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Theorem fmco 20646
Description: Composition of image filters. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmco  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `  B )  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  (
( Y  FilMap  G ) `
 B ) ) )

Proof of Theorem fmco
Dummy variables  t 
s  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  B  e.  ( fBas `  Z ) )
2 ssfg 20557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  ( fBas `  Z
)  ->  B  C_  ( Z filGen B ) )
31, 2syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  B  C_  ( Z filGen B ) )
43sseld 3440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( u  e.  B  ->  u  e.  ( Z
filGen B ) ) )
5 simpl2 1001 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  Y  e.  W )
6 simprr 758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  G : Z --> Y )
7 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z
filGen B )  =  ( Z filGen B )
87imaelfm 20636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  G : Z --> Y )  /\  u  e.  ( Z filGen B ) )  ->  ( G "
u )  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B ) )
98ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  G : Z --> Y )  -> 
( u  e.  ( Z filGen B )  -> 
( G " u
)  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ) )
105, 1, 6, 9syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( u  e.  ( Z filGen B )  -> 
( G " u
)  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ) )
114, 10syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( u  e.  B  ->  ( G " u
)  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ) )
1211imp 427 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z
) )  /\  ( F : Y --> X  /\  G : Z --> Y ) )  /\  u  e.  B )  ->  ( G " u )  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) )
13 imaeq2 5274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  ( G "
u )  ->  ( F " t )  =  ( F " ( G " u ) ) )
14 imaco 5449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  o.  G )
" u )  =  ( F " ( G " u ) )
1513, 14syl6eqr 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( G "
u )  ->  ( F " t )  =  ( ( F  o.  G ) " u
) )
1615sseq1d 3468 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( G "
u )  ->  (
( F " t
)  C_  s  <->  ( ( F  o.  G ) " u )  C_  s ) )
1716rspcev 3159 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G " u
)  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B )  /\  (
( F  o.  G
) " u ) 
C_  s )  ->  E. t  e.  (
( Y  FilMap  G ) `
 B ) ( F " t ) 
C_  s )
1817ex 432 . . . . . . 7  |-  ( ( G " u )  e.  ( ( Y 
FilMap  G ) `  B
)  ->  ( (
( F  o.  G
) " u ) 
C_  s  ->  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s )
)
1912, 18syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z
) )  /\  ( F : Y --> X  /\  G : Z --> Y ) )  /\  u  e.  B )  ->  (
( ( F  o.  G ) " u
)  C_  s  ->  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F
" t )  C_  s ) )
2019rexlimdva 2895 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) "
u )  C_  s  ->  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B ) ( F " t ) 
C_  s ) )
21 elfm 20632 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  G : Z --> Y )  -> 
( t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B )  <->  ( t  C_  Y  /\  E. u  e.  B  ( G " u )  C_  t
) ) )
225, 1, 6, 21syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B )  <->  ( t  C_  Y  /\  E. u  e.  B  ( G " u )  C_  t
) ) )
23 imass2 5313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G " u ) 
C_  t  ->  ( F " ( G "
u ) )  C_  ( F " t ) )
2414, 23syl5eqss 3485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G " u ) 
C_  t  ->  (
( F  o.  G
) " u ) 
C_  ( F "
t ) )
25 sstr2 3448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  ( F "
t )  ->  (
( F " t
)  C_  s  ->  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G " u ) 
C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  s  ->  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
2726com12 29 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F " t ) 
C_  s  ->  (
( G " u
)  C_  t  ->  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
2827reximdv 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F " t ) 
C_  s  ->  ( E. u  e.  B  ( G " u ) 
C_  t  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u )  C_  s ) )
2928com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( E. u  e.  B  ( G " u ) 
C_  t  ->  (
( F " t
)  C_  s  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
3029adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( t  C_  Y  /\  E. u  e.  B  ( G " u ) 
C_  t )  -> 
( ( F "
t )  C_  s  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u
)  C_  s )
)
3122, 30syl6bi 228 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `
 B )  -> 
( ( F "
t )  C_  s  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u
)  C_  s )
) )
3231rexlimdv 2893 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s  ->  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G
) " u ) 
C_  s ) )
3320, 32impbid 191 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) "
u )  C_  s  <->  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F
" t )  C_  s ) )
3433anbi2d 702 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( s  C_  X  /\  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) "
u )  C_  s
)  <->  ( s  C_  X  /\  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s )
) )
35 simpl1 1000 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  X  e.  V )
36 fco 5680 . . . . 5  |-  ( ( F : Y --> X  /\  G : Z --> Y )  ->  ( F  o.  G ) : Z --> X )
3736adantl 464 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( F  o.  G
) : Z --> X )
38 elfm 20632 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  ( F  o.  G ) : Z --> X )  -> 
( s  e.  ( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `
 B )  <->  ( s  C_  X  /\  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u )  C_  s ) ) )
3935, 1, 37, 38syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( s  e.  ( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `
 B )  <->  ( s  C_  X  /\  E. u  e.  B  ( ( F  o.  G ) " u )  C_  s ) ) )
40 fmfil 20629 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z )  /\  G : Z --> Y )  -> 
( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  ( Fil `  Y
) )
415, 1, 6, 40syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  ( Fil `  Y
) )
42 filfbas 20533 . . . . 5  |-  ( ( ( Y  FilMap  G ) `
 B )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  (
fBas `  Y )
)
4341, 42syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  ( fBas `  Y
) )
44 simprl 756 . . . 4  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  ->  F : Y --> X )
45 elfm 20632 . . . 4  |-  ( ( X  e.  V  /\  ( ( Y  FilMap  G ) `  B )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  F : Y
--> X )  ->  (
s  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) )  <->  ( s  C_  X  /\  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s )
) )
4635, 43, 44, 45syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( s  e.  ( ( X  FilMap  F ) `
 ( ( Y 
FilMap  G ) `  B
) )  <->  ( s  C_  X  /\  E. t  e.  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ( F " t
)  C_  s )
) )
4734, 39, 463bitr4d 285 . 2  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( s  e.  ( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `
 B )  <->  s  e.  ( ( X  FilMap  F ) `  ( ( Y  FilMap  G ) `  B ) ) ) )
4847eqrdv 2399 1  |-  ( ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  W  /\  B  e.  ( fBas `  Z ) )  /\  ( F : Y
--> X  /\  G : Z
--> Y ) )  -> 
( ( X  FilMap  ( F  o.  G ) ) `  B )  =  ( ( X 
FilMap  F ) `  (
( Y  FilMap  G ) `
 B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2754    C_ wss 3413   "cima 4945    o. ccom 4946   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   fBascfbas 18618   filGencfg 18619   Filcfil 20530    FilMap cfm 20618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-fbas 18628  df-fg 18629  df-fil 20531  df-fm 20623
This theorem is referenced by:  ufldom  20647  flfcnp  20689
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