fBas)
209		simpl13 953	. . . . . . . . . 10 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))) -> F:Y-->X)
210		feq2 4552	. . . . . . . . . . 11 |- (Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> (F:Y-->X <-> F:U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))-->X))
211	210	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))) -> (F:Y-->X <-> F:U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))-->X))
212	209, 211	mpbid 212	. . . . . . . . 9 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))) -> F:U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))-->X)
213		eqid 1884	. . . . . . . . . 10 |- U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))
214	213	elfilmap 10312	. . . . . . . . 9 |- ((X e. L /\ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) e. fBas /\ F:U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))-->X) -> (t e. ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F) <-> (t C_ X /\ E.s e. ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))(F"s) C_ t)))
215	207, 208, 212, 214	syl111anc 1100	. . . . . . . 8 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))) -> (t e. ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F) <-> (t C_ X /\ E.s e. ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))(F"s) C_ t)))
216	206, 215	bitr4d 590	. . . . . . 7 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))) -> (t e. L <-> t e. ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F)))
217	216	eqrdv 1882	. . . . . 6 |- ((((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))) -> L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F))
218	217	ex 402	. . . . 5 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F)))
219	205, 218	jcai 313	. . . 4 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F)))
220	144, 151, 219	sylanbrc 527	. . 3 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (B C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F)))
221	220	3com12d 15347	. 2 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> (Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ B C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F)))
222		unieq 3185	. . . . 5 |- (b = ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> U.b = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))
223	222	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (b = ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> (Y = U.b <-> Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))))
224		sseq2 2639	. . . 4 |- (b = ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> (B C_ b <-> B C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))))
225		opreq2 4890	. . . . . 6 |- (b = ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> (X FilMap b) = (X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)}))))
226	225	fveq1d 4683	. . . . 5 |- (b = ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> ((X FilMap b)` F) = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F))
227	226	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (b = ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> (L = ((X FilMap b)` F) <-> L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F)))
228	223, 224, 227	3anbi123d 1168	. . 3 |- (b = ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) -> ((Y = U.b /\ B C_ b /\ L = ((X FilMap b)` F)) <-> (Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ B C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F))))
229	228	rcla4ev 2381	. 2 |- ((( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) e. fBas /\ (Y = U.( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ B C_ ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})) /\ L = ((X FilMap ( fi ` (B u. {y | E.x e. L y = (`'F"x)})))` F))) -> E.b e. fBas (Y = U.b /\ B C_ b /\ L = ((X FilMap b)` F)))
230	143, 221, 229	syl11anc 524	1 |- (((B e. fBas /\ L e. Fil /\ F:Y-->X) /\ ((X FilMap B)` F) C_ L /\ X = Z) -> E.b e. fBas (Y = U.b /\ B C_ b /\ L = ((X FilMap b)` F)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871   =/= wne 2017   e/ wnel 2018  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   u. cun 2591   i^i cin 2592   C_ wss 2593  (/)c0 2875  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  -onto->wfo 3996  ` cfv 3998  (class class class)co 4884   fi cfi 10210  fBascfbas 10257  filGencfg 10258  Filcfil 10264   FilMap cfilmap 10304

This theorem is referenced by:  fmufil 15599  fcluscnp 15618

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-er 5318  df-map 5383  df-en 5427  df-fin 5430  df-fi 10211  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-filmap 10306

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