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Theorem fmcfil 19178
Description: The Cauchy filter condition for a filter map. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fmcfil  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, F, x, y, z    w, X, x, y, z    w, Y, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem fmcfil
Dummy variables  u  s  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 5716 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  X  e.  dom  * Met )
2 fmval 17928 . . . 4  |-  ( ( X  e.  dom  * Met  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
31, 2syl3an1 1217 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X 
FilMap  F ) `  B
)  =  ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) ) )
43eleq1d 2470 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  ( X filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )  e.  (CauFil `  D
) ) )
5 simp1 957 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
6 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  B  e.  (
fBas `  Y )
)
7 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  F : Y --> X )
813ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  X  e.  dom  * Met )
9 eqid 2404 . . . . 5  |-  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )  =  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) )
109fbasrn 17869 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X  /\  X  e.  dom  * Met )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
116, 7, 8, 10syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )
12 fgcfil 19177 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  ran  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. s  e. 
ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x ) )
135, 11, 12syl2anc 643 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( X
filGen ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) )  e.  (CauFil `  D
)  <->  A. x  e.  RR+  E. s  e.  ran  (
y  e.  B  |->  ( F " y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  ( u D v )  <  x
) )
14 imassrn 5175 . . . . . . . 8  |-  ( F
" y )  C_  ran  F
15 frn 5556 . . . . . . . . 9  |-  ( F : Y --> X  ->  ran  F  C_  X )
16153ad2ant3 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ran  F  C_  X
)
1714, 16syl5ss 3319 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( F "
y )  C_  X
)
188, 17ssexd 4310 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( F "
y )  e.  _V )
1918ralrimivw 2750 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  A. y  e.  B  ( F " y )  e.  _V )
20 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  |->  ( F
" y ) )  =  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) )
21 raleq 2864 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ( F "
y )  ->  ( A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  <->  A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2221raleqbi1dv 2872 . . . . . 6  |-  ( s  =  ( F "
y )  ->  ( A. u  e.  s  A. v  e.  s 
( u D v )  <  x  <->  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2320, 22rexrnmpt 5838 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( F " y )  e. 
_V  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
2419, 23syl 16 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x
) )
25 simpl3 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  F : Y
--> X )
26 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( F : Y --> X  ->  F  Fn  Y )
2725, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  F  Fn  Y )
28 fbelss 17818 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  ( fBas `  Y )  /\  y  e.  B )  ->  y  C_  Y )
296, 28sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  y  C_  Y )
30 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
u D v )  =  ( ( F `
 z ) D v ) )
3130breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
( u D v )  <  x  <->  ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
3231ralbidv 2686 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  ( A. v  e.  ( F " y ) ( u D v )  <  x  <->  A. v  e.  ( F " y
) ( ( F `
 z ) D v )  <  x
) )
3332ralima 5937 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  Y  /\  y  C_  Y )  -> 
( A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
3427, 29, 33syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( F " y ) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x ) )
35 oveq2 6048 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( F `  z
) D v )  =  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) ) )
3635breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( F `  w )  ->  (
( ( F `  z ) D v )  <  x  <->  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  < 
x ) )
3736ralima 5937 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  Y  /\  y  C_  Y )  -> 
( A. v  e.  ( F " y
) ( ( F `
 z ) D v )  <  x  <->  A. w  e.  y  ( ( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
3827, 29, 37syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x  <->  A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  <  x ) )
3938ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. z  e.  y  A. v  e.  ( F " y ) ( ( F `  z ) D v )  < 
x  <->  A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  <  x ) )
4034, 39bitrd 245 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  /\  y  e.  B
)  ->  ( A. u  e.  ( F " y ) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
4140rexbidva 2683 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. y  e.  B  A. u  e.  ( F " y
) A. v  e.  ( F " y
) ( u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
( F `  z
) D ( F `
 w ) )  <  x ) )
4224, 41bitrd 245 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( E. s  e.  ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `  z ) D ( F `  w ) )  < 
x ) )
4342ralbidv 2686 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. s  e. 
ran  ( y  e.  B  |->  ( F "
y ) ) A. u  e.  s  A. v  e.  s  (
u D v )  <  x  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
444, 13, 433bitrd 271 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  Y )  /\  F : Y --> X )  ->  ( ( ( X  FilMap  F ) `  B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( ( F `
 z ) D ( F `  w
) )  <  x
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   "cima 4840    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    < clt 9076   RR+crp 10568   * Metcxmt 16641   fBascfbas 16644   filGencfg 16645    FilMap cfm 17918  CauFilccfil 19158
This theorem is referenced by:  caucfil  19189
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ico 10878  df-xmet 16650  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-fil 17831  df-fm 17923  df-cfil 19161
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