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Theorem fmcncfil 26361
Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmcncfil.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
fmcncfil.2  |-  K  =  ( MetOpen `  E )
Assertion
Ref Expression
fmcncfil  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( Y  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  E ) )

Proof of Theorem fmcncfil
Dummy variables  e 
b  x  y  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 992 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E  e.  ( *Met `  Y
) )
2 simpl1 991 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
3 fmcncfil.1 . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43cmetcvg 20796 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  B )  =/=  (/) )
5 n0 3646 . . . . . 6  |-  ( ( J  fLim  B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( J  fLim  B
) )
64, 5sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x  x  e.  ( J  fLim  B ) )
72, 6sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x  x  e.  ( J  fLim  B ) )
8 cmetmet 20797 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
9 metxmet 19909 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
102, 8, 93syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
11 cfilfil 20778 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (CauFil `  D ) )  ->  B  e.  ( Fil `  X ) )
1210, 11sylancom 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  B  e.  ( Fil `  X ) )
133mopntopon 20014 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1410, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
15 fmcncfil.2 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  E )
1615mopntopon 20014 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
171, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
18 simpl3 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
19 cnflf 19575 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. b  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F ) ) ) )
2019simplbda 624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. b  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F ) )
2114, 17, 18, 20syl21anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. b  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F ) )
22 oveq2 6099 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( J  fLim  b )  =  ( J  fLim  B
) )
23 oveq2 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  ( K  fLimf  b )  =  ( K  fLimf  B ) )
2423fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( K  fLimf  b ) `
 F )  =  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
2524eleq2d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  b ) `  F )  <->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) )
2622, 25raleqbidv 2931 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  ( J  fLim  b ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fLimf  b ) `  F
)  <->  A. x  e.  ( J  fLim  B )
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )
2726rspcv 3069 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. b  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F )  ->  A. x  e.  ( J  fLim  B ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fLimf  B ) `  F
) ) )
2812, 21, 27sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. x  e.  ( J  fLim  B
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) )
29 df-ral 2720 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( J  fLim  B ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F )  <->  A. x ( x  e.  ( J  fLim  B
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) )
3028, 29sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. x
( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )
31 19.29r 1651 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  ( J  fLim  B
)  /\  A. x
( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )  ->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  B )  /\  ( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) ) )
32 pm3.35 587 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J 
fLim  B )  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  B )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
3332eximi 1625 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  ( J  fLim  B
)  /\  ( x  e.  ( J  fLim  B
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) )  ->  E. x
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
3431, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  ( J  fLim  B
)  /\  A. x
( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )  ->  E. x ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
357, 30, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
363, 15metcn 20118 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  ( ( F `  x ) E ( F `  y ) )  < 
e ) ) ) )
3736biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  E  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  ( ( F `  x ) E ( F `  y ) )  < 
e ) ) )
3810, 1, 18, 37syl21anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  ( ( F `  x ) E ( F `  y ) )  < 
e ) ) )
3938simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  F : X
--> Y )
40 flfval 19563 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fLimf  B ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 B ) ) )
4117, 12, 39, 40syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( K  fLimf  B ) `  F )  =  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  B ) ) )
4241eleq2d 2510 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F )  <-> 
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) ) ) )
4342exbidv 1680 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( E. x ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F )  <->  E. x
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) ) ) )
4435, 43mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) ) )
4515flimcfil 20824 . . . 4  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  x )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  B ) ) )  ->  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
)  e.  (CauFil `  E ) )
4645ex 434 . . 3  |-  ( E  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 B )  e.  (CauFil `  E )
) )
4746exlimdv 1690 . 2  |-  ( E  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( E. x ( F `  x )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  B ) )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  E
) ) )
481, 44, 47sylc 60 1  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( Y  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   E.wrex 2716   (/)c0 3637   class class class wbr 4292   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    < clt 9418   RR+crp 10991   *Metcxmt 17801   Metcme 17802   MetOpencmopn 17806  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828   Filcfil 19418    FilMap cfm 19506    fLim cflim 19507    fLimf cflf 19508  CauFilccfil 20763   CMetcms 20765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ico 11306  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-fbas 17814  df-fg 17815  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-ntr 18624  df-nei 18702  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-fil 19419  df-fm 19511  df-flim 19512  df-flf 19513  df-cfil 20766  df-cmet 20768
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