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Theorem fmcncfil 27891
Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmcncfil.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
fmcncfil.2  |-  K  =  ( MetOpen `  E )
Assertion
Ref Expression
fmcncfil  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( Y  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  E ) )

Proof of Theorem fmcncfil
Dummy variables  e 
b  x  y  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1001 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E  e.  ( *Met `  Y
) )
2 simpl1 1000 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  D  e.  ( CMet `  X )
)
3 fmcncfil.1 . . . . . . 7  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
43cmetcvg 21702 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( J  fLim  B )  =/=  (/) )
5 n0 3780 . . . . . 6  |-  ( ( J  fLim  B )  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  ( J  fLim  B
) )
64, 5sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x  x  e.  ( J  fLim  B ) )
72, 6sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x  x  e.  ( J  fLim  B ) )
8 cmetmet 21703 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
9 metxmet 20815 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
102, 8, 93syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
11 cfilfil 21684 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  B  e.  (CauFil `  D ) )  ->  B  e.  ( Fil `  X ) )
1210, 11sylancom 667 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  B  e.  ( Fil `  X ) )
133mopntopon 20920 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
1410, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
15 fmcncfil.2 . . . . . . . . 9  |-  K  =  ( MetOpen `  E )
1615mopntopon 20920 . . . . . . . 8  |-  ( E  e.  ( *Met `  Y )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
171, 16syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
18 simpl3 1002 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
19 cnflf 20481 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. b  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F ) ) ) )
2019simplbda 624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. b  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F ) )
2114, 17, 18, 20syl21anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. b  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F ) )
22 oveq2 6289 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  ( J  fLim  b )  =  ( J  fLim  B
) )
23 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  B  ->  ( K  fLimf  b )  =  ( K  fLimf  B ) )
2423fveq1d 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  B  ->  (
( K  fLimf  b ) `
 F )  =  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
2524eleq2d 2513 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  b ) `  F )  <->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) )
2622, 25raleqbidv 3054 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  ( A. x  e.  ( J  fLim  b ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fLimf  b ) `  F
)  <->  A. x  e.  ( J  fLim  B )
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )
2726rspcv 3192 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( A. b  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fLim  b
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  b ) `
 F )  ->  A. x  e.  ( J  fLim  B ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fLimf  B ) `  F
) ) )
2812, 21, 27sylc 60 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. x  e.  ( J  fLim  B
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) )
29 df-ral 2798 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( J  fLim  B ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F )  <->  A. x ( x  e.  ( J  fLim  B
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) )
3028, 29sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  A. x
( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )
31 19.29r 1671 . . . . 5  |-  ( ( E. x  x  e.  ( J  fLim  B
)  /\  A. x
( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )  ->  E. x ( x  e.  ( J  fLim  B )  /\  ( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) ) )
32 pm3.35 587 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( J 
fLim  B )  /\  (
x  e.  ( J 
fLim  B )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
3332eximi 1643 . . . . 5  |-  ( E. x ( x  e.  ( J  fLim  B
)  /\  ( x  e.  ( J  fLim  B
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F ) ) )  ->  E. x
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
3431, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ( E. x  x  e.  ( J  fLim  B
)  /\  A. x
( x  e.  ( J  fLim  B )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) ) )  ->  E. x ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
357, 30, 34syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F ) )
363, 15metcn 21024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y
) )  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  ( ( F `  x ) E ( F `  y ) )  < 
e ) ) ) )
3736biimpa 484 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  E  e.  ( *Met `  Y
) )  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  ( ( F `  x ) E ( F `  y ) )  < 
e ) ) )
3810, 1, 18, 37syl21anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  A. e  e.  RR+  E. d  e.  RR+  A. y  e.  X  ( ( x D y )  < 
d  ->  ( ( F `  x ) E ( F `  y ) )  < 
e ) ) )
3938simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  F : X
--> Y )
40 flfval 20469 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  B  e.  ( Fil `  X
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( K  fLimf  B ) `
 F )  =  ( K  fLim  (
( Y  FilMap  F ) `
 B ) ) )
4117, 12, 39, 40syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( K  fLimf  B ) `  F )  =  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  B ) ) )
4241eleq2d 2513 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `  F )  <-> 
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) ) ) )
4342exbidv 1701 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( E. x ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  B ) `
 F )  <->  E. x
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) ) ) )
4435, 43mpbid 210 . 2  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  E. x
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) ) )
4515flimcfil 21730 . . . 4  |-  ( ( E  e.  ( *Met `  Y )  /\  ( F `  x )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  B ) ) )  ->  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
)  e.  (CauFil `  E ) )
4645ex 434 . . 3  |-  ( E  e.  ( *Met `  Y )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( K 
fLim  ( ( Y 
FilMap  F ) `  B
) )  ->  (
( Y  FilMap  F ) `
 B )  e.  (CauFil `  E )
) )
4746exlimdv 1711 . 2  |-  ( E  e.  ( *Met `  Y )  ->  ( E. x ( F `  x )  e.  ( K  fLim  ( ( Y  FilMap  F ) `  B ) )  -> 
( ( Y  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  E
) ) )
481, 44, 47sylc 60 1  |-  ( ( ( D  e.  (
CMet `  X )  /\  E  e.  ( *Met `  Y )  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  B  e.  (CauFil `  D )
)  ->  ( ( Y  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  E ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974   A.wal 1381    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   E.wrex 2794   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    < clt 9631   RR+crp 11231   *Metcxmt 18382   Metcme 18383   MetOpencmopn 18387  TopOnctopon 19373    Cn ccn 19703   Filcfil 20324    FilMap cfm 20412    fLim cflim 20413    fLimf cflf 20414  CauFilccfil 21669   CMetcms 21671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ico 11546  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-ntr 19499  df-nei 19577  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-cfil 21672  df-cmet 21674
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