Theorem fmf 21015

Description: Pushing-forward via a function induces a mapping on filters. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmf	|- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) : ( fBas ` Y ) --> ( Fil ` X ) )

Proof of Theorem fmf

Dummy variables f b x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6348	. . . 4 |- ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) e. _V
2		eqid 2462	. . . 4 |- ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) = ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) )
3	1, 2	fnmpti 5732	. . 3 |- ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) Fn ( fBas ` Y )
4		df-fm 21008	. . . . . 6 |- FilMap = ( x e. _V , f e. _V |-> ( b e. ( fBas ` dom f ) |-> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) ) )
5	4	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> FilMap = ( x e. _V , f e. _V |-> ( b e. ( fBas ` dom f ) |-> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) ) ) )
6		dmeq 5057	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> dom f = dom F )
7	6	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( x = X /\ f = F ) -> dom f = dom F )
8		fdm 5760	. . . . . . . . 9 |- ( F : Y --> X -> dom F = Y )
9	8	3ad2ant3 1037	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> dom F = Y )
10	7, 9	sylan9eqr 2518	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ ( x = X /\ f = F ) ) -> dom f = Y )
11	10	fveq2d 5896	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ ( x = X /\ f = F ) ) -> ( fBas ` dom f ) = ( fBas ` Y ) )
12		id 22	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> x = X )
13		imaeq1 5185	. . . . . . . . . 10 |- ( f = F -> ( f " y ) = ( F " y ) )
14	13	mpteq2dv 4506	. . . . . . . . 9 |- ( f = F -> ( y e. b |-> ( f " y ) ) = ( y e. b |-> ( F " y ) ) )
15	14	rneqd 5084	. . . . . . . 8 |- ( f = F -> ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) = ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) )
16	12, 15	oveqan12d 6339	. . . . . . 7 |- ( ( x = X /\ f = F ) -> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) = ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) )
17	16	adantl 472	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ ( x = X /\ f = F ) ) -> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) = ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) )
18	11, 17	mpteq12dv 4497	. . . . 5 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ ( x = X /\ f = F ) ) -> ( b e. ( fBas ` dom f ) |-> ( x filGen ran ( y e. b |-> ( f " y ) ) ) ) = ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) )
19		elex 3066	. . . . . 6 |- ( X e. A -> X e. _V )
20	19	3ad2ant1 1035	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> X e. _V )
21		fex2 6780	. . . . . 6 |- ( ( F : Y --> X /\ Y e. B /\ X e. A ) -> F e. _V )
22	21	3com13 1220	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> F e. _V )
23		fvex 5902	. . . . . . 7 |- ( fBas ` Y ) e. _V
24	23	mptex 6166	. . . . . 6 |- ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) e. _V
25	24	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) e. _V )
26	5, 18, 20, 22, 25	ovmpt2d 6456	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) = ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) )
27	26	fneq1d 5692	. . 3 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) <-> ( b e. ( fBas ` Y ) |-> ( X filGen ran ( y e. b |-> ( F " y ) ) ) ) Fn ( fBas ` Y ) ) )
28	3, 27	mpbiri 241	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) )
29		simpl1 1017	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> X e. A )
30		simpr 467	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> b e. ( fBas ` Y ) )
31		simpl3 1019	. . . 4 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> F : Y --> X )
32		fmfil 21014	. . . 4 |- ( ( X e. A /\ b e. ( fBas ` Y ) /\ F : Y --> X ) -> ( ( X FilMap F ) ` b ) e. ( Fil ` X ) )
33	29, 30, 31, 32	syl3anc 1276	. . 3 |- ( ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) /\ b e. ( fBas ` Y ) ) -> ( ( X FilMap F ) ` b ) e. ( Fil ` X ) )
34	33	ralrimiva 2814	. 2 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> A. b e. ( fBas ` Y ) ( ( X FilMap F ) ` b ) e. ( Fil ` X ) )
35		ffnfv 6077	. 2 |- ( ( X FilMap F ) : ( fBas ` Y ) --> ( Fil ` X ) <-> ( ( X FilMap F ) Fn ( fBas ` Y ) /\ A. b e. ( fBas ` Y ) ( ( X FilMap F ) ` b ) e. ( Fil ` X ) ) )
36	28, 34, 35	sylanbrc 675	1 |- ( ( X e. A /\ Y e. B /\ F : Y --> X ) -> ( X FilMap F ) : ( fBas ` Y ) --> ( Fil ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   A.wral 2749   _Vcvv 3057   |-> cmpt 4477   dom cdm 4856   ran crn 4857   "cima 4859   Fn wfn 5600   -->wf 5601   ` cfv 5605  (class class class)co 6320   |-> cmpt2 6322   fBascfbas 19013   filGencfg 19014   Filcfil 20915   FilMap cfm 21003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-fbas 19022  df-fg 19023  df-fil 20916  df-fm 21008

This theorem is referenced by:  rnelfm  21023