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Theorem fmf 21015
Description: Pushing-forward via a function induces a mapping on filters. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmf  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )

Proof of Theorem fmf
Dummy variables  f 
b  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6348 . . . 4  |-  ( X
filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F "
y ) ) )  e.  _V
2 eqid 2462 . . . 4  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  =  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )
31, 2fnmpti 5732 . . 3  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  Fn  ( fBas `  Y
)
4 df-fm 21008 . . . . . 6  |-  FilMap  =  ( x  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  ( b  e.  ( fBas `  dom  f )  |->  ( x filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( f
" y ) ) ) ) )
54a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  FilMap  =  ( x  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  ( b  e.  ( fBas `  dom  f )  |->  ( x
filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( f "
y ) ) ) ) ) )
6 dmeq 5057 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  dom  f  =  dom  F )
76adantl 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  X  /\  f  =  F )  ->  dom  f  =  dom  F )
8 fdm 5760 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  ->  dom  F  =  Y )
983ad2ant3 1037 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  dom  F  =  Y )
107, 9sylan9eqr 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  ->  dom  f  =  Y
)
1110fveq2d 5896 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( fBas `  dom  f )  =  ( fBas `  Y
) )
12 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  x  =  X )
13 imaeq1 5185 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
f " y )  =  ( F "
y ) )
1413mpteq2dv 4506 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  F  ->  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) )  =  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) )
1514rneqd 5084 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  F  ->  ran  ( y  e.  b 
|->  ( f " y
) )  =  ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) )
1612, 15oveqan12d 6339 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  X  /\  f  =  F )  ->  ( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) ) )
1716adantl 472 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) )  =  ( X filGen ran  ( y  e.  b  |->  ( F
" y ) ) ) )
1811, 17mpteq12dv 4497 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  ( x  =  X  /\  f  =  F ) )  -> 
( b  e.  (
fBas `  dom  f ) 
|->  ( x filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( f " y ) ) ) )  =  ( b  e.  (
fBas `  Y )  |->  ( X filGen ran  (
y  e.  b  |->  ( F " y ) ) ) ) )
19 elex 3066 . . . . . 6  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
20193ad2ant1 1035 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  _V )
21 fex2 6780 . . . . . 6  |-  ( ( F : Y --> X  /\  Y  e.  B  /\  X  e.  A )  ->  F  e.  _V )
22213com13 1220 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  F  e.  _V )
23 fvex 5902 . . . . . . 7  |-  ( fBas `  Y )  e.  _V
2423mptex 6166 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  e.  _V
2524a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  e.  _V )
265, 18, 20, 22, 25ovmpt2d 6456 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F )  =  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) ) )
2726fneq1d 5692 . . 3  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y )  <->  ( b  e.  ( fBas `  Y
)  |->  ( X filGen ran  ( y  e.  b 
|->  ( F " y
) ) ) )  Fn  ( fBas `  Y
) ) )
283, 27mpbiri 241 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y ) )
29 simpl1 1017 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  X  e.  A )
30 simpr 467 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  b  e.  ( fBas `  Y )
)
31 simpl3 1019 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  F : Y
--> X )
32 fmfil 21014 . . . 4  |-  ( ( X  e.  A  /\  b  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  -> 
( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X
) )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1276 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  /\  b  e.  (
fBas `  Y )
)  ->  ( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X ) )
3433ralrimiva 2814 . 2  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  A. b  e.  (
fBas `  Y )
( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X
) )
35 ffnfv 6077 . 2  |-  ( ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y
) --> ( Fil `  X
)  <->  ( ( X 
FilMap  F )  Fn  ( fBas `  Y )  /\  A. b  e.  ( fBas `  Y ) ( ( X  FilMap  F ) `  b )  e.  ( Fil `  X ) ) )
3628, 34, 35sylanbrc 675 1  |-  ( ( X  e.  A  /\  Y  e.  B  /\  F : Y --> X )  ->  ( X  FilMap  F ) : ( fBas `  Y ) --> ( Fil `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 375    /\ w3a 991    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057    |-> cmpt 4477   dom cdm 4856   ran crn 4857   "cima 4859    Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320    |-> cmpt2 6322   fBascfbas 19013   filGencfg 19014   Filcfil 20915    FilMap cfm 21003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-fil 20916  df-fm 21008
This theorem is referenced by:  rnelfm  21023
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