Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmcncfil Structured version   Unicode version

Theorem fmcncfil 27891
 Description: The image of a Cauchy filter by a continuous filter map is a Cauchy filter. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fmcncfil.1
fmcncfil.2
Assertion
Ref Expression
fmcncfil CauFil CauFil

Proof of Theorem fmcncfil
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl2 1001 . 2 CauFil
2 simpl1 1000 . . . . 5 CauFil
3 fmcncfil.1 . . . . . . 7
43cmetcvg 21702 . . . . . 6 CauFil
5 n0 3780 . . . . . 6
64, 5sylib 196 . . . . 5 CauFil
72, 6sylancom 667 . . . 4 CauFil
8 cmetmet 21703 . . . . . . . 8
9 metxmet 20815 . . . . . . . 8
102, 8, 93syl 20 . . . . . . 7 CauFil
11 cfilfil 21684 . . . . . . 7 CauFil
1210, 11sylancom 667 . . . . . 6 CauFil
133mopntopon 20920 . . . . . . . 8 TopOn
1410, 13syl 16 . . . . . . 7 CauFil TopOn
15 fmcncfil.2 . . . . . . . . 9
1615mopntopon 20920 . . . . . . . 8 TopOn
171, 16syl 16 . . . . . . 7 CauFil TopOn
18 simpl3 1002 . . . . . . 7 CauFil
19 cnflf 20481 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
2019simplbda 624 . . . . . . 7 TopOn TopOn
2114, 17, 18, 20syl21anc 1228 . . . . . 6 CauFil
22 oveq2 6289 . . . . . . . 8
23 oveq2 6289 . . . . . . . . . 10
2423fveq1d 5858 . . . . . . . . 9
2524eleq2d 2513 . . . . . . . 8
2622, 25raleqbidv 3054 . . . . . . 7
2726rspcv 3192 . . . . . 6
2812, 21, 27sylc 60 . . . . 5 CauFil
29 df-ral 2798 . . . . 5
3028, 29sylib 196 . . . 4 CauFil
31 19.29r 1671 . . . . 5
32 pm3.35 587 . . . . . 6
3332eximi 1643 . . . . 5
3431, 33syl 16 . . . 4
357, 30, 34syl2anc 661 . . 3 CauFil
363, 15metcn 21024 . . . . . . . . 9
3736biimpa 484 . . . . . . . 8
3810, 1, 18, 37syl21anc 1228 . . . . . . 7 CauFil
3938simpld 459 . . . . . 6 CauFil
40 flfval 20469 . . . . . 6 TopOn
4117, 12, 39, 40syl3anc 1229 . . . . 5 CauFil
4241eleq2d 2513 . . . 4 CauFil
4342exbidv 1701 . . 3 CauFil
4435, 43mpbid 210 . 2 CauFil
4515flimcfil 21730 . . . 4 CauFil
4645ex 434 . . 3 CauFil
4746exlimdv 1711 . 2 CauFil
481, 44, 47sylc 60 1 CauFil CauFil
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 974  wal 1381   wceq 1383  wex 1599   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  wrex 2794  c0 3770   class class class wbr 4437  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   clt 9631  crp 11231  cxmt 18382  cme 18383  cmopn 18387  TopOnctopon 19373   ccn 19703  cfil 20324   cfm 20412   cflim 20413   cflf 20414  CauFilccfil 21669  cms 21671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ico 11546  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-ntr 19499  df-nei 19577  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-cfil 21672  df-cmet 21674 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator