MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flword2 Structured version   Unicode version

Theorem flword2 11764
Description: Ordering relationship for the greatest integer function. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
flword2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( |_ `  B )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  A ) ) )

Proof of Theorem flword2
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
21flcld 11751 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
3 simp2 989 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
43flcld 11751 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( |_ `  B )  e.  ZZ )
5 flwordi 11763 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( |_ `  A )  <_ 
( |_ `  B
) )
6 eluz2 10970 . 2  |-  ( ( |_ `  B )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  A ) )  <-> 
( ( |_ `  A )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  B
)  e.  ZZ  /\  ( |_ `  A )  <_  ( |_ `  B ) ) )
72, 4, 5, 6syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <_  B )  ->  ( |_ `  B )  e.  ( ZZ>= `  ( |_ `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4392   ` cfv 5518   RRcr 9384    <_ cle 9522   ZZcz 10749   ZZ>=cuz 10964   |_cfl 11743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fl 11745
This theorem is referenced by:  hashdvds  13954  fsumharmonic  22523  chpwordi  22613  efchtdvds  22615  bposlem4  22744  chtppilimlem1  22840  vmadivsumb  22850  dchrisum0lem1a  22853  dchrisum0lem3  22886  selbergb  22916  selberg2b  22919  chpdifbndlem1  22920  selberg3lem2  22925  pntrsumbnd  22933  pntrlog2bndlem6a  22949  pntpbnd1  22953  pntlemr  22969  pntlemf  22972  irrapxlem3  29305
  Copyright terms: Public domain W3C validator