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Theorem fmcncfil 27546
Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmcncfil.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
fmcncfil.2  |-  K  =  ( MetOpen `  E )
Assertion
Ref Expression
fmcncfil  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( Y  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  E ) )

Proof of Theorem fmcncfil
Dummy variables  e 
b  x  y  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1000 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E  e.  ( *Met `  Y
) )
2 simpl1 999 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
3 fmcncfil.1 . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43cmetcvg 21456 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  B )  =/=  (/) )
5 n0 3794 . . . . . 6  |-  ( ( J  fLim  B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( J  fLim  B
) )
64, 5sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x  x  e.  ( J  fLim  B ) )
72, 6sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x  x  e.  ( J  fLim  B ) )
8 cmetmet 21457 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
9 metxmet 20569 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
102, 8, 93syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
11 cfilfil 21438 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (CauFil `  D ) )  ->  B  e.  ( Fil `  X ) )
1210, 11sylancom 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  B  e.  ( Fil `  X ) )
133mopntopon 20674 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1410, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
15 fmcncfil.2 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  E )
1615mopntopon 20674 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
171, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
18 simpl3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
19 cnflf 20235 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. b  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F ) ) ) )
2019simplbda 624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. b  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F ) )
2114, 17, 18, 20syl21anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. b  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F ) )
22 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( J  fLim  b )  =  ( J  fLim  B
) )
23 oveq2 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  ( K  fLimf  b )  =  ( K  fLimf  B ) )
2423fveq1d 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( K  fLimf  b ) `
 F )  =  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
2524eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  b ) `  F )  <->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) )
2622, 25raleqbidv 3072 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  ( J  fLim  b ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fLimf  b ) `  F
)  <->  A. x  e.  ( J  fLim  B )
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )
2726rspcv 3210 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. b  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F )  ->  A. x  e.  ( J  fLim  B ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fLimf  B ) `  F
) ) )
2812, 21, 27sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. x  e.  ( J  fLim  B
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) )
29 df-ral 2819 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( J  fLim  B ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F )  <->  A. x ( x  e.  ( J  fLim  B
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) )
3028, 29sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. x
( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )
31 19.29r 1661 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  ( J  fLim  B
)  /\  A. x
( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )  ->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  B )  /\  ( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) ) )
32 pm3.35 587 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J 
fLim  B )  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  B )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
3332eximi 1635 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  ( J  fLim  B
)  /\  ( x  e.  ( J  fLim  B
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) )  ->  E. x
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
3431, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  ( J  fLim  B
)  /\  A. x
( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )  ->  E. x ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
357, 30, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
363, 15metcn 20778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  ( ( F `  x ) E ( F `  y ) )  < 
e ) ) ) )
3736biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  E  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  ( ( F `  x ) E ( F `  y ) )  < 
e ) ) )
3810, 1, 18, 37syl21anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  ( ( F `  x ) E ( F `  y ) )  < 
e ) ) )
3938simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  F : X
--> Y )
40 flfval 20223 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fLimf  B ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 B ) ) )
4117, 12, 39, 40syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( K  fLimf  B ) `  F )  =  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  B ) ) )
4241eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F )  <-> 
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) ) ) )
4342exbidv 1690 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( E. x ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F )  <->  E. x
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) ) ) )
4435, 43mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) ) )
4515flimcfil 21484 . . . 4  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  x )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  B ) ) )  ->  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
)  e.  (CauFil `  E ) )
4645ex 434 . . 3  |-  ( E  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 B )  e.  (CauFil `  E )
) )
4746exlimdv 1700 . 2  |-  ( E  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( E. x ( F `  x )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  B ) )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  E
) ) )
481, 44, 47sylc 60 1  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( Y  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    < clt 9624   RR+crp 11216   *Metcxmt 18171   Metcme 18172   MetOpencmopn 18176  TopOnctopon 19159    Cn ccn 19488   Filcfil 20078    FilMap cfm 20166    fLim cflim 20167    fLimf cflf 20168  CauFilccfil 21423   CMetcms 21425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ico 11531  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-ntr 19284  df-nei 19362  df-cn 19491  df-cnp 19492  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-cfil 21426  df-cmet 21428
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