MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fmfil Structured version   Unicode version

Theorem fmfil 20737
Description: A mapping filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 18-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmfil  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  ( Fil `  X
) )

Proof of Theorem fmfil
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmval 20736 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) ) ) )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
32fbasrn 20677 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  A )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
433comr 1205 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )
)
5 fgcl 20671 . . 3  |-  ( ran  ( y  e.  B  |->  ( F " y
) )  e.  (
fBas `  X )  ->  ( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
64, 5syl 17 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  ( Fil `  X ) )
71, 6eqeltrd 2490 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 974    e. wcel 1842    |-> cmpt 4453   ran crn 4824   "cima 4826   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   fBascfbas 18726   filGencfg 18727   Filcfil 20638    FilMap cfm 20726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-fil 20639  df-fm 20731
This theorem is referenced by:  fmf  20738  fmufil  20752  fmco  20754  ufldom  20755  flfnei  20784  isflf  20786  flfcnp  20797  isfcf  20827  cnpfcfi  20833  cnpfcf  20834  cnextucn  21098
  Copyright terms: Public domain W3C validator